6.3.1 平面向量基本定理 课时练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 一、 单项选择题 1. (2023银川高一阶段练习)设e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A. e1＋e2和e1－e2 B. 3e1－4e2和6e1－8e2 C. e1＋2e2和2e1＋e2 D. e1和e1＋e2 2. 设向量e1，e2为一组基底，且a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，c＝2e1＋3e2，则用b，c表示a的式子为(　　) A. －b＋c B. b－c C. b＋c D. －b－c 3. 已知在△ABC中，＝2，若＝m＋n，则mn等于(　　) A. B. 1 C. D. 4. (2023珠海高一阶段练习)在△ABC中，D是线段BC上任意一点，点P满足＝3，若存在实数m和n，使得＝m＋n，则m＋n等于(　　) A. B. C. － D. － 5. (2023宣城高一统考)已知△ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE并延长到点M，使得DE＝2EM，连接DF并延长到点N，使得DF＝FN，则·的值为(　　) A. a2 B. －a2 C. a2 D. －a2 6. (2022宿迁期末)在△ABC中，＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点，若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m2＋4n2的最小值为(　　) A. 1 B. 4 C. D. 5 二、 多项选择题 7. (2023江苏高一专题练习)下列说法中，正确的有(　　) A. 已知a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内 B. 已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0 C. 已知a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝q D. 已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对 8. 如图，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝＋ B. ＝＋ C. ＝＋ D. ＝－ 三、 填空题 9. (2023遂宁高一期中)在梯形ABCD中， AB∥CD，AB＝4CD，M为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 10. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为________． 11. (2023富锦第一中学高一阶段练习)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上靠近点C的四等分点，G为AE上靠近点A的三等分点，则向量用与表示为______________． 12. 在△ABC中，M是边AB所在直线上的任意一点，若＝－2＋λ，则实数λ的值为________． 四、 解答题 13. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F.若＝a，＝b，试以a，b为基底表示 . 14. (2023钦州高一期中)如图，在△ABC中，BC＝4BD，AC＝3CE，BE与AD相交于点M. (1) 用，表示，； (2) 若＝m＋n，求m＋n的值． 【答案解析】 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 1. B　解析：由题意，得e1，e2不共线，所以e1＋e2和e1－e2不共线，e1＋2e2和2e1＋e2不共线，e1和e1＋e2不共线，所以选项A，C，D都可以作为基底；对于B，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2共线，不能作为基底． 2. C　解析：由于e1，e2为基底，设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则e1＋e2＝λ(e1－2e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(λ＋2μ)e1＋(3μ－2λ)e2，所以解得所以a＝b＋c. 3. A　解析：由题意，得R是BC上靠近点B的三等分点，＝－，所以＝＋(－)＝＋，所以m＝，n＝，所以mn＝×＝. 4. D　解析：由题意，得＝λ＋(1－λ)，0<λ<1.因为＝3＝3(＋)，所以3＋3＝λ＋(1－λ)，即＝＋，则故m＋n＝－. 5. B　解析：因为＝＋，＝＋，DE＝2EM，DF＝FN，所以＝＋，＝＋2.因为D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，所以＝，＝，所以＝＋，＝－＋＝－＋－＝－，所以·＝·＝－||2－·＋||2＝－a2－a·a·＋a2＝－a2. 6. C　解析：因为＝2，所以＝＋＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，即m＝3－2n，所以m2＋4n2＝(3－2n)2＋4n2＝8n2－12n＋9＝8(n－)2＋，故m2＋4n2的最小值为. 7. ABD　解析：对于A，a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，由向量运算法则得ma＋nb一定在该平面内，故A正确；对于B，e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则由基底的定义得m＝n＝0，故B正确；对于C，a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则由向量相等的定义得m＝p，n＝q不一定成立，故C错误；对于D，已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，由共面向量基本定理得使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对，故D正确．故选ABD. 8. ABD　解析：＝＋＝＋，故A正确；＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，故B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，故C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，故D正确．故选ABD. 9. 　解析：因为M为AD的中点，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋×＝＋，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 10. 1　解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·[＋(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1，故当λ＝2时，·取最大值1. 11. ＝－－　解析：由题意，得＝＋＝＋，＝＋＝－，所以＝＋＝－＝－(＋)＝－－. 12. 3　解析：在△ABC中，M是边AB所在直线上的任意一点，故存在实数μ，使得＝μ，即－＝μ(－)，所以＝＋.又＝－2＋λ，所以解得 13. 因为E是OD的中点， 所以＝＝b. 易得△ABE∽△FDE，所以＝＝， 所以＝3，所以＝. 又＝＋＝a＋b， 所以＝＝a＋b. 14. (1) 因为BC＝4BD， 所以＝＝－， 所以＝＋＝＋－＝＋. 因为AC＝3CE，所以＝， 所以＝－＝－. (2) 因为A，M，D三点共线， 所以＝λ＝＋. 因为＝m＋n，所以 即m＝3n. 因为B，M，E三点共线， 所以＝k＋(1－k)＝k＋. 因为＝m＋n，所以 因为m＝3n，所以k＝3×(1－k)，解得k＝，所以m＝，n＝，故m＋n＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$