2024年高中数学暑假初高衔接讲义8　子集、全集、补集

遍历山河，人间值得。 练习主题 子集、全集、补集 观察下列各组集合： （1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N，B=R； （3）A={x|x为正方形}，B={x|x为四边形}. 集合A与B之间具有怎样的关系? 如何用数学语言来表述这种关系？ 观察（1），可以发现，集合A中的每个元素都是集合B的元素. 观察（2）（3），它们也有同样的特征. 这时称A是B的子集. 一、子集定义： 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”. 例如，{1，2，3}⊆N，N⊆R，{x|x为正方形}⊆{x|x为四边形）等. A⊆B可以用Venn图来表示 根据子集的定义，我们知道A⊆A.也就是说，任何一个集合是它本身的子集. 对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集. 例1、若集合A={x|x是平行四边形}，集合B={x|x是正方形}，集合C={x|x是长方形}，D={x|x是菱形}，则下列正确的是（ ） A．A⊆C B．C⊆B C．D⊆C D．B⊆D 例2、写出集合｛a，b，c｝的所有子集. 对应练习： 1、对于集合A，B，“A≤B”不成立的含义是（ ） A. B是A的子集 B. A中的元素都不是B的元素 C. A中至少有一个元素不属于B D. B中至少有一个元素不属于A 2、已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|2＜x＜3}，则（ ） A. A∈B B. A⊆B C. A=B D. B⊆A  3、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（ ） A. {2，4，5} B. {1，2，5} C. {1，6} D. {1，3} 4、集合A={1，2}的非空子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5、已知集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则a= . 例3、设集合A={ x∣x2+4x=0，x∈R }，集合B={ x∣x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R }，若B⊆A，求实数a的取值范围． 对应练习： 1、设集合A=｛x∣x2+x-6=0，x∈R｝，B=｛x∣mx+1=0，x∈R｝，若，求实数m的值． 2、若集合M={x∣x2-x-2＞0}，T={x∣mx+1＜0}，且M⊇T，求实数m的取值范围． 二、真子集定义： 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A⫋B或B A，读作“A真包含于B”或“B真含A”，如{a}⫋{a，b}. 例4、若x、y∈R，集合A={（x，y）∣y=x}，B={（x，y）∣=1}，则集合A、B之间的关系为（ ） A. A⫋B B. B⫋A C. A=B D. A⊆B 对应练习： 1、已知集合M={x∣x＞1}，N={x∣x＞a}，且M⫋N，则（ ） A. a≤1 B. a＜1 C. a≥1 D. a＞1 2、已知∅⫋{x∣x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是（ ） A. {a∣a＜} B. {a∣a≤} C. {a∣a≥} D. {a∣a＞} 3、（多选题）下列说法正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 C. 若A⫋B，B⫋C，则A⫋C D. 如果不属于B的元素一定不属于A，则A⊆B 4、已知集合A={x∣x2-2x+3=0}，B={x∣x-a=0}，若B⫋A，则实数a的值构成的集合是 . 5、集合M={x∣x2+2x-a=0}，若∅⫋M，则实数a的范围是 . 三、补集定义： 一般地，设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为（读作“A在S中的补集”），即={x∣x∈S，且x∉A}. 可用图中的阴影部分来表示： 对于例3，我们有：B=，A=. 四、全集定义： 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 例5、设全集U=R，不等式组的解集为A，试求A及，并把它们分别表示在数轴上. 对应练习： 1、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，5}，=（ ） A.{ 1 ，3 } B.{ 1 ，3 ，6} C.{2，3，6} D.{2 ，3，5} 2、已知全集U={x∣-2≤x≤3}，集合A={x∣-1＜x＜0或2＜x≤3}，则= . 3、已知全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x∣x=，x，n∈Z}，则= . 4、设U={1，2，3，4}，A={x∣x2-mx+n=0，x∈U}.={2，3}，则m+n的值为 . 5、设全集U和集合A，B，P满足A=，B=，则A与P的关系是 . 6、设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，={5}，求实数a，b的值. 巩固练习： 1、若集合A=｛y∣y=x2+1，x∈R｝，B=｛x∣x+5＞0｝，则集合A和B的关系是（ ） A．A∈B B．A⊆B C．A⊇B D．A=B 2、设集合A=｛x∣-1＜x≤3｝，集合B=｛x∣x＞a｝，若A⫋B，则a的取值范围是（ ） A．a≥3 B．a≤-1 C．a＞3 D．a＜-1 3、已知A={1，2，3}，B={（x，y）| x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B的子集的个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 4、设集合A=｛x∣2≤x≤6｝，B=｛x∣2a≤x≤a+3｝，若B⊆A，则实数a的取值范围是（ ） A．｛a∣1≤a≤3｝ B．｛a∣a≥3｝ C．｛a∣a≥1｝ D．｛a∣1＜a＜3｝ 5、已知集合A=｛1，2｝，B=｛x∣x∈A｝，则集合A与B的关系是_________． 6、集合A=｛x∣x2=4，x∈R｝，B=｛x∣kx=4，x∈R｝，若B⊆A，则实数k= . 7、设集合A=｛x∣1＜x≤2｝，B={x∣x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是_________． 8、设A=｛x∣x2-3x-10≤0｝，B={x∣a+1≤x≤2a-1}，若A⊇B，则a的取值范围是______． 9、设集合A=｛y∣y=x2-2x-1，x∈R｝，B={x∣-2≤x＜8}，则集合A与B的关系是_______． 10、已知全集U=｛3，4，a2+2a+3｝，集合A=｛3，4｝，=｛6｝，则实数a的值为_______． 11、已知集合A=｛x∈R∣x2-3x+4=0｝，集合B=｛x∈R∣（x+1）（x2-3x+4）=0｝，若A⫋P⊆B，求满足条件的集合P构成的集合． 12、已知集合M=｛x∣x2+2x-a=0｝. （1）若∅⫋M，求实数a的取值范围； （2）若N=｛x∣x2+x=0｝且M⊆N，求实数a的取值范围. 13、设集合A=｛2，3，a2+2a-3｝，B={∣2a-1∣，2} （1）若={5}，求实数a的值； （2）若B⊆A，求实数a的取值集合. 14、已知全集U=R，集合A={x∣x＞3或x≤-2}，集合B={x∣2m-1＜x＜m+1}，且B⊆，求实数m的取值范围. 15、已知集合A=｛x∣x2-3x-10≤0｝. （1）若A⊆B，B=｛x∣m-6≤x≤2m-1｝，求实数m的取值范围； （2）若B⊆A，B=｛x∣m-6≤x≤2m-1｝，求实数m的取值范围； （3）若B=｛x∣m-6≤x≤2m-1｝，是否存在实数m，使得A=B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$