2024年高中数学暑假初高衔接讲义6.不等式

遍历山河，人间值得。 练习主题 不等式 第一节：一元二次不等式 知识对接 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识． 一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）及一元二次方程ax2+bx+c=0的关系（简称：三个二次）． 以二次函数y=x2+x-6为例： （1）作出图象； （2）根据图象容易看到，图象与x轴的交点是（-3，0），（2，0），即当x=-3或x=2时，y=0．就是说对应的一元二次方程x2+x-6=0的两实根是x=-3或x=2． （3）当x＜-3或x＞2时，y＞0，对应图像位于x轴的上方．就是说x2+x-6＞0的解是x＜-3或x＞2． （4）当-3＜x＜2时，y＜0，对应图像位于x轴的下方．就是说x2+x-6＜0的解是3＜x＜2． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： （1）将二次项系数先化为正数； （2）观测相应的二次函数图象． ①如果图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2（也可由根的判别式△＞0来判断）． 那么（图1）： ax2+bx+c＞0 （a＞0） x＜x1或x＞x2 ax2+bx+c＜0 （a＞0） x1＜x＜x2 ②如果图象与x轴只有一个交点（，0），此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=（也可由根的判别式△=0来判断）． 那么（图2）： ax2+bx+c＞0 （a＞0） x≠ ax2+bx+c＜0 （a＞0） 无解 ③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式△＜0来判断）． 那么（图3）： ax2+bx+c＞0 （a＞0） x取一切实数 ax2+bx+c＜0 （a＞0） 无解 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： （1）化二次项系数为正； （2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1，x2．那么“＞0”型的解为x＜x1或x＞x2 （俗称两根之外）；“＜0”型的解为x1＜x＜x2（俗称两根之间）；也就是通常所说的因式分解法. （3）否则，对二次三项式进行配方，变成ax2+bx+c=a（x+）2+，结合完全平方式为非负数的性质求解． 题型1、用图像法解一元二次不等式 例1、利用二次函数的图像解一元二次不等式x2+4x-12＞0和x2+4x-12＜0. 题型2、用因式分解法解一元二次不等式 例2、解不等式x2+4x-12＞0. 例3、解下列不等式： （1）（x+2）（x-3）＜6 （2）（x-1）（x+2）≥（x-2）（2x+1） 对应练习： 1、满足不等式x（x2+1）＞（x+1）（x2-x+1）的x的取值范围是 . 2、若2x2-5x+2＜0，则+2∣x-2∣= . 3、解下列不等式： （1）x2-2x-8＜0 （2）x2-4x+4≤0 （3）x2-x+2＜0 （4）x2+1＞4x-3 （5）（2x-1）2+（x-1）2＞x （6）-x2+x+6≤0 第二节：含参数的一元二次不等式 知识对接 前一节我们一起探讨了一元二次不等式的解法，本节我们学解含参数的一元二次不等式.通常情况下，均需对字母系数的取值分类进行讨论，这是一元二次不等式的难点.那么如何讨论呢？对含参数的一元二次不等式常用的分类方法有三种： （1）按二次项的系数a的符号分类，即a＞0，a=0，a＜0； （2）按判别式△的符号分类，即△＞0，△=0，△＜0； （3）按方程ax2+bx+c=0的根x1、x2的大小分类，即x1＞x2，x1=x2，x1＜x2. 题型1、讨论二次项系数 例1、解不等式ax2+（a+2）x+1＞0. 例2、解不等式：ax2-5ax+6a＞0（a≠0） 题型2、讨论对应的一元二次方程根的判别式 例3、解不等式x2+ax+4＞0. 例4、解不等式（m2+1）x2-4x+1≥0. 题型3、讨论对应方程两个解的大小 例5、解关于x的不等式：＜1-a. 例6、解不等式：x2-5ax+6a2＞0（a≠0） 例7、解关于x的不等式：（x-2）（ax-2）＞0 题型4、根据不等式的解集求参数 例8、已知关于x的不等式k2-kx＞x+2的解集为x＞，求实数k的值. 例9、已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，求实数k的取值范围． 例10、已知关于x的不等式kx2-（k2+1）x-3＜0的解为-1＜k＜3，求k的值． 例11、已知不等式∣x2-5x+6∣≤x+a，其中a是实数，若不等式恰有3个整数解，求满足条件的所有a的值. 例12、已知不等式2x2+px+q＜0的解是-2＜x＜1，求不等式px2+qx+2＞0的解． 第三节：分式不等式 知识对接 初中我们学习了分式方程的解法，高中阶段引进了分式不等式，其解法与分式方程没有联系，它主要是通过讨论分子和分母的符号求不等式的解集. 1、定义：形如＞0或＜0（其中f（x）、g（x）为整式且g（x）不为0）的不等式称为分式不等式. 2、分式不等式的解法： （1）根据分式不等式的符号，确定分子和分母同号还是异号； （2）根据分子和分母的符号列出不等式组； （3）求出不等式组的解集，即为分式不等式的解集. 例1、解下列不等式： （1）＜0 （2）≥0 （3）≤3 对应练习： 1、解下列不等式： （1）≥0 （2）＜2 （3）＞-1 （4）＞0 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$