专题01 相交线与平行线（知识梳理+考点讲练+过关训练）-2024-2025学年七升八年级数学暑期辅导练习（人教版）

专题01 相交线与平行线 知识梳理 1、 平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点． 2、邻补角的意义 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 3、邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． 4、对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 5、对顶角的性质 对顶角相等． 6、垂线的意义 如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 7、垂直的符号 记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交． 8.垂直公理： 在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 9.中垂线 过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 10.垂线段的性质 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 11.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线 上，那么就说这个点到直线的距离为零． 同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 12、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 13、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 14.平行线的三种判定方法： （1） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，同位角相等，两直线平行． （2） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行． （3） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行． 15，平行线的性质定理 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简记为：两直线平行，同位角相等． （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简记为：两直线平行，内错角相等． （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简记为：两直线平行，同旁内角互补． 目录 【题型一 对顶角 邻补角的识别】 3 【题型二 利用对顶角的性质求角】 4 【题型三 利用垂线段最短解题】 5 【题型四 相交线中求角度】 6 【题型五 同位角 内错角 同旁内角的识别】 6 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 7 【题型七 平行线的性质与判定】 8 【题型八 命题 定理 证明】 9 【题型九 平移图形的识别及利用平移性质求解】 9 【题型一 对顶角 邻补角的识别】 例题：下列各组角中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 2．如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【题型二 利用对顶角的性质求角】 例题：如图所示，直线与相交形成了、、、，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（    ） A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角 【变式训练】 1．如图．直线a、b相交．．则 度．    2．如图，直线和直线相交于点M，平分，若，则的度数为 °． 【题型三 利用垂线段最短解题】 例题：如图，在一次跳远测试中，直线是起跳线，脚印是一名同学跳落沙坑时留下的痕迹，已知米，米，则他的跳远成绩可能是（    ） A．2.7米 B．2.65米 C．米 D．2.55米 【变式训练】 1．如图，，垂足为，，，，是线段上一点，连接，的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，从直线l外一点P向l引三条线段、、，其中最短的线段为 ． 【题型四 相交线中求角度】 例题：如图，直线相交于点，平分，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，直线，交于点O，，若，则的度数为 ． 2．如图，直线、相交于，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 【题型五 同位角 内错角 同旁内角的识别】 例题：如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 2．如图，在用数字标注的角中，与 是同位角，与 是内错角，与 是同旁内角． 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 例题：如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 2．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【题型七 平行线的性质与判定】 例题：如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，已知，，，则= 度． 2．如图，已知直线与和分别相交于点和点，且，，则的度数． 【题型八 命题 定理 证明】 例题：下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 【变式训练】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．两直线平行，内错角相等 C．如果，那么a，b两数同号 D．如果，那么 2．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【题型九 平移图形的识别及利用平移性质求解】 例题：由如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    2．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为 ．    一、单选题 1．如图，下列条件可以判定的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，，，分别交，于点，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接，如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线中一条上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号） 7．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 ． 8．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ． 9．如图，，,则的度数为 ． 10．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 三、解答题 11．如图，，平分，，求证：． 12．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 13．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 14．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 15．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 知识梳理 1、 平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点． 2、邻补角的意义 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 3、邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． 4、对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 5、对顶角的性质 对顶角相等． 6、垂线的意义 如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 7、垂直的符号 记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交． 8.垂直公理： 在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 9.中垂线 过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 10.垂线段的性质 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 11.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线 上，那么就说这个点到直线的距离为零． 同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 12、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 13、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 14.平行线的三种判定方法： （1） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，同位角相等，两直线平行． （2） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行． （3） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行． 15，平行线的性质定理 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简记为：两直线平行，同位角相等． （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简记为：两直线平行，内错角相等． （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简记为：两直线平行，同旁内角互补． 目录 【题型一 对顶角 邻补角的识别】 3 【题型二 利用对顶角的性质求角】 5 【题型三 利用垂线段最短解题】 7 【题型四 相交线中求角度】 8 【题型五 同位角 内错角 同旁内角的识别】 10 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 12 【题型七 平行线的性质与判定】 14 【题型八 命题 定理 证明】 16 【题型九 平移图形的识别及利用平移性质求解】 17 【题型一 对顶角 邻补角的识别】 例题：下列各组角中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，熟悉定义是关键． 对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断， A、B、C都不是由两条直线相交构成的图形，选项错误，不符合定义； D是由两条直线相交构成的图形，选项正确，符合定义． 故选：D． 【变式训练】 1．如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，的邻补角是和， 故选：A． 2．如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 【题型二 利用对顶角的性质求角】 例题：如图所示，直线与相交形成了、、、，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（    ） A．1个角 B．2个角 C．3个角 D．4个角 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角及邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据对顶角及邻补角的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴要确定这四个角的度数，至少要测量其中的个角即可， 故选：A ． 【变式训练】 1．如图．直线a、b相交．．则 度．    【答案】/130度 【分析】本题考查了对顶角，邻补角的性质，掌握对顶角相等，邻补角互补是解题的关键；根据对顶角相等，邻补角互补求解即可； 【详解】解：， ， ， 故答案为：； 2．如图，直线和直线相交于点M，平分，若，则的度数为 °． 【答案】65 【分析】本题考查了邻补角、对顶角．解题的关键是掌握邻补角、对顶角的定义和性质，要注意运用：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：65． 【题型三 利用垂线段最短解题】 例题：如图，在一次跳远测试中，直线是起跳线，脚印是一名同学跳落沙坑时留下的痕迹，已知米，米，则他的跳远成绩可能是（    ） A．2.7米 B．2.65米 C．米 D．2.55米 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，根据跳远成绩的计算方法可知垂线段的长度是小明跳远的成绩，由此即可得出答案． 【详解】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段的长度是小明跳远的成绩， 垂线段最短， ， 他的跳远成绩可能是2.55米， 故选：D． 【变式训练】 1．如图，，垂足为，，，，是线段上一点，连接，的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的性质和三角形中的等面积法，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：在中，，，，， ∵当时，的值最小， 中，由等面积法可得：， 即：， ， ∴的最小值为， ∴的长不可能是4． 故选：A． 2．如图，从直线l外一点P向l引三条线段、、，其中最短的线段为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线段最短得性质，掌握垂线段最短的性质是解题的关键． 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,解答即可． 【详解】解：∵从直线l外一点P向l引三条线段、、，中线段是垂线段， 根据垂线段最短得：线段最短， 故答案为：， 【题型四 相交线中求角度】 例题：如图，直线相交于点，平分，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．先求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由直角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．如图，直线，交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查对顶角、邻补角，根据图形中角的比例关系以及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，而， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，直线、相交于，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了邻补角的定义，补角的定义，角平分线的定义，掌握角平分线的定义及邻补角的定义是解题的关键． （）先根据已知条件和邻补角的性质求出的度数，然后即可求出的度数； （）根据补角的定义可知即可解答． 【详解】（1）解：∵直线、相交于，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）解：∵直线、相交于，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故平分． 【题型五 同位角 内错角 同旁内角的识别】 例题：如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：直线，被直线所截，则的内错角是． 故选：C． 【变式训练】 1．如图，与是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的概念，根据内错角的概念进行判断即可． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角， 则∠1与∠2符合内错角的定义，它们是内错角， 故选：C． 2．如图，在用数字标注的角中，与 是同位角，与 是内错角，与 是同旁内角． 【答案】 和 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，即可求解， 本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，解题的关键是：分清截线和被截线． 【详解】解：根据同位角，内错角，同旁内角的定义可得， 与是同位角， 与是内错角， 与 和是同旁内角， 故答案为：；； 和． 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 例题：如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】①∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ③∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：③． 2．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意； D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意； 故选：C． 【题型七 平行线的性质与判定】 例题：如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． 如图，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．如图，已知，，，则= 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质；根据平行线的判定与性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 2．如图，已知直线与和分别相交于点和点，且，，则的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 根据对顶角相等可得，可得，从而可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 【题型八 命题 定理 证明】 例题：下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题的判断，熟知命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题，数学中的命题常可以写成：如果…，那么…，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、今天的空气好清新，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、年月日，神舟十二号发射升空，没有作出判断，不是命题，不符合题意； C、作一条长为 的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、同旁内角互补，作出判断，是命题，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．两直线平行，内错角相等 C．如果，那么a，b两数同号 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假的判断，掌握对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义是关键；根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，是假命题； B、是平行线的性质，是真命题； C、如果，那么a，b两数异号，是假命题； D、如果，那么或，是假命题； 故选：B． 2．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了逆命题，根据题意进行解答即可得． 【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么， 故答案为：如果，那么． 【题型九 平移图形的识别及利用平移性质求解】 例题：由如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义． “平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解 【详解】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是C． 故选：C． 【变式训练】 1．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【答案】6 【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离． 【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键． 2．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为 ．    【答案】7 【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 一、单选题 1．如图，下列条件可以判定的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，能推出，本选项不符合题意； B．由，推出，本选项符合题意 C．由，不能推出任何平行线段，本选项不符合题意； D．由，能推出，本选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的性质，过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示：    根据题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图，，，分别交，于点，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．根据平行线的性质和对顶角相等即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接，如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与、的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解： 将沿着直尺方向平移得到，根据平移的性质， ，， 的周长为 ， 四边形的周长为． 故选：C． 5．如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线中一条上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 首先过作，然后判定，根据平行线的性质可得，再计算出的度数，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， ∵， ， 故选：B． 二、填空题 6．如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：①，能判断，故符合题意； ②，能判定，故符合题意； ③∵， ∴，故符合题意； ④， ，故不符合题意， 故答案为：①②③． 7．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 8．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，先由平角的定义得到，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，，,则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，利用两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论． 【详解】解：过点G作，设，， ，交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 12．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 13．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点，掌握平行线的常见判定方法成为解题的关键． （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：因为平分，平分 所以，. 因为， 所以， 所以. （2）解：由（1）知， 所以 因为与互余， 所以， 所以， 所以. 14．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)，平行于同一直线的两直线平行 【分析】（1）取格点M，过点P、M作直线m；利用格线互相平行，作直线、即可； （2）根据点到直线的距离定义解答； （3）根据垂线段最短解答； （4）根据平行公理的推论解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线m、、，点C即为所求， （2）解：∵于P， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：根据垂线段最短得， ∴的理由是垂线段最短； （4）解：∵，， ∴． 根据平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 【点睛】本题考查利用网格作图，点到直线的距离，平行公理的推论，垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离定义：从直线外一点作直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫到点直线的距离，垂线段最短，平行公理的推论． 15．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$