2024年高中数学暑假初高衔接讲义3.因式分解

遍历山河，人间值得。 练习主题 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等． 一、公式法（立方和、立方差公式） 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： （a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3 （立方和公式） （a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3 （立方差公式） 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2） 这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 例1、用立方和或立方差公式分解下列各多项式： （1）-64； （2）； （3）； 对应练习： 1、把下列各式分解因式： （1）a3+27； （2）8-m3； （3）-27x3+8； 二、十字相乘法 题型一：x2+（p+q）x+pq型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： （1）二次项系数是1；（2） 常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和． x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q） 因此，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例2、把下列各式因式分解： （1）x2-7x+6； （2）x2+13x+36； （3）x2+5x-24； （4）x2-2x-15 对应练习： 1、把下列各式分解因式： （1）x2-3x+2； （2）x2+37x+36； （3）x2+11x-26 例3、把下列各式因式分解： （1）x2+xy-6y2； （2）（x2+x）2-8（x2+x）+12 对应练习： 1、把下列各式分解因式： （1）（x2-2x）2-9； （2）x4-7x2-18； （3）ax5-10ax4+16ax3 题型二：一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解 大家知道，（a1x+c1）（a2x+c2）=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2． 反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2） 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1，a2，c1，c2写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于上一行，a2，c2位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例4、把下列各式因式分解： （1）12x2-5x-2； （2）5x2+6xy-8y2 对应练习： 1、把下列各式分解因式： （1）6x2-7x-3； （3）2x2-5x-3； （3）3x2+8x-3； （4）2x2+15x+7； （5）3x2-8x+4； （6）8x2+26xy-15y2； 课堂练习： 1、把下列各式分解因式： （1）p3q3； （2）8x3y3； （3）x3y3+c3 （4）x2-6x-27； （5）m2-4mn-5n2； （6）（a-b）2+11（a-b）+28； （7）7（a+b）2-5（a+b）-2； （8）5x2+6x-8； （9）14a2-67ab+18b2 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$