复习07讲 二面角的常见四大解题方法（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习07讲 二面角的常见四大解题方法（精讲+精练） ①定义法 ★②三垂线法 ③射影面积法 ④补形法 一、二面角定义 1.二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2.二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3.二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4.二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 二、三垂线法 1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 三、射影面积法 1.方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 2.以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 A B D C 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 2.点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定. (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 四、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． ①定义法 策略方法 定义法求二面角的平面角 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 3．（22-23高一下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.    (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 5．（22-23高三上·陕西咸阳·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.    (1)证明：； (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. ②三垂线法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． (1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； (2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 5．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面． (1)证明：； (2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． ③射影面积法 【题型精练】 一、解答题 1.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求二面角P-BC-A的平面角的大小. 3.如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． ④补形法 【题型精练】 一、解答题 1．（2023高一·全国·专题练习）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二上·浙江·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 3．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）如图，在三棱柱中，已知平面，且.    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的余弦值. 4．（23-24高二上·四川成都·开学考试）图①是由矩形和梯形组成的一个平面图形，其中，，点为边上一点，且满足，现将其沿着折起使得平面平面，如图②．    (1)在图②中，当时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在图②中，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．      (1)求证：平面平面； (2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习07讲 二面角的常见四大解题方法（精讲+精练） ①定义法 ★②三垂线法 ③射影面积法 ④补形法 一、二面角定义 1.二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2.二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3.二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4.二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 二、三垂线法 1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 三、射影面积法 1.方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 2.以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 A B D C 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 2.点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定. (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 四、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． ①定义法 策略方法 定义法求二面角的平面角 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 【题型精练】 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【详解】（1）设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，即可证明面面垂直； （2）表达出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值. 【详解】（1）由题意， 因为四边形为菱形，所以. 连接AC.    因为， 所以为等边三角形，从而. 在中，是的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以. ∵，面，平面，面， ∴平面. 又平面， ∴平面PCE⊥平面PAD （2）由题意及（1）得， 在平面中，过点作，垂足为，连接.    因为平面,平面，所以. 又, 平面,平面，所以平面. 又平面，所以， 从而是二面角的平面角． 在Rt中，,， 所以.在Rt中，，， 所以. 在Rt中, , 所以二面角的平面角的正弦值为. 3．（22-23高一下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.    (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知以及勾股定理、面面垂直的性质定理，利用线面垂直的判定定理进行证明. （2）根据已知，证明为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性质计算求解. 【详解】（1）证明：在中， 又侧面底面， 侧面底面平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面. （2）   解：取的中点为，连接， ，所以 又侧面底面，侧面底面，面， 平面 又平面，， 过点作，垂足为，连接，又，平面， 平面，又平面，平面， ， 为侧面与底面所成二面角的平面角， 在直角中，， ，， 即侧面与底面所成二面角的正弦值为. 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等体积法求解点到平面的距离； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）连接，则， 平面平面，平面平面＝AC，平面， 平面，又平面， ，又正方形的边长为， ，， 设点到平面的距离为，则， ， ，即点到平面的距离； （2）取的中点，连接，， ， ，， 为二面角的平面角，， 由题可知与全等， 在中，，， ，， ，. 5．（22-23高三上·陕西咸阳·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.    (1)证明：； (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】（1）连接AF，则，又，， ∴，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又平面PAF， ∴平面PAF，又平面PAF， ∴； （2）平面，是与平面所成的角， 且．， ∵平面PAF，∴， ， ∴为平面PFD与平面CFD所成锐角， ∴， 故二面角的余弦值为. ②三垂线法 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． (1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； (2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 【答案】(1)，证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据题意得到，利用中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据二面角的平面角的定义得到就是二面角的平面角，即可得到，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的，然后求距离即可. 【详解】（1） 当时，满足题意． 是的中点，又因为是的中点， 所以， 又平面，且平面， 所以∥平面． （2）由勾股定理得， 因为平面，平面ABC， 所以， 又，，平面， 所以平面， 而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且， 过作于，则平面，易得， 所以点到平面的距离等于，为． 5．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面． (1)证明：； (2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得，根据三角形相似可得，即 （2）设AB的中点O，首先由已知得底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，得底面ABCD，则为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，根据条件求解即可 【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM， 在与中，∵，∴， 由，得，又∵平面AMC， 而平面平面 ，平面PBD， ∴， ∴在中，，∴； （2）设AB的中点O，在正中，， 而侧面底面，侧面底面，且平面， ∴底面ABCD， 在中过点M作交AB于点F， ∴底面ABCD， ∴为CM与底面ABCD所成角， ∴，设， 则，∴，，则在直角梯形ABCD中，， 而，则， 在底面ABCD上过点O作于点G， 则是二面角的平面角，易得，， 在梯形ABCD中，由，得， 在中，，∴． ④射影面积法 【题型精练】 一、解答题 1.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． 2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求二面角P-BC-A的平面角的大小. 【答案】 【解析】设二面角P-BC-A的平面角为， ∵PA⊥AB，PA⊥AC，且AB、AC⊂平面ABC， ∴PA⊥平面ABC ∴为的射影，PA⊥BC， ∵BC⊥AB且PA、AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， ∵PA=AB=BC=2， ∴， ∴，， ∴，所以二面角P-BC-A的平面角的大小为. 3.如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2） 【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长， 所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为. （2）因为是圆柱的底面直径，所以， 因为是圆柱的母线，所以平面， 在中，，，所以， ∴， 由勾股定理得， 在中，∴， 则， 设二面角为，则由射影面积法可得 所以， 因此，二面角的正弦值为. ⑤补形法 【题型精练】 一、解答题 1．（2023高一·全国·专题练习）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】先假设存在符合题意的点，根据线面角和面面角的知识判断出此时，由列方程来求得. 【详解】假设存在点，使得，延长与交于点，连接， 则平面平面， 设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角， 因为且，所以，点为的中点，则， 过点作垂直于，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，因为平面，所以， 是平面与平面的夹角的平面角（或补角）， 所以，， 由，得，所以、重合，由，得， 设，则，， 由勾股定理可得， 即，整理可得， 解得或（舍）， 所以存在点，当，有成立. . 2．（23-24高二上·浙江·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行知识可求解. （2）根据题意做辅助线找到二面角，再结合余弦定理，从而求解. 【详解】（1）设是中点，连接，如下图所示： 在中，为为中位线，所以：，又因为：， 所以：，所以：四边形为平行四边形，得：， 又因为：平面平面，所以：平面.    （2）如图，延长和交于点，连接. 过点作，垂足为点，连接.    因为：平面平面，平面平面， 所以：平面， 因为：，且平面， 所以：平面，所以：为所求二面角的平面角， 在中，， 得：， 所以：， 所以：. 3．（2023高二下·浙江杭州·学业考试）如图，在三棱柱中，已知平面，且.    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 （1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果； （2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，则， 又因为，平面， 所以平面， 且平面，可得， 因为为平行四边形，且，则为矩形， 所以正方形，可得. （2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱， 取的中点，连接，则三点共线，且//， 因为//，可得//， 所以平面即为平面， 同理平面即为平面， 因为//，平面，则平面， 且平面，则， 所以二面角的平面角为， 可得， 在中，则， 所以二面角的余弦值为.   . 4．（23-24高二上·四川成都·开学考试）图①是由矩形和梯形组成的一个平面图形，其中，，点为边上一点，且满足，现将其沿着折起使得平面平面，如图②．    (1)在图②中，当时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在图②中，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）； (2)存在 【分析】（1）（ⅰ）分别利用勾股定理得到，故，，故，再利用平面平面，得到平面，从而，再利用线面垂直的判定定理证明；（ⅱ）设点到平面的距离为，过点作，利用等体积法求得h，再由求解； （2）延长交于点，连接，得到平面平面，过作平面，连接，过点作，连接，得到为直线与平面所成角，为平面与平面的夹角，然后由求解. 【详解】（1）当时，即点为的中点， （ⅰ）证明：由题意得：，则，，故， 又，则， 又平面平面，平面平面 ， 平面， 又平面， 故， 又，平面，平面， 所以平面； （ⅱ）设点到平面的距离为， 过点作，则平面，如图，    又是等腰三角形，，， 由得，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （2）延长交于点，连接，则平面平面， 过作平面，连接，过点作，连接， 如图，    则为直线与平面所成角，即， 则为平面与平面的夹角，即， 又，则， ，故，即点重合， 又，即，由相似三角形得， 设，则， ， 即得，则或（舍去）， 又，得， 故存在使得． 5．（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．      (1)求证：平面平面； (2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明即可； （2）依题意可知，为的中点，，即当最大时，最大，设，由基本不等式可求得当，最大，取的中点，为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）在线段上取异于两端点的两点， 因为对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面． 所以平面平面， 又平面平面， 所以平面平面．    （2）由（1）知平面平面，又平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点． 所以，所以当最大时，最大． 设，则，所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，且为等腰直角三角形，最大． 所以． 因为， 所以，当且仅当时， 即为等腰直角三角形，最大． 取的中点，则， 在平面内过点作交于点，连接， 则为二面角的平面角． 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以． 又，在中，由余弦定理，得 ，所以． 在中，由余弦定理，得． 在中，，，，，． 即二面角的余弦值为．    1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$