2024年高中数学暑假初高衔接讲义4.一元二次方程

遍历山河，人间值得。 练习主题 一元二次方程 第一节：一元二次方程根的判别式 一、知识对接： 初中阶段我们初步学习了： 1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac. 定理1：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0， 方程有两个不相等的实数根. 定理2：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0， 方程有两个相等的实数根. 定理3：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0， 方程没有实数根. 定理4：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不相等的实数根， △＞0. 定理5：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等的实数根， △=0. 定理6：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根， △＜0. 例1、已知关于x的方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根，化简∣-k-2+∣. 对应练习： 1、已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长. （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 巩固练习： 1、已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2-1）-2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2、关于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、如果关于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，那么m的取值范围是 . 4、设下列三个一元二次方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+1+a2=0，x2+2ax-2a+3=0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 . 5、已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=∣m∣. （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 6、若方程∣x2-5x∣=a，有且只有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 7、若方程∣x2+ax∣=4，有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根. 8、a、b为实数，关于x的方程∣x2+ax+b∣=2有3个不相等的实数根. （1）求证：a2-4b-8=0； （2）若该方程的3个不等实根恰为一个三角形3个内角的度数，求证：该三角形必有一个内角为60°. 第二节：一元二次方程根与系数的关系 初中知识回顾： 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，则x1=，x2= ++=， ··== 定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为，，那么：+，· 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是△≥0． 例1、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 例2、若x1、x2是方程x2+2x-2012=0的两个根，试求下列各式的值. （1）； （2）； （3）（x1-5）（x2-5）； （4）∣x1-x2∣ 例3、设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2. （1）若=6，求m的值； （2）求的最大值. 对应练习： 1、关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0 2、若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18,则+的值是（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 3、若实数a≠b，且a、b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0，则代数式+的值为（ ） A. -20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或20 4、若方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，则k的值是 . 5、设x1、x2是方程x2+qx+p=0的两实根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p=_____，q=_____． 第三节：根的判别式及根与系数的关系的应用 例1、（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x2-3x+1的交点的个数； （2）若直线y=2x+b与抛物线y=x2有两个不同的交点，求b的取值范围. 例2、已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0，根据下列条件，分别求出k的值． （1）方程两实根的积为5； （2）方程的两实根x1、x2满足∣x1∣=x2． 对应练习： 1、关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 2 2、已知m、n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ） A. 7 B. 11 C. 12 D. 16 3、已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于点O，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+（2m-1)x+m2+3=0 的根，则m等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 4、已知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于_____． 5、已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1、x2. （1）求k的取值范围； （2）若∣x1+x2∣=x1x2-1，求k的值. 6、若x1、x2是关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0的两个实数根，且x1、x2都大于1． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$