精品解析：2024届福建省泉州市四校（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学）5月份高三高考模拟联考数学试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年高三年高考 模拟训练 学科：数学 满分：150分 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学统计最近5次考试成绩，发现分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为，第60百分位数为，当去掉某一次的成绩后，4次成绩的平均分数为，第60百分位数为n.若，则（ ） A. B. C. D. 与大小无法判断 7. 已知，均为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 若则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角是120° D. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 11. 数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数）， ，则（ ） A. 时， B. 时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为 C. 时，的所有可能取值组成的集合为 D. 若所有的值组成的集合有5个元素，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含项的系数为______. 13. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 14. 已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了研究不同性别的学生对“村BA”赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计，. （1）根据已知条件，补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对“村BA”的了解情况与性别是否有关？ 了解 不了解 总计 男生 女生 总计 （2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， （1）求角B： （2）若AC边上的高，求. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，不是直角且. （1）证明：； （2）若是正三角形，，求二面角的大小. 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. （1）求椭圆的方程； （2）设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. 19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. （1）证明：有唯一零点，且； （2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年高三年高考 模拟训练 学科：数学 满分：150分 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据Venn图可知图中的阴影部分表示集合，利用补集的定义和运算求出，结合交集的定义和运算即可得出结果. 【详解】由题意得，图中的阴影部分表示集合. 由集合，， 得或，所以， 故选：D． 2. 若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，进而求出即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得， 所以的离心率. 故选：C 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得. 【详解】由可得， 因则等差数列的公差，故， 则，当且仅当时取等号， 即当时，取得最大值25. 故选：B. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质对函数依次赋值即可求解. 【详解】由题为奇函数，则， 所以， 所以关于对称， 所以， 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】现依据条件设定点P的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解. 【详解】由题可设，则， 所以，又， 故在上的投影向量为 ， 故选：A. 6. 某同学统计最近5次考试成绩，发现分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为，第60百分位数为，当去掉某一次的成绩后，4次成绩的平均分数为，第60百分位数为n.若，则（ ） A. B. C. D. 与大小无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】依题意不妨设这次的分数从小到大分别为、、、、，即可求出、，要使去掉一个数据之后平均数不变，则去掉的一定是，从而求出，即可判断. 【详解】依题意不妨设这次的分数从小到大分别为、、、、， 所以， 又，所以第百分位数为， 要使次成绩的平均分数为且，则去掉的数据一定是， 即还剩下、、、， 又，所以第百分位数为， 因为，所以. 故选：C 7. 已知，均为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和对和进行转化即可求解. 【详解】由题意， 又， 故， 即 又均为锐角，所以， 故， 故选：D. 8. 如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心到点的距离. 【详解】 如上图正四棱锥，为底面中心，为球心，为球体与的切点， 又，故各侧面均为等边三角形， 若侧面三角形边长为，则，，， 显然△△，故，则. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 若则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到复数点所对应的轨迹，再利用共轭复数的概念即可判断AB；举反例即可判断CD. 【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即直线上， 对A，因为直线上的点到点的距离相等，则A正确； 对B，因为与关于实轴对称，则对应的点在直线上，且该直线上的点到点的距离相等，所以B正确； 对C，在直线上取点，则其所对应的复数为，则，则，故C错误； 对D，在直线上取点，则其所对应的复数为，则，故D错误. 故选：AB. 10. 已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角是120° D. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由向量的加法运算判断；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断；利用是等边三角形以及向量夹角的定义判断；先判断再判断． 【详解】由向量的加法得到：，，，所以正确； ，，，即，故正确； 是等边三角形，，又，异面直线与所成的夹角为，但是向量与向量的夹角是，故正确； ，，故，因此不正确． 故选：ABC． 【点睛】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系、夹角以及向量的运算法则与有关性质是做好本题的关键． 11. 数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数）， ，则（ ） A. 时， B. 时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为 C. 时，的所有可能取值组成的集合为 D. 若所有的值组成的集合有5个元素，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将代入递推公式即可判断A；写出所有的值组成的集合中的元素，再根据古典概型即可判断B；根据递推公式，讨论前一项的奇偶即可判断C；若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为，再验证即可判断D. 【详解】对于A，当时， 则，故A正确； 对于B，当时， 则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 所以所有的值组成的集合为， 从中任选2个数都是偶数的概率为，故B正确； 对于C，当时， 若为奇数，则，故， 若为偶数，则，故， 若，则或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或， 若，则或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 由，得或，所以或（舍去）， 综上所述，或或或， 所以的所有可能取值组成的集合为，故C错误； 对于D，若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为， 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意； 若，则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合只有4个元素，不符题意； 若，则， 所以数列从第项起，是以为周期的周期数列， 此时所有的值组成的集合有5个元素，符合题意， 所以若所有的值组成的集合有5个元素，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出展开式通项公式，再根据乘法规则求出展开式中含的项即可求解. 【详解】展开式通项公式为， 所以展开式中含的项为， 故的展开式中含项的系数为， 故答案为：. 13. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6， 则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 14. 已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出和的图象，数形结合即可求得答案. 【详解】，如图为满足题意的两种情况： 即或，解得； 故的范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合函数新定义，利用数形结合法解决方程根的个数问题，需要根据题意作出函数图象，利用图象进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了研究不同性别的学生对“村BA”赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计，. （1）根据已知条件，补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对“村BA”的了解情况与性别是否有关？ 了解 不了解 总计 男生 女生 总计 （2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 了解 不了解 总计 男生 30 50 80 女生 5 75 80 总计 35 125 160 有关 （2） 0 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解. （2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以对“村BA”了解的女生人数为，了解“村BA”的学生人数为， 结合男生和女生各80名，作出列联表为： 了解 不了解 总计 男生 30 50 80 女生 5 75 80 总计 35 125 160 ， 因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关； 【小问2详解】 由(1)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则. 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， （1）求角B： （2）若AC边上的高，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小; （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即 即， 所以， 在三角形中，， 所以， 即，因为，则 可得，则. 【小问2详解】 因为边上的高， 所以① 又② 由①②可得， 由正弦定理可得， 结合（1）中可得， 因为， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，不是直角且. （1）证明：； （2）若是正三角形，，求二面角的大小. 【答案】（1） 过点B1作A1C的垂线，垂足为O，如图所示： 由平面平面，平面平面， 平面，，得平面， 又平面，得， 由，，得， 平面，又，得平面， 又平面，得. （2） 【解析】 【分析】（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面，进而得到； （2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以C为坐标原点，,的方向为x轴，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 由是正三角形，，可得， 所以，，， 设是平面的一个法向量，则 即，令，则有， 得， 设是平面ABC的一个法向量， 则，即，令，则有， 得， 则， 又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为. 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. （1）求椭圆的方程； （2）设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. 【答案】（1） （2）由题意，证明如下： ，且直线和直线斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为， 由题知，所以， 所以，同理，， 所以是方程的两根，所以. 设，设直线的方程为， 将代入，得， 所以，①，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以， 若，则直线，此时过点，舍去. 若，则直线，此时恒过点， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程； （2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. （1）证明：有唯一零点，且； （2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 【答案】（1） 证明：，定义域为， 所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； （2）（i）； （ii）对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为： ，故令， 令 所以，， 所以，当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾） 因为是的零点， 所以 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有 又因为，所以，对于任意，均有， 所以 所以， 综上，当，总有. 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得； （ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为，即 令得 所以，切线与轴的交点，即， 所以，. (ii)略 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $