专题07概率初步（续）全章复习攻略（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

专题07概率初步（续）全章复习攻略（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读） 一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 三．条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 四．全概率公式 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 五．离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 六．离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 七．二项分布 1.二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 八．正态分布曲线 1、正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 2、正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 3．三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题） 1．（2024春•浦东新区校级期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛．规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军．通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为　　 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 2．（2024春•上海期中）某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 　　． 3．（2024春•杨浦区校级期中）已知事件与事件相互独立，若（A），（B），则　　． 4．（2024春•徐汇区校级期中）设样本空间，2，3，4，5，6，7，8的样本点都是等可能出现的，且事件，2，3，，事件，2，3，，事件，，，，使得（A）（B）（C），且满足，，两两不独立，则　　． 5．（2024春•杨浦区校级期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 　　． 6．（2024春•浦东新区校级期中）掷两次殿子 （1）若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率． （2）设事件第一次的点数为，事件两次点数和为，事件两次点数和为，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？ 二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 7．（2023春•浦东新区校级期中）已知国外某地新冠病毒感染率为，市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 　　．（用数值表示） 8．（2023春•普陀区校级期末）“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 　　． 9．（2023春•浦东新区校级期中）某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为 　　． 10．（2021春•徐汇区校级月考）已知10件产品中有2件次品． （1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率； （2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？ 三．条件概率与独立事件（共5小题） 11．（2024春•虹口区校级期中）下列各式中不能判断事件与事件独立的是 A．（A）（B） B．（A）（B）（A）（B） C． D． 12．（2024春•徐汇区校级期中）已知，为同一次试验中的两个随机事件，且（A），（B），命题甲：若，则事件与相互独立；命题乙：“与相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题　　 A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 13．（2024春•浦东新区校级期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 　　． 14．（2024春•宝山区校级期中）箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 　　． 15．（2024春•徐汇区校级期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，将事件“为整数”记为，将事件“为偶数”记为，将事件“为奇数”记为． （1）试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由； （2）求的值． 四．全概率公式（共2小题） 16．（2023春•普陀区校级期末）袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件 “两球是同一颜色”，事件 “两球均为红球”，则　　． 17．（2024春•杨浦区校级期中）某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是 　　． 五．离散型随机变量及其分布列（共3小题） 18．（2024春•徐汇区校级期中）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，　　 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 19．（2024春•杨浦区校级期中）随机变量的分布列如下，则　　． 0 1 2 0.3 0.3 20．（2022春•黄浦区校级期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是． （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列． 六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题） 21．（2024春•浦东新区校级期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是　　 A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 22．（2024春•徐汇区校级月考）同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数的数学期望是　　． 23．（2024春•浦东新区校级期中）端午节吃粽子是我国民间的传统习俗．一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同． （1）学生小李从中任取两个，设表示取到的肉粽个数，求的分布列与数学期望． （2）学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？ 24．（2024春•杨浦区校级期中）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如图的频率分布直方图． （1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望； （2）现从身高在区间，的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本．若身高在区间，中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间，中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差． 25．（2024春•青浦区校级期中）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． （1）若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； （2）若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 26．（2024春•徐汇区校级月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布； （2）求的期望和方差． 27．（2024春•徐汇区校级期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为． （1）当时，求后质点移动到点0的位置的概率； （2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 七．二项分布与n次独立重复试验的模型（共5小题） 28．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量服从二项分布，则　　． 29．（2023春•黄浦区校级期末）已知随机变量服从二项分布，，且，则　　． 30．（2023春•浦东新区校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　　． 31．（2023春•宝山区校级期中）已知随机变量服从二项分布，若，，则　　． 32．（2024春•徐汇区校级期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为，若，求的值． 八．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共4小题） 33．（2023春•奉贤区校级期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是　　 A． B． C． D． 34．（2024春•杨浦区校级期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度出发，下列说法中合理的是　　 参考数据：若，则，，． A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 35．（2024春•浦东新区校级期中）已知随机变量，若，则　　． 36．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量，且，则　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07概率初步（续）全章复习攻略（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读） 一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 三．条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 四．全概率公式 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 五．离散型随机变量及其分布列 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 六．离散型随机变量的期望与方差 1.期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均： 2.期望的线性性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、如果、是两个随机变量，那么 ． 3.方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为 定义 随机变量的方定义为,这样就有 4.方差的性质 1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么 2、 如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 七．二项分布 1.二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 八．正态分布曲线 1、正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 2、正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 3．三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共6小题） 1．（2024春•浦东新区校级期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛．规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军．通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为　　 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解． 【解答】解：由题意得甲夺冠的概率为： ． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2024春•上海期中）某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 　　． 【分析】这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率． 【解答】解：某学生在上学的路上要经过三个路口， 假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是， 这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯， 则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2024春•杨浦区校级期中）已知事件与事件相互独立，若（A），（B），则　0.42　． 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案． 【解答】解：（A），（B）， ， ． 故答案为：0.42． 【点评】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式，属于基础题． 4．（2024春•徐汇区校级期中）设样本空间，2，3，4，5，6，7，8的样本点都是等可能出现的，且事件，2，3，，事件，2，3，，事件，，，，使得（A）（B）（C），且满足，，两两不独立，则　13　． 【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可． 【解答】解：由题意，（A）（B）（C），所以（A）（B）（C）， 所以1是，，共同的唯一的样本点，又，，两两不独立，即，，， 可见，不可以为4或5，所以，为6或7，即． 故答案为：13． 【点评】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，是基础题． 5．（2024春•杨浦区校级期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 　0.047　． 【分析】根据全概率公式可得结果． 【解答】解：记事件“选取的食品为次品”，记事件“此件次品来自甲生产线”， 记事件“此件次品来自乙生产线”，记事件“此件次品来自丙生产线”， 由题意可得， ，，， 由全概率的公式可得： （B） ， 所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047． 故答案为：0.047． 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于中档题． 6．（2024春•浦东新区校级期中）掷两次殿子 （1）若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率． （2）设事件第一次的点数为，事件两次点数和为，事件两次点数和为，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？ 【分析】（1）利用条件概率公式求解； （2）利用独立事件的定义判断． 【解答】解：掷两次殿子，所有可能结果有36种， （1）设事件表示“其中有一次点数是偶数”，事件表示“另一次也是偶数”， 则（D），， 所以； （2）由题意可知，（A），（B），（C），，， 因为（A）（B）， 所以事件和事件不独立， 因为（A）（C）， 所以事件和事件独立． 【点评】本题主要考查了条件概率公式，考查了独立事件的定义，属于基础题． 二．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 7．（2023春•浦东新区校级期中）已知国外某地新冠病毒感染率为，市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 　　．（用数值表示） 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 【解答】解：记感染新冠病毒为事件，感染新冠病毒条件下，标本为阳性为事件， 则（A），， 故该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是（A）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题． 8．（2023春•普陀区校级期末）“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为 　　． 【分析】遇到绿灯的次数服从二项分布，据此求解即可． 【解答】解：由题意，他在上班路上遇到绿灯的次数服从二项分布，即， 则他至少遇到两次绿灯的概率 ． 故答案为：． 【点评】本题考查服从二项分布随机变量的概率，属基础题． 9．（2023春•浦东新区校级期中）某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为 　0.1　． 【分析】根据经验概率的计算公式即可算出答案． 【解答】解：因为抛硬币100次，其中10次正面向上， 所以正面向上的经验概率为． 故答案为：0.1． 【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题． 10．（2021春•徐汇区校级月考）已知10件产品中有2件次品． （1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率； （2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？ 【分析】（1）基本事件总数，其中恰有1件次品包含的基本事件个数，由此能求出其中恰有1件次品的概率； （2）设应抽取件产品作检验，则，由此能求出至少应抽取8件产品作检验． 【解答】解：（1）10件产品中有2件次品，任意取出4件产品检验， 基本事件总数， 其中恰有1件次品包含的基本事件个数， 其中恰有1件次品的概率为； （2）设应抽取件产品作检验， 则，得，解得， 所以至少应抽取8件产品作检验． 【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 三．条件概率与独立事件（共5小题） 11．（2024春•虹口区校级期中）下列各式中不能判断事件与事件独立的是 A．（A）（B） B．（A）（B）（A）（B） C． D． 【分析】由条件概率公式及事件相互独立意义可判断各选项． 【解答】解：选项：因为，所以（A）（B），由事件相互独立意义可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为（A）（B）， 又（A）（B）（A）（B），所以（A）（B）， 由选项可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为，即 所以，即事件与事件独立，所以事件与事件独立，故正确； 选项：事件在事件条件下，要么发生要么不发生，不能判断是否独立，故错误； 故选：． 【点评】本题考查条件概率公式及事件相互独立意义，属于基础题． 12．（2024春•徐汇区校级期中）已知，为同一次试验中的两个随机事件，且（A），（B），命题甲：若，则事件与相互独立；命题乙：“与相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题　　 A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出（A）（B），由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论． 【解答】解：因为， 所以， 所以，故（A）（B）， 所以事件与相互独立，命题甲正确， 若与相互独立，则与相互独立，与相互独立， ， ， 所以， 若，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， ，故事件与事件相互独立， 所以事件与事件相互独立， 所以“与相互独立”是“”的充分必要条件， 所以命题乙为假命题， 故选：． 【点评】本题主要考查条件概率，属于中档题． 13．（2024春•浦东新区校级期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 　　． 【分析】利用条件概率公式求解． 【解答】解：设事件表示“小李鼻炎发作”，事件表示“小李感冒发作”， 则（A），， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题． 14．（2024春•宝山区校级期中）箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 　　． 【分析】利用条件概率公式求解． 【解答】解：设事件表示“抽到红球”，事件表示“2个球都是红球”， 则（A），， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题． 15．（2024春•徐汇区校级期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，将事件“为整数”记为，将事件“为偶数”记为，将事件“为奇数”记为． （1）试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由； （2）求的值． 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件与事件是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得． 【解答】解：（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个， 故， 满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个， 故， 满足事件的有，，，，，，，，，共9个， 所以， 所以事件与事件相互独立； （2）满足事件的有，，，，，，，共7种， 所以， 所以， 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的定义，以及条件概率公式，属于中档题． 四．全概率公式（共2小题） 16．（2023春•普陀区校级期末）袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件 “两球是同一颜色”，事件 “两球均为红球”，则　　． 【分析】利用条件概率公式能求出结果． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，考查全概率公式及条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（2024春•杨浦区校级期中）某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是 　　． 【分析】利用全概率公式求解即可． 【解答】解：设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题” 则小明从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为： ． 故答案为：． 【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 五．离散型随机变量及其分布列（共3小题） 18．（2024春•徐汇区校级期中）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，　　 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解：， ，先减小后增大 故选：． 【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题． 19．（2024春•杨浦区校级期中）随机变量的分布列如下，则　2.4　． 0 1 2 0.3 0.3 【分析】根据题意，先利用分布列的性质求出的值，进而求出，利用方差的性质即可求解． 【解答】解：根据题意，由随机变量的分布列，可得，则有， 则， 则， 故． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题． 20．（2022春•黄浦区校级期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是． （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列． 【分析】（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可； （2）利用二项分布，求分布列即可． 【解答】解：（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为， 通过三个项目测试的概率为， 所以甲被录用的概率为． （2）由（1）得每个人被录用的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题． 六．离散型随机变量的期望与方差（共7小题） 21．（2024春•浦东新区校级期中）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是　　 A．的可能取值为1、2、3、4、5 B． C． D． 【分析】由题意可得，由二项分布的概率公式，期望和方差公式逐项判断即可得解． 【解答】解：由题意可得， 所以，，1，2，3，4，5， 对于，的可能取值为0、1、2、3、4、5，故错； 对于，，故错； 对于，，故正确； 对于，，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查二项分布及其应用，考查运算求解能力，属于基础题． 22．（2024春•徐汇区校级月考）同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数的数学期望是　5　． 【分析】由先利用古典概型概率计算公式计算出3点和 6 点都不出现的概率，再结合二项分布与次独立重复试验得：随机变量服从二项分布，再直接利用二项分布的期望公式，可得答案． 【解答】解：同时抛郑两颗骰子，3点和 6 点都不出现的概率为：， 故至少有一个 3 点或 6 点的概率为， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查古典概型概率计算公式，考查二项分布列的性质，掌握公式是关键． 23．（2024春•浦东新区校级期中）端午节吃粽子是我国民间的传统习俗．一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同． （1）学生小李从中任取两个，设表示取到的肉粽个数，求的分布列与数学期望． （2）学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？ 【分析】（1）分析可得的所有可能取值，然后求出对应概率即可求解； （2）利用古典概型即可求解． 【解答】解：（1）由题，的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则； （2）由题小红要能吃到肉粽分两种情况：袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽， 故能吃到肉粽的概率． 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，古典概型的应用，属于中档题． 24．（2024春•杨浦区校级期中）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如图的频率分布直方图． （1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望； （2）现从身高在区间，的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本．若身高在区间，中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间，中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差． 【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得的分布列及期望； （2）依据方差的定义去求这160人的方差． 【解答】解：（1）由，解得， 所以的分布列为： 155 165 175 185 195 205 0.22 0.27 0.25 0.15 0.1 0.01 ． （2）由于身高在区间，，，的人数之比为， 所以分层抽样抽取160人，区间，，，内抽取的人数分别为100人与60人． 在区间，中抽取的100个样本记为，，，， 其均值为176，方差为10，即，， 在区间，中抽取的60个样本记为，，，， 其均值为184，方差为16，即，， 所以这160人身高的均值为， 从而这160人身高的方差为 ， 因此，这160人身高的方差为27.25． 【点评】本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列及数学期望，方差的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 25．（2024春•青浦区校级期中）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． （1）若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； （2）若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望； （2）由全概率公式即可得证． 【解答】解：（1）的所有可能取值为0，1，2， ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望为． （2）设第一次摸出正品为事件，第一次摸出次品为事件， 则， 在第一次摸出正品、次品的条件下，第二次摸出的小球是正品分别为事件，， 则， 由题意事件，即第二次摸出的小球是正品的概率为． 【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 26．（2024春•徐汇区校级月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布； （2）求的期望和方差． 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可． 【解答】解：（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3， ；； 所以 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， 所以方差． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列，数学期望和方差，属于中档题． 27．（2024春•徐汇区校级期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为． （1）当时，求后质点移动到点0的位置的概率； （2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【分析】（1）质点回到原点可知质点向右移动2次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解； （2）求得的可能取值及对应概率，根据期望公式即可求解． 【解答】解：（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：； （2）由题所有可能的取值为，0，2，4， 且． ， ， ， 因为， 解得，又因为， 故的取值范围为． 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和独立重复试验的概率问题，属于中档题． 七．二项分布与n次独立重复试验的模型（共5小题） 28．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量服从二项分布，则　5　． 【分析】利用二项分布期望公式求期望即可． 【解答】解：由二项分布期望公式得． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查二项分布的期望公式，属于基础题． 29．（2023春•黄浦区校级期末）已知随机变量服从二项分布，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，二项分布的期望与方差公式，即可求解． 【解答】解：随机变量服从二项分布，，且， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题． 30．（2023春•浦东新区校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　2　． 【分析】根据二项分布的期望公式计算即可． 【解答】解：随机变量服从二项分布，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题． 31．（2023春•宝山区校级期中）已知随机变量服从二项分布，若，，则　　． 【分析】利用二项分布的数学期望与方差的计算公式求解即可． 【解答】解：因为随机变量服从二项分布， 又，， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二项分布的数学期望与方差的计算公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 32．（2024春•徐汇区校级期中）一个盒子中有大小、形状完全相同的个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为，若，求的值． 【分析】依题意，随机变量，所以，解方程即可． 【解答】解：依题意，随机变量， 又知道， 所以， 解得：． 【点评】本题考查了二项分布以及二项分布的数学期望公式，属于基础题．主要考查对二项分布的概念的掌握情况和二项分布的期望公式的应用． 八．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共4小题） 33．（2023春•奉贤区校级期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可． 【解答】解：由，，得，错误； 由正态密度曲线图像可知，，，，错误； 由正态密度曲线图像可知，，所以，正确； 由正态密度曲线图像可知，，，所以，错误． 故选：． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 34．（2024春•杨浦区校级期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度出发，下列说法中合理的是　　 参考数据：若，则，，． A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【分析】对于，由即可判断；对于，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于，计算即可判断． 【解答】解：对于，由题意，当满足时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故选项错误； 对于，若分出门， ①江先生开私家车，由题意，当满足，此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁，由题意，当满足，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故选项错误； 对于，若分出门， ①江先生开私家车，由题意，当满足，此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁，由题意，当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故选项错误； 对于，若分出门，江先生乘坐地铁上班，由题意，当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查正态分布，考查考生的数据处理能力，分析问题解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题． 35．（2024春•浦东新区校级期中）已知随机变量，若，则　0.28　． 【分析】根据正态分布的对称性即可得． 【解答】解：随机变量，正态曲线关于对称， 由于，则， 由于，则． 故答案为：0.28． 【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题． 36．（2023春•松江区校级月考）已知随机变量，且，则　0.2　． 【分析】由正态分布的对称性得出概率． 【解答】解：． 故答案为：0.2． 【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$