1.2一元二次方程的解法--公式法及根的判别式讲义2023-2024学年苏科版年级数学上册

遍历山河，人间值得。 练习主题 一元二次方程的解法--公式法及根的判别式 思考：如何解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）？ 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由方程各项系数a、b、c确定的，当b2-4ac≥0时，它的实数根是：x=. 这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入这个公式，若b2-4ac≥0就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 例1、用公式法解下列方程 （1）x2-3x-4=0； （2）x2-2x=3； （3）2（x2-2）=7x. 对应练习： （1）2x2+x-1=0； （2）x（x-6）=6； （3）8x2-2x-3=0 巩固练习： 1、利用公式法解一元二次方程6x2+12=5x时，a，b，c的值分别是（ ） A.6，12，5 B.6，5，12 C.6，-5，12 D.6，-5，-12 2、若（m-2）-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则该方程的解为（ ） A.=，= B.=，= C.=，= D.以上答案都不对 3、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根中较小的一个根是m（m≠0）则b+的值为（ ） A. m B.-m C.2m D.-2m 4、已知a是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对a的大小估计正确的是（ ） A.0＜a＜1 B.1＜a＜1.5 C.1.5＜a＜2 D.2＜a＜3 5、用公式法解方程x（2x-5）=3，其中b2-4ac= ，方程的解为 . 6、用公式法解一元二次方程得y=，请你写出该方程 . 7、若一元二次方程3x2+（m-1）x-4=0中，b2-4ac=73，则m的值为 . 8、若三角形的两边长分别是3和5，第三边长是方程3x2-10x-8=0的根，则该三角形是 三角形. 9、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0. （1）求出该方程的根； （2）若m为整数，则当m取何值时，该方程的两个根都为正整数？ 交流：在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果b2-4ac＜0，那么方程还有实数根吗？为什么？ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况如下： 当b2-4ac＞0时， ； 当b2-4ac=0时， ； 当b2-4ac＜0时， . 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式. 例2、不解方程，判别方程根的情况： （1）x2+3x-1=0； （2）x2+5=2x； （3）-2x2+3x=4. 例3、如果关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是 . 对应练习： 1、关于x的方程x2-3kx-2=0实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数k的取值有关 2、若关于x的一元二次方程（x+2）2=n有实数根，则n的取值范围是 ； 3、请填写一个常数，使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根. 4、若关于x的一元二次方程（m-1）x2-x-1=0无实数根，则m的取值范围是 ； 5、关于x的一元二次方程mx2-mx=0有两个相等的实数根，则m= . 6、若关于x的方程2a（1-x）=b（1-x2）有两个相等的实数根，则a与b的关系是________. 7、如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________. 8、求证：关于x的一元二次方程x2-3（m-1）x+m2-4m+3=0没有实数根。 例4、在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别记为a，b，c.若a=3，b和c是关于x的一元二次方程x2+mx+2=0的两个实数根，求△ABC的周长. 对应练习： 1、已知，是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围； （2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若，恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长. 巩固练习： 1、关于x的一元二次方程x2+（k-3）x+1-k=0根的情况，下列说法正确的是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2、若关于x的方程x2-x-m=0没有实数根，则m的值可以为（ ） A.-1 B. C.0 D.1 3、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为=，=，下列判断一定正确的是（ ） A.a=-1 B.c=1 C.ac=1 D.=-1 4、当x＞0时，反比例函数y=的函数值随自变量的增大而减小，此时关于 x的方程x2-2（k+1）x+k2-1=0的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 5、已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ） A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 6、若关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是 . 7、若关于x的方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 . 8、已知实数x满足（x2+3x）2+（x2+3x）-6=0，则x2+3x的值为 . 9、已知a，b，c是三角形ABC三条边的长，则关于x的一元二次方程cx2+（a+b）x+c4=0的根的情况是 . 10、已知：关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0. （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x=1是方程的一个根，求出m的值. 11、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0. （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b=c，且b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. 13、关于x的方程（a-6）x2-8x+6=0有实数根，求a的取值范围。 14、已知关于x的方程（k-1）x2+kx+1=0. （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，关于x的方程（k-1）x2+kx+1=0有两个整数根? 15、已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（c-a）=0，其中2a、2b分别为ABCD的对角线AC、BD的长，c为边AB的长. （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）如果四边形ABCD为正方形，试求这个一元二次方程的根. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$