2024年高中数学暑假初高衔接讲义7　集合的概念与表示

遍历山河，人间值得。 练习主题 集合的概念与表示 在初中的数学中，我们曾做过下面的作业： 这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么， （1）什么是集合？ （2）如何用数学语言表示集合？ 考察一下“整数集合”，15可以填入“整数集合”的圈内，而不能填入这个圈内；-5可以填入“整数集合”的圈内，而不能填入这个圈内……可以发现，对于给定的数，这个数要么可以填入“整数集合”，要么不可以填入“整数集合”，两者有且只有一种情形成立. 这说明，“整数集合”由确定的、互不相同的“数”组成，对于任意给定的一个数，这个数要么在“整数集合”中，要么不在“整数集合”中，两者一定有一个成立，而且只有一个成立. 一、集合的概念 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合（set）。集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元. “中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津、上海和重庆这4个城市. “young中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是y，o，u，n，g这5个字母. “book中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是b，o，k这3个字母. 二、集合中元素的特性 （1） ：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的； （2） ：集合中的元素一定是不同的； （3） ：集合中的元素没有固定的顺序. 例1、下列给出的对象中，能表示集合的是（ ） A.一切很大的数 B.无限接近零的数 C.聪明的人 D.方程x2=-2的实数根 对应练习： 1、下列语句能确定是一个集合的是（ ） A.著名的科学家 B.留长发的女生 C.2010年广州亚运会比赛项目 D.视力差的男生 2、下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点 3、已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4、由实数x，-x，∣x∣，及所组成的集合，最多含有元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 三、集合的表示 （1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、…… （2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c…… 四、常用数集 自然数集：_____；正整数集：_____；整数集：_____；有理数集：_____；实数集： . 五、元素与集合的关系 集合的元素常用小写拉丁字母表示.如果a是集合A的元素，那么就记作a∈A，读作“a属于A”，例如，∈R；如果a不是集合A的元素，那么就记作a∉A或aA，读作“a不属于A”，例∉Q. 六、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素 出来，写在大括号内； （2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的 及取值（或变化）范围，再画上竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的 . 七、识别集合含义的方法 （1）看代表元素：例如｛x∣p（x）｝表示数集，｛（x，y）∣p（x）｝表示点集； （2）看条件：例如｛x∣y=x2+1｝，｛y∣y=x2+1｝，｛（x，y）∣y=x2+1｝是不同的集合. 例2、用符号“”或“”填空。 （1）-3 N； （2）3.14 Q； （3）0______N； （4）0 ； （5）-1______N； （6） Q； （7）π Q； （8）π R. 例3、已知集合A=｛0，m，m2-3m+2｝，且2∈A，求实数m的值. 例4、用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x-3＞5的解集； （3）方程x2+x+1=0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点组成的集合； 例5、用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色组成的集合； （2）单词mathematics中的字母组成的集合； （3）自然数中不大于10的质数组成的集合； （4）同时满足的整数组成的集合； （5）由（a，b∈R）所确定的实数组成的集合. 八、集合分类（根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类） （1）把不含任何元素的集合叫做 记作 ； （2）含有有限个元素的集合叫做 ； （3）含有无穷个元素的集合叫做 . 九、集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等，记作A=B.用符号语言可以表述为：若对任意x∈A，有x∈B，且对任意x∈B，有x∈A，则A=B. 例6、下列四个集合中，是空集的是（ ） A.{x∣x+3=3} B.{（x，y）∣y=-x2，x，y∈R} C.{x∣x≤0} D.{x∣x2-x+1=0，x∈R} 例7、下列各组中M，P表示同一集合的个数是（ ） ①M=｛3，-1｝，P={（3，-1）}； ②M={（3，1）}，P={（1，3）}； ③M=｛y∣y=x2-1｝，P={t∣t=-1}； ④M=｛y∣y=x2-1｝，P=｛（x，y）∣y=x2-1｝； 课堂练习： 1、给出下列关系：①∈R；②∈Q；③-3∉Z；④∉N，其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2、下面各组对象中不能形成集合的是（ ） A.所有的直角三角形 B.一次函数y=x+1 C.高一年级中家离学校很远的学生 D.大于2的所有实数 3、下列说法正确的是（ ） A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合 C.所有小正数组成一个集合 D.1，0.5，，，，这六个数能组成一个集合 4、若集合A={x∈R∣ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=（ ） A.4 B.2 C.0 D.0或4 5、设集合A={0，1，2}，则集合B={x-y∣x∈A，y∈B}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 6、设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x∣x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 7、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）∣x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10 8、已知集合A={a，b，1}，B={-1，2，a2}，若A=B，则的值为（ ） A.1 B. C.-1 D.1或 9、已知集合{1，a，a+b}={0，，b}，则下列结论正确的是（ ） A.a=0 B.a=1 C.a=b=-1 D.a=-1，b=1 10、若集合M={0，1，2}，N={（x，y）∣x-2y+1≥0且x-2y-1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（ ） A.9 B.6 C.4 D.2 11、已知集合A=｛a∣=1有唯一解｝，用列举法表示集合A为 . 12、若集合A=｛x∈Z∣-2≤x≤2｝，B=｛x2-1∣x∈A｝，用列举法表示集合B为 . 13、已知集合M=｛x∣（x-a）（x2-ax+a-1）=0｝的各元素之和为3，则实数a的值 . 14、已知集合A=｛x∣ax2-2x+a=0｝，a为实数. （1）若集合A是空集，求a的取值范围； （2）若集合A中只含有一个元素，求a的值； （3）若集合A中有两个元素，求a的取值范围. 15、集合A是由形如m+n（m∈Z,n∈Z）的数构成的，试分别判断a=，b=，c=(1)2与集合A的关系. 16、已知x=m+n，其中m∈Z，n∈Z，由x的全体组成集合A. （1）设x1=，x2=，x3=（）2，试判断x1，x2，x3与集合A的关系； （2）任取x1∈A，x2∈A，试判断x1+x2与集合A之间的关系. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$