平面解析几何-2023-2024学年高二下学期数学期末复习专项训练5

重难点 高二下学期数学期末考试【专题复习】【专题05】平面解析几何 核心考点解读 1、 直线与圆的位置关系 2、 圆锥曲线中基本量的求解 3、 求圆锥曲线离心率 4、 求圆锥曲线参数最值和取值范围 5、 直线与圆锥曲线：定点定值定直线问题 6、 直线与圆锥曲线：参数取值范围求解 7、 直线与圆锥曲线：求三角形面积 8、 直线与圆锥曲线：斜率和差积商为定值问题 9、 直线与圆锥曲线：圆锥曲线几何性质问题 10、 直线与圆锥曲线：存在性、探索性问题 知识必备 一、直线 1. 斜率与倾斜角的对应关系 图示       倾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率k k=0 k>0 k不存在 k<0 2.直线的方程形式与适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2，y1≠y2) +=1 (a≠0，b≠0) Ax+By+C=0 (A，B不同时为0) 已知条件 直线上一定点(x0，y0)，斜率k 斜率k，直线在y轴上的截距b 直线上两点 (x1，y1)， (x2，y2) 直线在x轴上的非零截距a，直线在y轴上的非零截距b 系数A，B，C 适用范围 不垂直于x 轴的直线 不垂直于x轴 的直线 不垂直于x轴 和y轴的直线 不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线 任何位置的直线 3.直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系 斜截式： 1：y=k1x+b1； 2：y=k2x+b2 一般式： 1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)； 2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0) 1，2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 1∥2 1，2重合 1⊥2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 4.距离公式 1）. 两点间的距离：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|=. ①此公式与两点的先后顺序无关. ②原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|= 2）. 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的距离 d=. 3）. 两条平行线间的距离： 两条平行直线1：Ax+By+C1=0与2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)间的距离 d=. 二、圆的方程 1.圆的标准方程与一般方程 1）. 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为(a，b)，半径为r. 2）. 圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程，表示以为圆心， 为半径的圆. 说明：对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， ①当D2+E2-4F<0时，它不表示任何图形； ②当D2+E2-4F=0时，它表示一个点. 【注意】二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时，需满足A=B≠0，C=0，且+->0. 2.点与圆的位置关系 1. 点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)的位置关系及判断方法： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ++Dx0+Ey0+F=0 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ++Dx0+Ey0+F>0 点M在圆内 |CM|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 ++Dx0+Ey0+F<0 3.直线与圆的位置关系 1）. 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线：Ax+By+C=0(A，B不同时为0). 圆心C(a，b)到直线的距离d=. 由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2）. 过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论 (1)若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2； (2)若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2； (3)若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的圆的切线方程为 x0x+y0y+D·+E·+F=0. 3）. 过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论 (1)若点P(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图1，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.   (2)若点P(x0，y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图2，则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)若点P(x0，y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y+D·+E·+F=0. 4.直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题 直线与圆相交的弦长的求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长之间的关系r2=d2+求解 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标，然后用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长|x1-x2|= = (k≠0) 三、圆锥曲线 1.椭圆的标准方程与简单几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c(c=) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 长轴(线段A1A2)长为2a，短轴(线段B1B2)长为2b 离心率 e== (0<e<1) （1）焦半径：椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. 已知P(x0，y0)为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，记r1=|PF1|，r2=|PF2|，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 2.点与椭圆的位置关系 1. 已知点P(x0，y0)，椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，则 ①|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上⇔+=1； ②|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部⇔+<1； ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部⇔+>1. 3.直线与椭圆的位置关系 1. 联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系). 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 由消去y(或x)得到一个一元二次方程，则 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 2. 弦长公式 设直线斜率为k，直线与椭圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|=·|x1-x2|=· 或|AB|=|y1-y2|= (k≠0). 3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 4.双曲线的标准方程与简单几何性质 1. 双曲线的标准方程与简单几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c(c2=a2+b2) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 轴 实轴(线段A1A2)的长：2a； 虚轴(线段B1B2)的长：2b； 实半轴长：a； 虚半轴长：b 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e== (e>1) 2. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=±a2 (a≠0)，等轴双曲线的离心率e=，两条渐近线互相垂直. 3. 双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 4. 双曲线-=1(a>0，b>0)，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 5.直线与双曲线的位置关系 1. 联立直线与双曲线的方程，根据方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个数(位置关系). 设直线l：y=kx+m(m≠0)①，双曲线C： -=1(a>0，b>0)②， 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即k=±时，直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点 (2)当b2-a2k2≠0，即k≠±时，Δ=-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点. 注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种，一种是与渐近线平行的直线，另一种是与双曲线相切的直线. 2. 弦长公式：斜率为的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|=·|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|= (k≠0). 3. 双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 6.抛物线的标准方程与简单几何性质 1. 抛物线的标准方程与简单几何性质 (1)焦点位于x轴(y轴)时，一次项中变量是x(y)；开口向右、向上(向左、向下)时，一次项系数为正(负). (2)抛物线标准方程中的参数p是抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值一定大于0. 2. 通径：通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径是所有焦点弦中长度最短的弦，其长度为2p. p越大，通径越长，抛物线的“张口”越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的“张口”越小. 7.直线与抛物线的位置关系 1. 直线与抛物线有三种位置关系：相离，相切，相交. 以抛物线y2=2px(p>0)为例： (1)直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. ①当k=0时，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点. ②当k≠0时，若判别式Δ>0，则直线与抛物线相交，有两个公共点；若判别式Δ=0，则直线与抛物线相切，有一个公共点；若判别式Δ<0，则直线与抛物线相离，没有公共点. (2)直线的斜率不存在时，设直线方程为x=m， 显然，当m<0时，直线与抛物线相离，无公共点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点. 模拟训练 1.直线与圆的位置关系（第1-3题） 2.圆锥曲线中基本量的求解 3.求圆锥曲线离心率（6题、7题、15题） 4.求圆锥曲线参数最值和取值范围（4题、5题、16题） 5.求二次曲线轨迹方程（第13题） 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）圆心为，且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京朝阳·二模）已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南信阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线交于两点，并与以为圆心，半径为1的圆交于两点.在第一象限内，若的最小值为6，则到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 9．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（    ） A．的周长为 B． C．的斜率为 D．椭圆的离心率为 10．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东潍坊·三模）已知 双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆 圆心为，半径为，直线交于，若， ，则（      ） A． B．圆心的横坐标为 1 C． D．的离心率为2 12．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的方程为 B．已知点，则的最小值为3 C． D．若，则与的面积相等 三、填空题 13．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 14．（2024·江西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦长为，则的值为 ． 15．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆C上的动点，I为内心，G满足．若直线IG的斜率不存在，则椭圆C的离心率为 ． 16．（2024·浙江温州·模拟预测）椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是 . 1.直线与圆锥曲线：定点定值定直线问题（19-20题） 2.直线与圆锥曲线：参数取值范围求解（17-18题） 3.直线与圆锥曲线：求三角形面积（17-18题） 4.直线与圆锥曲线：斜率和差积商为定值问题（18题、21题） 5.直线与圆锥曲线：圆锥曲线几何性质问题（20题） 6.直线与圆锥曲线：存在性、探索性问题（22题） 四、解答题 17．（2024·浙江杭州·三模）已知椭圆的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分别为和． (1)求该椭圆的方程； (2)对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为，求； (3)过点作直线交椭圆于不同的两点A，B，求面积的最大值． 18．（2024·辽宁丹东·二模）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，. (1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (2)求面积的最大值. 19．（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 20．（2024·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P． (1)证明：P在定直线上； (2)若F为抛物线C的焦点，证明：． 21．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率. 22．（2024·云南·模拟预测）椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动（与左､右顶点不重合），已知的内切圆圆心为，延长交轴于点. (1)当点运动到椭圆的上顶点时，求； (2)当点在椭圆上运动时，为定值，求内切圆圆心的轨迹方程； (3)点关于轴对称的点为，直线与相交于点，已知点的轨迹为，过点的直线与曲线交于两点，试说明：是否存在直线，使得点为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 2．B 【分析】根据直线与圆相切的位置关系，圆心到直线的距离为圆的半径，求出圆的标准方程，令，求出，进而得到圆在x轴上的弦长. 【详解】圆心到直线的距离为，即圆的半径， 所以圆的方程为， 令，则或4，故圆在轴上的弦长为4， 故选：B. 3．C 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 4．B 【分析】设，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案. 【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得， 故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线， 由于，故在抛物线内部， 过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义）， 故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小， 最小值为点M到直线l的距离，所以， 故选：B． 5．D 【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解. 【详解】 因为椭圆：，所以，，所以， 所以，， 因为点 在上，所以，所以，， 又，，所以， 又，， 所以， 因为大于，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：. 6．D 【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为， 由椭圆焦半径公式得，， ，，即， 化简得，. 故选：D. 7．A 【分析】先根据条件求得，然后解直角三角形即可得答案. 【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得， 由双曲线的定义字， 在中，， 在中， 即，可得. 故选：A. 8．A 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，联立转化为一元二次方程，用设而不求整体代换的思想结合根与系数的关系将条件式进行转化，再利用均值不等式即可求解. 【详解】设，直线AB的斜率不为0，方程设为， 由抛物线的定义可知，，， 联立，消去x得，，， 则， 所以， ， 当时， 所以 ，当且仅当时， 即时，等号成立，由题意可知，解得. 当时， ， 由前述可知：，，所以， 故此时无最小值，与题意不符. 综上得：. 故选：A. 9．ABD 【分析】利用椭圆的定义可得的周长，可判断A选项；设，由得，而可得，设，得，进而由椭圆的定义可得, ，从而可判断B选项；在中用正弦定理可得，进而求可得直线的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项. 【详解】对于A：过的直线与交于，两点且，， 连接，的平分线交于点，如图所示： 则的周长等于 故A正确； 对于B：设，， 则， 而. 设，则， 于是，即. 由，得, 又，得， 所以，故B正确； 对于C：在，由余弦定理可得：， 则，即. 在中，，又是中点， 所以，则， 于是， 所以的斜率为点在轴上方时，在轴下方时，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD. 【详解】设点为点，抛物线的方程为，即，则, 设，则切线PA，PB的斜率分别为， 切线方程分别为， 将的坐标及代入，并整理得， 可得为方程的两个实数根， 由韦达定理得，故A错误，B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 11．ACD 【分析】由，且三点共线，得到，可判定A正确；根据双曲线的定义和，求得，可判定B错误；利用角平分线定理得到，结合三角形的面积公式，分别求得的值，可判定C正确；结合离心率的定义和求法，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，且三点共线， 所以，可得，所以A正确； 对于B中，设切点分别为，则， 又因为，所以， 所以点为右顶点，圆心的横坐标为2，所以B错误； 对于C中，因为，所以， 由角平分线定理，得， 又因为，所以， 由可得， 所以，可得， 所以，则为等腰三角形， 所以，解得，所以C正确； 对于D中，由离心率，所以D正确. 【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略： 1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立的联系； 2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解； 3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. 12．ACD 【分析】对于A，设，联立抛物线的方程，结合韦达定理求出即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C，设，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得 ，结合以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断. 【详解】 当过点时，设，联立，可得， ， 故，解得，则，故A正确； 过点向的准线引垂线，垂足分别为， 点到的准线的距离， 由抛物线定义可知， 等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误； 设，由，可得， ， 由，可得， ， 故，同理可得，故正确； ，故， 注意到，可得， 所以，从而与的面积相等，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解. 13． 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 14． 【分析】先研究点在第一象限时，由的面积是的面积的4倍，求出直线的斜率，联立直线与抛物线方程求出的值；再根据对称性研究在第三象限时的值即可. 【详解】如图，当点在第一象限时，由抛物线的定义，可得，， 所以，所以， 所以．如图，过点作于点，则， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率， 则直线，直线与联立，得， 设与的横坐标分别为，，则， 所以， 所以以为直径的圆的半径， 圆心到轴的距离， 所以弦长为，解得； 当点在第三象限时，由对称性可得. 综上，. 故答案为：. 15．/0.5 【分析】根据向量的等式关系得出G为的重心，用重心坐标公式求得G的坐标，由直线IG的斜率不存在，得知轴，然后利用等面积法建立关于a，c的等式关系，从而求得离心率. 【详解】因为，所以G为的重心， 设，不妨取，又，则，即． 设，因为直线IG的斜率不存在，所以轴，所以， 即内切圆的半径为，所以， 整理得，则椭圆C的离心率， 故答案为：. 16． 【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，则， 因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交， 若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设， 则， 因为，则，解得， 当，此时点即为点，不合题意； 当，此时点，； 若直线AB的斜率不为0，设， 则， 联立方程，消去x得， 则， 因为，则， 可得， 整理得，则，， 即， 可得， 因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 17．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）令，设是椭圆上的点，则， 则， 显然当时，，当时，，则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）记椭圆的右焦点为，由椭圆对称性知，， 所以. （3）显然直线不垂直于y轴，设直线AB的方程为，， 由消去x得，， 则，， 因此，令， 于是，当且仅当，即时取到等号， 所以面积的最大值. 18．【详解】（1）由题意可知，， 设点，，， 因为，得， 所以，即； （2）不妨令，，，    由（1）可设直线的斜率，则直线：， 将代入中，得， 所以， 所以， 因为，用替换，得， ， 所以的面积， 所以，令， 则， 又因为函数在上单调递增， 所以当时，有最小值，即， 所以（当且仅当，即时等号成立）， 所以面积的最大值为. 19．【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 且点在上， 有解得故双曲线的方程为. （2）由题意可知不与渐近线平行， 当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合. 当不与坐标轴平行时，左焦点为， 不妨设直线的方程为，联立 消去并整理得，， 设，则 所以，所以. 又直线互相垂直，用替换，则可得. 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，所以直线过. 综上，直线恒过点.    20．【详解】（1）证明：设，，则， 直线的方程为，即， 又因为直线过点，所以，即， 设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或， 又因为直线与抛物线相切，所以，即， 所以直线的方程为，即， 同理直线的方程为， 由，解得，即， 故点P在直线上． （2）证明：∵，， 注意到两角都在内，可知要证．即证. 而，， 所以， 又， 所以，同理， 即有，故． 21．【详解】（1）根据题意，因为，， 所以，所以， 所以， 当位置互换时，，当过的直线与轴重合时无法作出， 所以点的轨迹为以为焦点，即，且的双曲线， 所以 ，的轨迹方程为. （2）根据题意可知的斜率存在且不为， 设的斜率为，，，，，其中， 则，， 联立，消去得， ， 所以，， 所以中点坐标为，同理可得中点坐标为， 当，即时，两中点坐标分别为，，此时直线为， 联立，解得，， 所以，，不满足条件， 当时，， 则直线方程，整理得， 令，联立得， ， 所以，，， 所以由解得， 当时，代入解得或， 当时，代入解得或， 综上的斜率为或 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 22．【详解】（1）当点运动到椭圆的上顶点时，如图， 则，. 的内切圆圆即为的重心. 从而由重心的三等分点性质，知，. 则. （2）当点在椭圆上运动时，设，过点作椭圆左准线的垂线，垂足为， 则，这里是的离心率. 又，所以. 同理可得：， 延长交轴于点，设， 由于点是内切圆圆心，故平分， 从而由角平分线定理得：，即，解得：①. 设内切圆圆心，由. 得：②. 联立①②得：，. 又因为在椭圆上，且不与左右顶点重合（即）. 从而即，且. 故内切圆圆心的轨迹方程为：. （3）由于点与点关于轴对称，故可设，，. 由三点共线可得：③，由三点共线可得：④， 且由相交可知，即. 联立③④并去分母即有，解得，. 这得到，，然后代入条件及刚刚得到的， 就得到，. 整理即得点的轨迹方程为：. 设直线经过并与交于两点，且是的中点. 假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与没有交点（注意限制条件），矛盾. 所以直线的斜率存在，设，，且. 由于是的中点，故，，即，. 由于点，在曲线上，故， 从而 ， 故，从而直线的斜率. 又因为直线经过，所以满足条件的直线只可能是. 经检验，直线的确与交于两点，， 且的中点是. 所以满足条件的直线存在，且只有. $$