专题05不等式与不等式组（4个概念1个性质4个解法2个应用专练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题05不等式与不等式组（4个概念1个性质4个解法2个应用专练） 4个概念 【考查题型一】不等式 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【例1】．（2024春•西安校级月考）在下列数学表达式中，不等式的个数是（　　） ①﹣3＜0； ②a+b＜0； ③x＝3； ④x≠5； ⑤x+2＞y+3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】．（2024春•碑林区校级月考）梁老师在黑板上写了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】．（2024春•浑南区期中）一袋牛奶的包装盒上标重（200±2）g，则这袋牛奶的实际重量x满足（　　） A．x＝200g B．x＝202g C．x＝202g或198g D．198g≤x≤202g 【变式1-3】．（2023秋•澧县期末）网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（　　） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 【考查题型二】一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【例2】．（2024春•顺义区校级月考）下列是一元一次不等式的有（　　） x＞0，，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】．（2024春•蚌埠月考）下列各式中是一元一次不等式的是（　　） A．4x﹣1＞0 B．3＞﹣1 C．2x﹣1＞y+1 D． 【变式2-2】．（2024春•海安市期中）如图，将两个关于x的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上则这两个不等式的公共解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＞3 C．﹣1≤x＜3 D．x＜3 【变式2-3】．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 【考查题型三】一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【例3】．下列不等式组： ①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】．下列不等式组：①，②，③，④，⑤． 其中一元一次不等式组的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】下列各式不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2022春•潍坊期中）写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　 　． 【考查题型四】不等式（组）的解或解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【例4】．（2024春•砀山县月考）不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【变式4-1】．（2024春•霍邱县月考）不等式的整数解的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-2】．（2024春•竞秀区期中）关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（　　） A．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5 【变式4-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣1＜x＜2的是（　　） A． B． C． D． 1个性质 【考查题型五】不等式性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【例5】．（2024春•文山市月考）如果a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D． 【变式5-1】．（2024春•文山市月考）若不等式ax＞a可化为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤0 【变式5-2】．（2024春•利辛县月考）下列说法：①若a﹣3＞b﹣3，则a＞b；②若a2＞a，则a＞1；③若a＞b，则a（a﹣b）＞b（a﹣b）；④若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【便是5-3】．（2024春•南岸区期中）已知x＜y，则下列各式中一定成立的是（　　） A．x﹣y＞0 B．xm2＜ym2 C． D．﹣3x＞﹣3y 4个解法 【考查题型六】一元一次不等式的解法 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【例6】．（2024春•南岗区校级月考）解下列不等式： （1）2﹣5x≥8﹣2x； （2）． 【变式6-1】．（2024春•惠阳区校级期中）解不等式2x+1＜﹣3，并把解集在数轴上表示出来． 【变式6-2】．（2024春•郸城县期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y＞﹣2，求a的取值范围． 【变式6-3】．（2024春•南岗区校级月考）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． （1）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围； （2）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值． 【考查题型七】一元一次不等式组的解法 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【例7】．（2024春•道里区校级月考）阅读材料，解决问题． 解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组 ①得x＞2，解不等式组 ②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． （1）直接写出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是 　 　； （2）求不等式的解集． 【变式7-1】．（2024•中卫模拟）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式7-2】．（2024春•市中区校级期中）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）解不等式组． 【变式7-3】．（2024春•南岗区校级月考）关于x，y的方程组的解为非负数，求m的取值范围． 【考查题型八】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【例8】．（2024春•雁塔区校级月考）关于x的不等式只有4个正整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C． D． 【变式8-1】．（2024•渭南二模）解不等式，并求出该不等式的最小整数解． 【变式8-2】．（2024春•太湖县期中）计算： （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+2y≤0，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【变式8-3】．（2024春•蚌埠月考）已知关于x的方程x﹣a﹣1＝0． （1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的负整数解，求a的值． 【考查题型九】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【例9】．（2024•西安模拟）解不等式组：，并写出所有整数解． 【变式9-1】．（2024•大冶市模拟）求不等式组的负整数解． 【变式9-2】．（2024•凉州区二模）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b满足关系式|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c是不等式组的最大整数解，求△ABC的周长． 【变式9-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是 　　；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围． 2个应用 【考查题型十】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【例10】．（2024春•沙坪坝区期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． （1）若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ （2）沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少40%，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【变式10-1】．（2024春•利辛县月考）少年强则中国强！随着双减政策的落地实施，某校结合实际，开设了多门特色课程．为了更好地开展三大球类活动，学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，价格如表所示．设足球的个数为x． （1）完成表格： 管小共 足球 篮球 排球 单价（元） 90 120 60 个数（个） x 　　 　　　 总价（元） 90x 　　 　 　　　 （2）若要求排球的个数不少于足球的2倍，求最多可以购买多少个足球？ （3）若要求采购的总资金不超过7500元，求最多可以购买多少个足球？ 【变式10-2】．（2024春•朝阳区校级月考）某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进A型机器人多少台？（列不等式解决问题） 【变式10-3】．（2024春•道里区校级月考）苏宁电器商店销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电饭锅，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 2台 6台 1840元 第二天 5台 7台 2840元 （1）求A、B两种型号电饭锅的销售单价分别是多少； （2）现超市准备再次采购这两种型号的电饭锅共40台且全部售出后，利润不低于2660元，求A种型号的电饭锅至少要采购多少台？ 【考查题型十一】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【例11】．（2024春•蚌埠月考）市青少年宫决定组织学生开展研学活动，若每位老师带16名学生，还剩28名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．计划此次研学活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）求参加此次研学活动的老师有多少人？参加此次研学活动的学生有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，请直接写出租用客车的辆数； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【变式11-1】．（2024春•安溪县期中）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过9240元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则共有多少种进货方案？ （3）该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调m元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求m的值． 【变式11-2】．（2024春•大观区校级月考）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元/辆） 400 340 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 　　辆； （3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【变式11-3】．（2024春•番禺区校级月考）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ （2）该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ （3）在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05不等式与不等式组（4个概念1个性质4个解法2个应用专练） 4个概念 【考查题型一】不等式 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【例1】．（2024春•西安校级月考）在下列数学表达式中，不等式的个数是（　　） ①﹣3＜0； ②a+b＜0； ③x＝3； ④x≠5； ⑤x+2＞y+3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】“由不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接的式子叫不等式”． 【解答】解：不等式有：①﹣3＜0；②a+b＜0；④x≠5；⑤x+2＞y+3；所以共有4个． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【变式1-1】．（2024春•碑林区校级月考）梁老师在黑板上写了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据不等式的定义，依次分析即可． 【解答】解：∵用不等号表示大小关系的式子叫做不等式， 其中常用不等号有：“＞”或“＜”或“≥”或“≤”或“≠”， ∴属于不等式的为：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1，共有4个， 故选：C． 【点评】本题主要考查不等式的定义，熟知用“＞”或“＜”或“≥”或“≤”号表示大小关系的式子，用“≠”号表示不等关系的式子叫做不等式是解题的关键． 【变式1-2】．（2024春•浑南区期中）一袋牛奶的包装盒上标重（200±2）g，则这袋牛奶的实际重量x满足（　　） A．x＝200g B．x＝202g C．x＝202g或198g D．198g≤x≤202g 【分析】“（200±2）g”的字样表示在200上下2g的范围内． 【解答】解：∵一袋牛奶的包装盒上标重（200±2）g， ∴（200﹣2）g≤x≤（200+2）g，即198g≤x≤202g． 故选：D． 【点评】此题考查不等式的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式1-3】．（2023秋•澧县期末）网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（　　） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得手机支架的价格，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明手机支架的价格少于20元， 乙、丙的说法错误，说明手机支架的价格高于18元， 又因为琪琪同学花整数元购买了一个手机支架， 所以手机支架的价格是19元， 故选：C． 【点评】本题考查的是不等式的定义，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到手机支架的价格． 【考查题型二】一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【例2】．（2024春•顺义区校级月考）下列是一元一次不等式的有（　　） x＞0，，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一分析即可． 【解答】解：x＞0，是一元一次不等式； ，未知数的次数是﹣1次，不是一元一次不等式； 2x＜﹣2+x，是一元一次不等式； x+y＞﹣3，含有两个未知数，不是一元一次不等式； x＝﹣1，是等式，不是一元一次不等式； x2＞3，未知数的次数是2次，不是一元一次不等式； 所以是一元一次不等式的有2个． 故选：B． 【点评】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式2-1】．（2024春•蚌埠月考）下列各式中是一元一次不等式的是（　　） A．4x﹣1＞0 B．3＞﹣1 C．2x﹣1＞y+1 D． 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、4x﹣1＞0是一元一次不等式，故符合题意； B、3＞﹣1中不含未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意； C、2x﹣1＞y+1有两个未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意； D、分母含有未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，关键是一元一次不等式定义的熟练掌握． 【变式2-2】．（2024春•海安市期中）如图，将两个关于x的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上则这两个不等式的公共解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＞3 C．﹣1≤x＜3 D．x＜3 【分析】找出两个不等式解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为x＞3， 故选：B． 【点评】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键． 【变式2-3】．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 【分析】由一元一次不等式的未知数的最高次数为1次且一次项系数不为零，可得关于m的方程与不等式；接下来根据一元一次方程的解法解方程、根据一元一次不等式的解法解不等式，即可得到m的值． 【解答】解：（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式， 由一元一次不等式的定义可得：m﹣2≠0且|m|﹣1＝1． 解m﹣2≠0，得m≠2， 由|m|﹣1＝1，得m＝±2， 所以m＝﹣2． 故答案为：m＝﹣2． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，解答本题的关键是需要掌握一元一次不等式的定义． 【考查题型三】一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【例3】．下列不等式组： ①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【解答】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【变式3-1】．下列不等式组：①，②，③，④，⑤． 其中一元一次不等式组的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键． 【变式3-2】下列各式不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 【变式3-3】．（2022春•潍坊期中）写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　 　． 【分析】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可． 【解答】解：当解集为﹣1≤x＜2时， 构造的不等式组为． 答案不唯一 【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【考查题型四】不等式（组）的解或解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【例4】．（2024春•砀山县月考）不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需把（2a﹣1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（�或除以）同一个负数，从而求出a的范围． 【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2， ∴不等式变号， ∴2a﹣1＜0， ∴a． 故选：B． 【点评】含有字母系数的不等式是近年来中考的热点问题，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，�为此需熟练掌握不等式的基本性质，它是正确解一元一次不等式的基础． 【变式4-1】．（2024春•霍邱县月考）不等式的整数解的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先化简不等式，得，再根据，得出x的范围，最后取整数解，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴﹣1≤x≤3， ∵x为整数， ∴x＝﹣1，0，1，2，3， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的解集，关键是无理数的估算以及解不等式． 【变式4-2】．（2024春•竞秀区期中）关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（　　） A．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5 【分析】由不等式组无解可得m与5的大小关系，即可求解． 【解答】解：∵x的不等式组无解， ∴m≤5， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式4-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣1＜x＜2的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的解集﹣1＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜2，然后从选项中找出有可能的不等式组． 【解答】解：∵﹣1＜x＜2， ∴x＞﹣1和x＜2， 从而得出， 与四个选项中的不等式组比较知，A选项的不等式组符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式组的解集，找到解集是解题的关键． 1个性质 【考查题型五】不等式性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【例5】．（2024春•文山市月考）如果a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D． 【分析】利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：A、如果a＞b，那么a﹣3＞b﹣3，故本选项错误，不符合题意； B、如果a＞b，那么3a＞3b，故本选项错误，不符合题意； C、如果a＞b，那么﹣a＜﹣b，故本选项错误，不符合题意； D、当a＞b时，那么，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式5-1】．（2024春•文山市月考）若不等式ax＞a可化为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤0 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案． 【解答】解：∵不等式ax＞a可化为x＜1， ∴a＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，关键是掌握不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式5-2】．（2024春•利辛县月考）下列说法：①若a﹣3＞b﹣3，则a＞b；②若a2＞a，则a＞1；③若a＞b，则a（a﹣b）＞b（a﹣b）；④若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用不等式性质进行判断即可． 【解答】解：若a﹣3＞b﹣3，两边同时加上3得a＞b，则①正确； 若a＝﹣1，那么a2＞a，则②错误； 若a＞b，那么a﹣b＞0，故a（a﹣b）＞b（a﹣b），则③正确； 若a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，则④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【便是5-3】．（2024春•南岸区期中）已知x＜y，则下列各式中一定成立的是（　　） A．x﹣y＞0 B．xm2＜ym2 C． D．﹣3x＞﹣3y 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可． 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x﹣y＜0， 故A选项错误； B、当m＝0时，xm2＝ym2， 故B选项是错误； C、∵x＜y ∴， ∴， 故C选项错误； D、∵x＜y， ∴﹣3x＞﹣3y， 故D选项正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 4个解法 【考查题型六】一元一次不等式的解法 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【例6】．（2024春•南岗区校级月考）解下列不等式： （1）2﹣5x≥8﹣2x； （2）． 【分析】（1）先移项、再合并同类项，然后把x的系数化为1，即可得出答案； （2）先去分母，再移项，然后合并同类项，把x的系数化为1，即可得出答案． 【解答】解：（1）2﹣5x≥8﹣2x， ﹣5x+2x≥8﹣2， ﹣3x≥6， x≤﹣2； （2）， x+5﹣2＜3x+2， x﹣3x＜2﹣3， ﹣2x＜﹣1， x． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【变式6-1】．（2024春•惠阳区校级期中）解不等式2x+1＜﹣3，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：移项，得：2x＜﹣3﹣1， 合并同类项，得：2x＜﹣4， 系数化为1，得：x＜﹣2， 将解集表示在数轴上如下： ． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式6-2】．（2024春•郸城县期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y＞﹣2，求a的取值范围． 【分析】将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，即x+y2，解之可得答案． 【解答】解：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a， 则x+y， 由x+y＞﹣2可得2， 解得a＞﹣5， 所以a的取值范围为：a＞﹣5． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式． 【变式6-3】．（2024春•南岗区校级月考）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． （1）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围； （2）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值． 【分析】（1）根据新运算，得到（x+2）⊗3＝2x+7，解不等式2x+7＞7，即可求解， （2）根据新运算，得到x⊗（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝4y+x，解二元一次方程组，代入x+y，即可求解． 【解答】解：（1）（x+2）⊗3＝2×（x+2）+3＝2x+7， ∵（x+2）⊗3＞7， ∴2x+7＞7， ∴x＞0； （2）x⊗（﹣y）＝2x+（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝2•2y+x＝4y+x， ∵x⊗（﹣y）＝5，2y⊗x＝7， ∴， 解得：， ∴x+y＝4． 【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【考查题型七】一元一次不等式组的解法 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【例7】．（2024春•道里区校级月考）阅读材料，解决问题． 解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组 ①得x＞2，解不等式组 ②得x＜﹣2． 所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2． （1）直接写出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是 　 　； （2）求不等式的解集． 【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵（2x+8）（2﹣x）＜0， ∴或， 解得：x＞2或x＜﹣4， ∴一元二次不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是x＞2或x＜﹣4； （2）∵， ∴或， 解得：﹣2＜x＜2或无解， ∴一元二次不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是﹣2＜x＜2． 【点评】本题考查解不等式组：根据题意有理数乘法法则列不等式组求解是关键． 【变式7-1】．（2024•中卫模拟）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 解①得：x≥﹣3， 解②得：x＜3， 所以此不等式组的解集为﹣3≤x＜3， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式7-2】．（2024春•市中区校级期中）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）解不等式组． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再去两个解集的公共部分即可作答． 【解答】解：（1）， 2（2x﹣1）＜6﹣3（2x+1）， 4x﹣2＜6﹣6x﹣3， 4x+6x＜2+6﹣3， 10x＜5， ， 数轴上表示如图1： （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 即不等式组的解集为：， 数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查了求解不等式（组）的解集，以及将所得的解集表示在数轴上的知识，掌握不等式的解集求解方法是解答本题的关键． 【变式7-3】．（2024春•南岗区校级月考）关于x，y的方程组的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】先利用加减消元法得出，再由题意得出，解不等式组即可． 【解答】解：， 由①+②得：2x＝4m， 解得：x＝2m， 将x＝2m代入①得：2m+y＝m+1， 解得：y＝1﹣m， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解为非负数， ∴， 解得：0≤m≤1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【考查题型八】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【例8】．（2024春•雁塔区校级月考）关于x的不等式只有4个正整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C． D． 【分析】先求得不等式的解集，根据数轴表示的解集，构造不等式计算即可． 【解答】解：∵， ∴x＜2﹣3m， ∵不等式只有4个正整数解， ∴这四个正整数解为1，2，3，4， ∴4＜2﹣3m≤5， 解得， 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键． 【变式8-1】．（2024•渭南二模）解不等式，并求出该不等式的最小整数解． 【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【解答】解： 去分母，得2x+1≤6x﹣3， 移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣4， 系数化为1，得x≥1， ∴原不等式的最小整数解为1． 【点评】本题主要考查了求不等式的最小整数解，熟练掌握解不等式是关键． 【变式8-2】．（2024春•太湖县期中）计算： （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+2y≤0，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【分析】（1）将m看作已知数求出方程组的解，即可得到关于m的不等式，解不等式求出m的范围即可． （2）先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于a的不等式组，解之即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②，得3x＝﹣2m， 解得xm． 将xm代入②，得m+2y＝2， 解得y＝1m． ∵3x+2y≤0， ∴﹣2m+2m≤0， 解得m． 故m的取值范围是m． （2）解不等式，得：x＞2﹣3a， ∵不等式有最小整数解2， ∴1≤2﹣3a＜2， 解得：0＜a， 故a的取值范围是0＜a． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 【变式8-3】．（2024春•蚌埠月考）已知关于x的方程x﹣a﹣1＝0． （1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的负整数解，求a的值． 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足x≤2，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为x＝﹣1，代入方程，即可求解． 【解答】解：（1）∵x﹣a﹣1＝0， ∴x＝a+1， ∵该方程的解满足x≤2， ∴a+1≤2， 解得：a≤1． （2）， 6﹣3（x+6）＜2（2x+1）， 6﹣3x﹣18＜4x+2， ﹣3x﹣4x＜2﹣6+18， ﹣7x＜14， x＞﹣2， ∴该不等式的负整数解为x＝﹣1， 由题意，得a+1＝﹣1， 解得a＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【考查题型九】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【例9】．（2024•西安模拟）解不等式组：，并写出所有整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案． 【解答】解：解不等式4x+5＞x﹣1，得x＞﹣2， 解不等式2x+1≥3x，得x≤1， ∴不等式组的解集是﹣2＜x≤1， ∴不等式组的所有整数解是﹣1，0，1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式9-1】．（2024•大冶市模拟）求不等式组的负整数解． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，进而可得不等式组的负整数解． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≥﹣2， 解不等式②，得：x＜3， ∴该不等式组的解集为﹣2≤x＜3， ∴该不等式组的负整数解是﹣2，﹣1． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式9-2】．（2024•凉州区二模）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b满足关系式|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c是不等式组的最大整数解，求△ABC的周长． 【分析】根据非负数的性质得到a、b的值；再由不等式组的解集求出c的值，进而求出三角形的周长． 【解答】解：∵|a﹣2|+（b﹣5）2＝0 ∴a﹣2＝0，b﹣5＝0， ∴a＝2，b＝5， ∵解不等式组得： ， ∵c是不等式组的最大整数解， ∴c＝4， ∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+5+4＝11． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法和非负数的性质是解题的关键． 【变式9-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是 　　；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出m的范围，然后求出方程的解为x＝6m﹣7，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式，最后取公共部分即可． 【解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得x＝3； ②4x﹣8＝0，解得x＝2； ③，解得x＝1； 解不等式2x﹣2＞x﹣1得：x＞1， 解不等式3（x﹣2）﹣x≤4得：x≤5， ∴的解集为1＜x≤5， ∵x＝3，x＝2在1＜x≤5范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：x＞﹣1， 解不等式得：x≤7， ∴的解集为﹣1＜x≤7， 关于x的方程2x﹣k＝6的解为， ∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”， ∴在﹣1＜x≤7范围内， ∴， 解得﹣8＜k≤8； （3）解不等式x+3m＞3m得：x＞0， 解不等式x﹣m≤2m+1得：x≤3m+1， ∴的解集为0＜x≤3m+1， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴4≤3m+1＜5， 解得， 关于x的方程的解为x＝6m﹣7， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴x＝6m﹣7在0＜x≤3m+1范围内 ∴0＜6m﹣7≤3m+1， 解得， 综上所述，． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． 2个应用 【考查题型十】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【例10】．（2024春•沙坪坝区期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． （1）若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ （2）沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少40%，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【分析】（1）设A礼盒的预售价为x元，则B礼盒的预售价为2x元，根据“预售总额不少于21000元”列出不等式解答即可； （2）根据“A礼盒3200盒，B礼盒800盒”和“A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的157售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少40%”列出方程解答即可． 【解答】解：（1）设A礼盒的预售价为x元，则B礼盒的预售价为2x元， 根据题意得：400x+100×2x≥21000， 解得：x≥35， ∴A礼盒的预售价最少为35元． （2）， 解得：a＝20． 答：a的值为20． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式及一元一次方程，正确列出不等式和方程是解答本题的关键． 【变式10-1】．（2024春•利辛县月考）少年强则中国强！随着双减政策的落地实施，某校结合实际，开设了多门特色课程．为了更好地开展三大球类活动，学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，价格如表所示．设足球的个数为x． （1）完成表格： 管小共 足球 篮球 排球 单价（元） 90 120 60 个数（个） x 　2x　 　（100﹣3x）　 总价（元） 90x 　240x　 　60（100﹣3x）　 （2）若要求排球的个数不少于足球的2倍，求最多可以购买多少个足球？ （3）若要求采购的总资金不超过7500元，求最多可以购买多少个足球？ 【分析】（1）根据采购足球、篮球和排球数量间的关系，可用含x的代数式表示出采购篮球、排球的数量，再利用总价＝单价×数量，可用含x的代数式表示出采购篮球、排球的总价； （2）根据采购排球的个数不少于足球的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）根据采购的总资金不超过7500元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，且足球的个数为x（个）， ∴篮球的个数为2x（个），排球的个数为100﹣x﹣2x＝（100﹣3x）（个）， ∴购买篮球的总价为120×2x＝240x（元），排球的总价为60（100﹣3x）（元）． 故答案为：2x，（100﹣3x），240x，60（100﹣3x）； （2）根据题意得：100﹣3x≥2x， 解得：x≤20， ∴x的最大值为20． 答：最多可以购买20个足球； （3）根据题意得：90x+240x+60（100﹣3x）≤7500， 解得：x≤10， ∴x的最大值为10． 答：最多可以购买10个足球． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式10-2】．（2024春•朝阳区校级月考）某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进A型机器人多少台？（列不等式解决问题） 【分析】（1）设B型机器人模型的单价是x元，则A型机器人模型的单价是（x+200）元，根据购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B型机器人模型的单价），再将其代入（x+200）中，即可求出A型机器人模型的单价； （2）设购进m台A型机器人模型，则购进（40﹣m）台B型机器人模型，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过18000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设B型机器人模型的单价是x元，则A型机器人模型的单价是（x+200）元， 根据题意得：5（x+200）﹣7x＝400， 解得：x＝300， ∴x+200＝300+200＝500（元）． 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； （2）设购进m台A型机器人模型，则购进（40﹣m）台B型机器人模型， 根据题意得：500m+300（40﹣m）≤18000， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：至多可以购进A型机器人30台． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式10-3】．（2024春•道里区校级月考）苏宁电器商店销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电饭锅，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 2台 6台 1840元 第二天 5台 7台 2840元 （1）求A、B两种型号电饭锅的销售单价分别是多少； （2）现超市准备再次采购这两种型号的电饭锅共40台且全部售出后，利润不低于2660元，求A种型号的电饭锅至少要采购多少台？ 【分析】（1）设A种型号电饭锅的销售单价为x元，B种型号电饭锅的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量，结合近两天的销售情况，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种型号的电饭锅m台，则采购B种型号的电饭锅（40﹣m）台，根据总利润＝每台利润×购进数量结合利润不低于2660元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种型号电饭锅的销售单价为x元，B种型号电饭锅的销售单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种型号电饭锅的销售单价为260元，B种型号电饭锅的销售单价为220元； （2）设采购A种型号的电饭锅m台，则采购B种型号的电饭锅（40﹣m）台， 根据题意得：（260﹣190）m+（220﹣160）（40﹣m）≥2660， 解得：m≥26， 答：A种型号的电饭锅至少要采购26台． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【考查题型十一】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【例11】．（2024春•蚌埠月考）市青少年宫决定组织学生开展研学活动，若每位老师带16名学生，还剩28名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．计划此次研学活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）求参加此次研学活动的老师有多少人？参加此次研学活动的学生有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，请直接写出租用客车的辆数； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【分析】（1）设出老师有x人，学生有y人，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数； （2）根据汽车总数不能超过（取整为8）辆，即可求出； （3）设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可． 【解答】解：（1）设老师有x人，学生有y人， 依题意，得， 解得， 答：参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人； （2）∵每辆至少要有2名老师， ∴不能超过8辆； 汽车总数不能小于（取整为8）辆， 总数为8辆； 答：租用客车总数为8辆； （3）设租a辆甲种客车，由题意可得： ， 解得1≤a≤3（a为整数）， ∴共有3 种租车方案： 方案一：租用甲3 辆，乙5 辆，租车费用2900元； 方案二：租用甲2 辆，乙6 辆，租车费用3000元； 方案三：租用甲1辆，乙7 辆，租车费用3100元； ∴最节省方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用a辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键． 【变式11-1】．（2024春•安溪县期中）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． （1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过9240元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则共有多少种进货方案？ （3）该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调m元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求m的值． 【分析】（1）设每件甲种茶叶的售价是x元，每件乙种茶叶的售价是y元，根据“3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元”，可列出给你用x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进a件甲种茶叶，则购进（80﹣a）件乙种茶叶，根据“该经销商计划用不超过9240元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍”，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出共有3种进货方案； （3）设购进a件甲种茶叶，这80件茶叶销售总利润为w元，则购进（80﹣a）件乙种茶叶，利用总利润＝每件甲种茶叶的销售利润×购进数量+每件乙种茶叶的销售利润×购进数量，可用含a的代数式表示出w的值，由w的值与a无关，可得出30﹣m＝0，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）设每件甲种茶叶的售价是x元，每件乙种茶叶的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种茶叶的售价是200元，每件乙种茶叶的售价是150元； （2）设购进a件甲种茶叶，则购进（80﹣a）件乙种茶叶， 根据题意得：， 解得：60≤a≤62， 又∵a为正整数， ∴a可以为60，61，62， ∴共有3种进货方案； （3）设购进a件甲种茶叶，这80件茶叶销售总利润为w元，则购进（80﹣a）件乙种茶叶， 根据题意得：w＝（200﹣m﹣120）a+（150﹣100）（80﹣a）， 即w＝（30﹣m）a+4000． ∵无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，即w的值与a无关， ∴30﹣m＝0， 解得：m＝30． 答：m的值为30． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出w的值． 【变式11-2】．（2024春•大观区校级月考）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 35 30 租金（元/辆） 400 340 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 　8　辆； （3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租车总辆数为n，首先要保证每辆车上老师数量不少于2人，则2n≤16，再也要保证车辆最少时，能坐下所有人，则35n≥234+16，据此列出不等式组求解即可； （3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，根据总费用不超过3000元，以及所有人都要坐下列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）设租车总辆数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为整数， ∴n＝8， ∴租车总辆数为8辆． 故答案为：8． （3）解：设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆， 依题意，得：， 解得：． ∵m为正整数， ∴m＝2，3，4， ∴共有3种租车方案． 方案一：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，租车费用为2840元； 方案二：租用甲型客车3辆，乙型客车5辆，租车费用为2900元； 方案三：租用甲型客车4辆，乙型客车4辆，租车费用为2960元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，关键是根据题意周到等量关系式． 【变式11-3】．（2024春•番禺区校级月考）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ （2）该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ （3）在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 【分析】（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组依题意有：，解方程组即可； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程4m+3n＝45，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案； （3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案． 【解答】解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨， 依题意有：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意有：4m+3n＝45， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． （3）方案1所需费用：300×9+200×3＝3300（元）； 方案2所需费用：300×6+200×7＝3200（元）； 方案3所需费用：300×3+200×11＝3100（元）． ∵3300＞3200＞3100， ∴方案3所需费用最少，最少费用是3100元． 【点评】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$