1.2.4.一元二次方程的解法--因式分解 讲义 2023—2024学年苏科版数学九年级上册

遍历山河，人间值得。 练习主题 一元二次方程的解法--因式分解 交流：如何解方程：x2-x=0？ 当一个一元二次方程的一边是0，另一边分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例1、用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x； （2）x+3-x（x+3）=0； （3）（2x-1）2-x2=0. 对应练习： 1、用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）（x-1）=0； （2）3x2=x； （3）4x（2x-1）=3（2x-1）； （4）（2x-1）2=（3x+2）2； （5）5（2x-1）=（1-2x）（x+3）； （6）2（x-3）2+（3x-x2）=0. 2、若x2-2px+q=0的两个根分别是-3和5，则多项式2x2-4px+2q可以因式分解为（ ） A.（x+3）（x-5） B.（x-3）（x+5） C.2（x+3）（x-5） D.2（x-3）（x+5） 例2、阅读材料 根据多项式乘法公式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）. 示例：分解因式：x2+5x+6=0. 解：x2+5x+6=x2+（2+3）x+（2×3）=（x+2）（x+3）. 解决问题： （1） 分解因式：x2+6x+8=（x+ ）（x+ ）； （2） 请用上述的方法解方程：x2-10x+9=0. 对应练习： 1、用十字相乘法解下列方程： （1）x2-7x+6=0； （2）x2+13x+36=0； （3）x2+9x+14=0； （4）x2-x-12=0； （5）x2+8x+12=0； （6）x2-7x+10=0； 阶段提优： 1、用公式法解方程x2-2=-3x时，a、b、c的值依次是（ ） A.0、-2、-3 B.1、3、-2 C.1、-3、-2 D.1、-2、-3 2、用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是（ ） A.（x-2）2=5 B.（x-2）2=3 C.（x+2）2=5 D.（x+2）2=3 3、下列方程更适合用因式分解法解的是（ ） A.x2-4x-4=0 B.（x-1）2=9 C.（x-2）2=3x-6 D.x2-3x-2=0 4、已知x=0是一元二次方程mx2+x+m（m-2）=0的解，则m的值为（ ） A.2 B.0 C.0或2 D.无法确定 5、已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6、若直角三角形的两边长分别是方程x2-7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A.6 B.12 C.12或 D.6或 7、下列方程：①7x2+6=3x；②=7；③x（x2-4x）=3x；④2x2-5y=0；⑤-x2=0中，是一元二次方程的有 .（填序号） 8、将方程3x（x-1）=2（x+2）化成ax2+bx+c=0（a＞0）的形式为 . 9、已知关于x的方程ax2-bx-c=0（a≠0）的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是 . 10、若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 . 11、在代数式（a-3）2+4中，无论a取何值，（a-3）2≥0，再加上4，则代数式（a-3）2+4≥4，即（a-3）2+4有最小值为 4.仿照上述思路，代数式-a2+12a-8的最大值为 . 12、若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k=0的两根分别为-3、2，则方程a（x-1+h）2+k=0的根为 . 13、用适当的方法解方程： （1）（2x-5）2-9=0； （2）2x2-3x-2=0； （3）x2+2x-399=0； （4）2（x-3）=2x（x-3）. 14、请用两种方法解方程x2+mx-2m2=0.（m为常数） 15、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0. （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解. 16、已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m-1=0. （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是3，请求出m的值和方程的另一个根. 17、已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2-mx+=0的两个实数根. （1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为1，则平行四边形ABCD的周长是多少？ 18、在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例：解方程x（x+8）=4. 解：原方程可变形，得[（x+4）-4][（x+4）+4]=4， 因式分解，得（x+4）2-42=4，即（x+4）2=20， 直接开平方，得x=-4±， ∴原方程的解为x1=-4+，x2=-4-. 我们称这种解法为“平均数法”. （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）=40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）-b][（x+a）+b]=40， 因式分解，得（x+a）2-b2=40，即（x+a）2=40+b2， 直接开平方，得x+a=±， ∴原方程的解为x1=c，x2=d. 上述解题过程中的a、b、c、d所表示的数分别是 、 、 、 . （2）请用“平均数法”解方程：（x-2）（x+6）=4. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$