第05讲 全称量词与存在量词 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义； 2.会判断一个命题的全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 3.正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； (2)全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (3)存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (4)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 (5)常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【题型一】 全称量词命题与存在量词的判断 相关知识点讲解 1 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词与存在量词命题 (1)存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【典题1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 变式练习 1.下列命题是全称量词命题的是(    ) A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的有(    ) A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 3.现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【典题1】 (多选)下列四个命题中，是假命题的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【典题2】 (多选)下列选项错误的是(    ) A．命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边都不平行” B．不存在整数，使得是的倍数 C．，使得 D．， 变式练习 1. (多选)下列命题是真命题的是(    ) A．，的个位数字不等于3 B．{是无理数}，是无理数 C．， D．，是4的倍数 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(    ) A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 3.(多选)下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是(    ) A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 4.(多选)设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是(    ) A．存在，使得该方程组有无数组解； B．对任意，该方程组均有唯一一组解； C．对任意，使得该方程组有无数组解； D．存在，该方程组均有唯一一组解. 5.下列命题： ①；②；③；④； ⑤；⑥． 其中所有真命题的序号是 ． 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 相关知识点讲解 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； (2)全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (3)存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (4)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 (5)常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【典题1】 (多选)下列命题中，真命题的是(    ) A．是的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，使得” D．命题“，使得”的否定是“，使得” 【典题2】下列命题的否定是假命题的是(    ) A．能被3整除的整数是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．每一个四边形的四个顶点共圆;存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．有的三角形为正三角形;所有的三角形不都是正三角形 D．;，都有 变式练习 1.已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为( ) A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 2.命题“”的否定是(    ) A． B． C． D． 3.命题的否定是(    ) A． B． C． D． 4.下列命题的否定是真命题的是(    ) A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典题1】 (多选)已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是( ) A． B． C． D． 【典题2】已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 变式练习 1. 命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2.命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D．以上都不对 3.若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 5.已知命题：“，使得”为真命题． (1)求实数m的取值的集合A； (2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 6.已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 【A组---基础题】 1.命题“，”的否定是(    ) A．， B．， C．， D．， 2.下列命题是全称量词命题，且是真命题的是(    ) A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 3.下列命题的否定为假命题的是(    ) A．， B．， C．， D．， 4.(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(    ) A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 5.下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). (1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除. 6.下列命题中，真命题的编号是 . ①，；②，x为方程的根； ③，；④，，使． 7.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 8.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1.已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义； 2.会判断一个命题的全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 3.正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1 全称量词与全称量词命题 （1）全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； （2）全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. （3）存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. （4）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 （5）常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【题型一】 全称量词命题与存在量词的判断 相关知识点讲解 1 全称量词与全称量词命题 （1）全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词与存在量词命题 （1）存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【典题1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 变式练习 1.下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 3.现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【答案】2 【分析】根据全称量词和存在量词即可求解. 【详解】①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题., 故答案为：2 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【典题1】 (多选)下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】当时可判断A，D；当时，可判断B；判断，为真命题可判断C；进而可得正确选项. 【详解】当时，，显然不成立，故选项A是假命题； 当时，，故选项B是真命题； 对，恒成立，所以，是假命题，故选项C是假命题； 当时，不成立，故选项D是假命题． 故选：ACD． 【典题2】 (多选)下列选项错误的是（    ） A．命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边都不平行” B．不存在整数，使得是的倍数 C．，使得 D．， 【答案】AC 【分析】根据题意，依次判断选项是否正确. 【详解】对于A，命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边不都平行”，故A错误； 对于B，当时，不是4的倍数； 当时，不是4的倍数， 所以不存在整数，使得是的倍数，故B正确； 对于C，因为，则为偶数，所以为偶数， 所以不存在，使得，故C错误. 对于D，当时，，故D正确. 故选：AC. 变式练习 1. (多选)下列命题是真命题的是（    ） A．，的个位数字不等于3 B．{是无理数}，是无理数 C．， D．，是4的倍数 【答案】AC 【分析】，平方后个位数字为，故A正确；令即可判断B 错误；令即可判断C正确；分是奇数和偶数两种情况说明即可判断. 【详解】解：对于A选项，，其个位数为，平方后个位数字为，不能为，故正确； 对于B选项，令，则是有理数，故错误； 对于C选项，令，则，故正确； 对于D选项，当是奇数时，不妨设，则，由于，故，故不是4的倍数，当是偶数时，是奇数，不是4的倍数，故错误. 故选：AC 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【答案】D 【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D 3.(多选)下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【答案】AB 【分析】根据存在量词命题的定义，结合存在量词命题的真假判定，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确； B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确； C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确； D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确. 故选：AB. 4.(多选)设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是（    ） A．存在，使得该方程组有无数组解； B．对任意，该方程组均有唯一一组解； C．对任意，使得该方程组有无数组解； D．存在，该方程组均有唯一一组解. 【答案】AD 【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断即可 【详解】A．二元一次方程组有无数组解的条件是两方程相同， 所以，此时方程为，使方程组有无数组解，故本选项符合题意； B．把代入得：， 所以方程组要有唯一解必须满足，故本选项不符合题意； C．由选项A可知，只有时，方程组才有无数组解，故本选项不符合题意； D．由选项B可知，只要，也即存在a，使得方程组只有唯一解，故本选项符合题意． 故选：AD． 5.下列命题： ①；②；③；④； ⑤；⑥． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】对于①，由平方的非负性判断，对于②，举例判断，对于③，举例判断，对于④，通过计算判断，对于⑤，举例判断，对于⑥，利用平方的非负性判断. 【详解】对于①，因为，，所以 所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，所以③正确； 对于④，由，所以④错误； 对于⑤，当时，，所以⑤错误； 对于⑥，，，所以，所以不存在实数，使，所以⑥错误， 所以①③为真命题. 故答案为：①③ 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 相关知识点讲解 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； （2）全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. （3）存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. （4）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 （5）常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【典题1】 (多选)下列命题中，真命题的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，使得” D．命题“，使得”的否定是“，使得” 【答案】BCD 【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性， 根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性. 【详解】对于A，当，时，，但是当时，，不一定成立，比如,故，是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，当时可得, 当时不能得到, “”是“”的充分不必要条件,故B正确； 对于C, 命题“，使得”的否定是“，都有”,故C正确； 对于D，命题“，”的否定是“，”，故D正确. 故选： 【典题2】下列命题的否定是假命题的是（    ） A．能被3整除的整数是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．每一个四边形的四个顶点共圆;存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．有的三角形为正三角形;所有的三角形不都是正三角形 D．;，都有 【答案】C 【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，再结合全称命题和存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，命题能被3整除的整数是奇数，则存在一个能被3整除的整数不是奇数， 例如：实数不是奇数，但能被整除，所以是真命题； 对于B中，命题每一个四边形的四个顶点共圆，则存在一个四边形的四个顶点不共圆，其中命题为假命题，所以是真命题； 对于C中，命题有的三角形为正三角形，则所有的三角形不都是正三角形，其中命题为真命题，所以是假命题； 对于D中，命题，则，都有， 由不等式，所以命题为假命题，所以是真命题. 故选：C. 【点睛】对于全称命题和存在性命题的改写与真假判定的策略： 1、全称命题与存在性命题的否定改写： （1）改写量词：确定命题所含有的量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论：对原命题的结论进行否定. 2.全称命题与存在性命题的真假判断方法： 命题名称 真假 判断方法一 全称命题 真 所有对象是命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在性命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 变式练习 1.已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【分析】 存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A 2.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到. 【详解】命题 “”的否定是“”， 故选：A. 3.命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选:B 4.下列命题的否定是真命题的是（    ） A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 【答案】D 【解析】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对D，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假． 【详解】解：对A，，一元二次方程有实根， 其否定为：，一元二次方程无实根， 由△，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题； 对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题； 对C，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题； 对D，存在一个四边形，其内角和不等于，其否定为任意四边形，其内角和等于，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为， 可得原命题为假命题，其否定为真命题． 故选：D. 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典题1】 (多选)已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围. 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 故选：BCD. 【典题2】已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 变式练习 1. 命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意知命题的否定是真命题，结合二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】命题“存在，使” 是假命题， 命题的否定：“，有”是真命题． 由，解得， 由已知m的取值范围是，所以. 故选：B. 2.命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 3.若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 【详解】因为“”的否定是假命题， 所以“”是真命题， 因此关于x的方程有实根， 所以，解得． 因此实数m的取值范围是． 故答案为：． 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“任意，”是真命题， 即在上恒成立， 当时，不等式化为恒成立， 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为： 5.已知命题：“，使得”为真命题． (1)求实数m的取值的集合A； (2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【详解】（1）命题“，使得”为真命题， 所以， 即， 解之得或， 所以实数m的取值的集合或；； （2）不等式的解集为， 因为是的必要不充分条件，所以， 则或， 所以或， 故实数a的取值范围为． 6.已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 【答案】答案见解析 【分析】由特称命题为假求参数a的范围，即得集合A，根据所选条件判断集合A、B的包含关系，讨论、求参数m的范围. 【详解】由已知命题为假，则为真， 当，显然不成立； 当，只需； 所以， 选①：若“”是“”的必要不充分条件，则， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选②：“”是“”的充分条件，则，而， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选③：由， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以. 【A组---基础题】 1.命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C. 2.下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 3.下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 4.(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【答案】CD 【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假． 【详解】对于A，命题是全称量词命题，故A错误； 对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确． 故选：CD． 5.下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【答案】 （1）（3）（2） 【分析】根据全称量和存在量词定义分别判断即可. 【详解】（1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题； （2）中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题． 故答案为：（1）（3）；（2）. 6.下列命题中，真命题的编号是 . ①，；②，x为方程的根； ③，；④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 7.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 8.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 【B组---提高题】 1.已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$