1.2.一元二次方程的解法--直接开平方、配方法 讲义 2023—2024学年苏科版数学九年级上册

遍历山河，人间值得。 练习主题 一元二次方程的解法--直接开平方、配方法 对于一元二次方程x2=2，根据平方根的意义，x是2的平方根，即x=±. 于是，我们知道一元二次方程x2=2有两个根，它们分别记为： =， =. 这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例1、解下列方程： （1）x2=169；　　 （2）12y2-25=0； （3）4x2+16=0 （4）（1-3x）2=1； （5）（x+2）2-16=0； （6）2（x-1）2-18=0； 对应练习： 1、方程x2-36=0的解为________；方程（x+4）2-2=0的解为_______. 2、用直接开平方法解方程（x+2）2=m-4，方程必须满足的条件是_______. 3、关于x的方程2x2+3ax-2a=0有一根是2，则关于y的方程y2+a=7的解为_______. 4、若关于x的方程（x-1）2=a有两个相等的实数根，则a=_______. 5、若关于x的一元二次方程（x+1）2+m=0有实数根，则m的取值范围是_______. 6、解下列方程： （1）； （2） ； （3）； 7、已知直角三角形两边长是方程9-（x-8）2=0的两根，求直角三角形第三边长。 8、若（x2+y2-1）2=36，求x2+y2的值。 如何解方程x2+6x+4=0？ 点拨：如果能化成（x+h）2=k的形式就可以求解了 解： 步骤：（1）移项 （2）配方（方法：方程两边同时加上_________________） （3）将方程写成(x+h)2=k的形式 （4）用直接开平方法解方程 小结：由此可见，只要把一个一元二次方程变形为（x+h）2=k的形式（其中h、k都是常数） 如果k______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k______0，则原方程无解。 这种解一元二次方程的方法叫配方法。 例1、解下列方程： （1） x2-4x+3=0； （2）x2+3x=1 对应练习： 1、填空： （1）x2-2x+ =（x- ）2 （2）x2+8x+ =（x+ ）2 （3）x2-5x+ =（x- ）2 （4）x2+x+ =（x+ ）2 2、练习： （1）x2+2x-3=0； （2）x2-x=1； （3）x2+2x-4=0 例2、解下列方程： （1）2x2-5x+2=0； （2）-3x2+4x+1=0 对应练习： 1、解下列方程： （1）2x2-8x+1=0； （2）x2+2x-1=0； （3）-5x2+2x+1=0. 2、填空： （1）4x2-4x+ =（2x- ）2； （2）3x2-9x+ =3（x- ）2； （3）2x2+ +=2（x+ ）2； （4）x2+ =（x- ）2； 3、如果9x2-（2k-4）x+25是一个完全平方公式，那么k的值是 . 4、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后为（x-2）2=d（d为常数）则= . 例3、（1）求多项式3x2-6x+2的最小值，并写出对应的x的值； （2）利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式-x2-2x-2恒为负； （3）对于任意实数x，试比较代数式3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小. 对应练习： 1、用配方法说明当x为何值时，代数式-2x2+3x-5有最值，最值是多少？ 2、试说明：对于任意实数m，关于x的方程（-2m2+8m-12）x2-3x+1=0都是一元二次方程. 巩固练习： 1、方程4x2-1=0的根是（ ） A. B.± C.2 D.±2 2、一元二次方程（x+6）2=64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=8，则另一个一元一次方程是（ ） A.x-6=-8 B.x-6=8 C.x+6=8 D.x+6=-8 3、用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ） A.（x+1）=3 B.（x+1）=6 C.（x-1）=3 D.（x-1）=6 4、已知一元二次方程x2-8x=48可表示成（x-a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，则a+b的值为（ ） A.20 B.12 C.-12 D.-20 5、用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6、一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ） A.无实数根 B.有一个正根，一个负根 C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3 7、用配方法把一元二次方程2x2-12x=0转化为（x+k）2=b的形式，则反比例函数y=的图像所在的象限是（ ） A.第一、二象限  B.第一、三象限 C.第二、四象限  D.第三、四象限 8、若方程（x-5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ） A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a-5是19的算术平方根 D.b+5是19的平方根 9、已知M=a-1，N=a2a（a为任意数），则M、N得大小关系为（ ） A.M＜N B.M＞N C.M=N D.不能确定 10、若x2+ax+4是完全平方式，则a= . 11、把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式，则方程的两边需同时加上的式子是 . 12、已知（2a+1+2b）（2a-1+2b）=63，则a+b的值为 ； 13、如果（a2+b2+1）（a2+b2-1）=63，那么a2+b2的值为 . 14、已知直角三角形一边长为8，另一边长是方程x2-8x-20=0的根，则第三边的长为 . 15、已知关于x的方程a（x+c）2+b=0的解是x1=-2，x2=1（a≠0），则方程a（x+c-2）2+b=0的解是 ，c= . 16、当x= 时，代数式5-（x-2）2有最大值，最大值为 ；当y= 时，代数式y2+2y-5有最 （填“大”或“小”）值，为 . 17、解下列方程： （1）； （2） （3）（3x-1）（3x+1）-1=0； （4）x2-6x=1； （5）x2+x+1=0； （6）y2-y=0； （7）4x2+8x+3=0 （8）=0； （9）（2y-3）2=（y-2）（y-3） 18、把方程x2-3x+p=0配方，得到（x+m）2=。 （1）求常数p与m的值； （2）求此方程的解。 19、试说明：对于任意实数m，关于x的方程（-2m2+8m-12）x2-3x+1=0都是一元二次方程. 20、已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，试求m+n的最大值 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$