精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题

机密★启用前 2023—2024学年度第二学期阶段性训练 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三内角之比为 B. 三边长的平方之比为 C. 三边长之比为 D. 三内角之比为 4. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，▱ABCD的周长（　　） A. 11 B. 13 C. 16 D. 22 5. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 7. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 10. 如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___． 12. 计算：___________． 13. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程_________cm 14. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有______________ 15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为_________． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 19. 观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3:； （1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为　　，第9个等式为　　，并选择第4个等式证明猜想的准确性； （2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：第个等式为　　． 20. 如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 21. 如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的值； （3）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 22. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2023—2024学年度第二学期阶段性训练 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的运算法则进行一一判断即可． 【详解】，故选项A错误． 与不能合并，C中与也不能合并，故选项B、C均错误． ，故选项D正确． 故选：D 3. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三内角之比为 B. 三边长的平方之比为 C. 三边长之比为 D. 三内角之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理依次对各选项逐一分析即可作出判断．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：A．在中，设， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B． ∵三边长的平方之比为， 设三角形三边的平方为，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵三边长之比为， 设三角形三边为，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D．在中，设， ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，▱ABCD的周长（　　） A. 11 B. 13 C. 16 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解. 【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，， 所以OE是三角形ABD的中位线， 所以AD=2OE=6 所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22 故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 5. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：如图，矩形， 则：，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角的度数为 故选D． 6. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD， OA=AC=3， OB=BD=2， AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长为4． 故选C． 7. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．勾股定理求出的长，进而求出点E表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为； 故选A． 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 9. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°， ∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选：B． 10. 如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，则点在平行的线段上运动， 当时，最小， ，则， 在中，，， ， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若式子有意义，则的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且． 故答案为：且． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，化简绝对值，二次根式的乘法，分母有理化，负整数指数幂等知识．先化简绝对值，计算二次根式的乘法，分母有理化，负整数指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解：解： ． 故答案为：． 13. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程_________cm 【答案】 【解析】 【分析】最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解． 【详解】解：的长就为最短路线． 如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为， 如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为， 如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为； ∵ ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． 14. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有______________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；利用小正方形的边长与直角三角形的边长之间的关系可判断②正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断③正确；根据①③可知x+y=即可判断④不正确. 【详解】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确； ②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确； ④因为（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此选项不正确． 故答案为①②③. 【点睛】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识，能灵活运用勾股定理是解题关键. 15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24， ∴AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴BC＝＝5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， ∴AH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为_________． 【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10， ∵D为OA的中点， ∴OD=AD=5， ①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上， ∴点P的坐标为：（2.5，4）； ②当OP=OD时，如图1所示： 则OP=OD=5，PC==3， ∴点P的坐标为：（3，4）； ③当DP=DO时，作PE⊥OA于E， 则∠PED=90°，DE==3； 分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示： OE=5-3=2， ∴点P的坐标为：（2，4）； 当E在D的右侧时，如图3所示： OE=5+3=8， ∴点P的坐标为：（8，4）； 综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化为最简二次根式以后运用二次根式的加减运算即可． （2）结合完全平方公式及平方差公式运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式在二次根式运算中的运用，熟练掌握完全平方公式及二次根式的混合运算是解题关键． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质． 19. 观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3:； （1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为　　，第9个等式为　　，并选择第4个等式证明猜想的准确性； （2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：第个等式为　　． 【答案】（1），， 证明：； （2） （n为正整数）， 证明：， ∵n为正整数， ∴原式=． 【解析】 【分析】（1）根据已知的等式，寻找规律作答即可； （2）根据（1）中所得的规律，列出等式，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次根式的运算，发现规律是解题关键． 20. 如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 【答案】（1） 解：学校受到噪音影响．理由如下： 如图：作于B， ∵， ∴， ∵， ∴消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响． （2）学校受影响的时间为32秒． 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）如图：作于B，根据含直角三角形的性质可得，然后与比较即可； （2）如图：以点A为圆心，为半径作交于C、D，由等腰三角形的性质可得，再运用勾股定理求得，即，最后求出影响时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：以点A为圆心，为半径作交于C、D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵消防车的速度， ∴消防车在线段上行驶所需要的时间（秒）， ∴学校受影响的时间为32秒． 21. 如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的值； （3）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）2； （3） 四边形是矩形，证明： ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）判断出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，证明为等边三角形，即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明，继而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，关键是各个特殊图形性质的掌握． 22. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 【答案】（1） （2）或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）1 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形， 只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴， ∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图， 连接交于O， ∵线段将平行四边形面积二等分， ∴必过的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形面积二等分． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $