第6章 平行四边形 知识点梳理与复习-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 · 1　 · 第 6 章考点梳理与复习 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 平行四边形的性质和判定 1. 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,下列条件中,一定能判定四边形 ABCD 为平行四边形 的是 (　 　 ) A. AD∥BC　 B. AC⊥BC　 C. AD∥BC,AB=CD　 D. OA=OC,OB=OD 2. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,▱ABCD 的周长为 30,直线 EF 过点 O,且与 AD,BC 分 别交于点 E,F。 若 OE= 5,则四边形 ABFE 的周长为 (　 　 ) A. 30　 B. 25　 C. 20　 D. 15 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,E,F 是▱ABCD 对角线 BD 上两点,顺次连接点 A,E,C,F,得到四边形 AECF,添加下列条 件不一定能得到四边形 AECF 是平行四边形的是 (　 　 ) A. BE=DF　 B. AE∥CF　 C. AE=CF　 D. ∠AEB= ∠CFD 4. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,则点 B 的坐标为　 　 　 　 。 5. 如图,在▱ABCD 中,O 是对角线 BD 的中点,EF 过点 O 且分别交 AB,CD 于点 E,F,连接 DE,BF。 求证:(1)△DOF≌△BOE; (2)DE=BF。 6. 如图,AD∥BC,AC 平分∠BAD,BD 平分∠ABC,DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E。 (1)求证:四边形 ACED 是平行四边形; (2)请直接写出与△CED 面积相等的三角形。 考点二　 矩形的性质和判定 7. 如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化, 下面判断错误的是 (　 　 ) A. 四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形　 B. 对角线 BD 的长度减小 C. 四边形 ABCD 的面积不变　 D. 四边形 ABCD 的周长不变 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在矩形 ABCD 中,已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=OB,则∠AOD 的度数为　 　 　 　 。 9. 在四边形 ABCD 中,有以下四个条件:①AB∥CD;②AD =BC;③AC =BD;④∠ADC = ∠ABC。 从中 选取三个条件,可以判定四边形 ABCD 为矩形,则可以选择的条件序号是 。 10. 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 是∠BAC 的平分线,AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线, CE⊥AN,垂足为 E。 求证:四边形 ADCE 为矩形。 11. 如图 1,在四边形 ABCD 中,AB=BC,AD=CD,AC 和 BD 交于点 O,CE∥BD,DE∥AC,CE 和 DE 交 于点 E。 (1)求证:四边形 ODEC 是矩形; (2)如图 2,连接 OE,当 AD∥BC 时,在不添加任何辅助线及字母的情况下,请直接写出图中所 有的平行四边形。 图 1　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　 菱形的性质和判定 12. 如图,在菱形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,∠ABC= 70°,E 是线段 AO 上一点,则∠BEC 的度数 可能是 (　 　 ) A. 100° B. 70° C. 50° D. 20° 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD,AC,BC 相交于点 E,O,F。 下列结论: ①四边形 AFCE 为菱形;②△ABF≌△CDE;③当 F 为 BC 的中点时,∠ACD = 90°。 其中正确 的有 (　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 14. 在菱形 ABCD 中,对角线 AC 长为 10 cm,BD= 6 cm,则菱形 ABCD 的面积为 cm2。 15. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E,DF∥AB 交 BC 于点 F。 (1)求证:四边形 BEDF 是菱形; (2)如果∠A= 80°,∠C= 30°,求∠BDE 的度数。 考点四　 正方形的性质和判定 16. 如图,正方形 ABCD 内的△BEC 为等边三角形,则∠DEA 的度数为 (　 　 ) A. 130°　 B. 120°　 C. 135°　 D. 150° 第 16 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 18 题图 17. 在下列条件中,能够判定矩形 ABCD 为正方形的是 (　 　 ) A. AB=AD　 B. AB=AC　 C. AB=CD　 D. AC=BD 18. 边长为 4、中心为 O 的正方形 ABCD 如图所示,动点 P 从点 A 出发,沿 A→B→C→D→A 以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A 时停止。 动点 Q 从点 A 出发,沿 A→D→C→B→A 以每秒 2 个单 位长度的速度运动到点 A 时停止,若点 P,Q 同时开始运动,点 P 的运动时间为 t s,当 0<t<16 时, 满足 OP=OQ 的点 P 的位置有 (　 　 ) A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 19. 如图,菱形 EFGH 的三个顶点 E,G,H 分别在正方形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上,连接 CF。 (1)求证:∠HEA= ∠CGF; (2)当 AH=DG 时,求证:菱形 EFGH 为正方形。 考点五　 三角形的中位线和直角三角形的性质定理 2 20. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于点 H,连接 OH。 若 OA= 4,S菱形ABCD = 36,则 OH 的长为 (　 　 ) A. 5　 B. 4. 5　 C. 4　 D. 2. 5 第 20 题图 　 　 第 21 题图 　 　 第 22 题图 　 　 第 23 题图 21. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D 是 AB 的中点。 若∠A= 28°,则∠BDC 的度数为 (　 　 ) A. 26°　 B. 52°　 C. 56°　 D. 64° 22. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 的中点,点 F 在 DE 上,且∠AFB = 90°。 若 AB = 8,EF = 1,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 9　 B. 10　 C. 10. 5　 D. 12 23. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= 1,CD= 4,M,N 分别是 AD,BC 的中点,则线段 MN 的取值范围是 (　 　 ) A. 3<MN<5 B. 3<MN≤5 C. 3 2 <MN< 5 2 D. 3 2 <MN≤ 5 2 24. 如图,在△ABC 中,E,F 分别是 AC,BC 的中点,D 是 BC 上一点,连接 AD 交 EF 于点 G,已知 AE =EG。 (1)求证:∠CAD= ∠BAD; (2)已知 DG=DF,若∠B= 32°,求∠C 的度数。 25. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的一点,E,F,G,H 分别是 BD,BC,AC,AD 的中点。 求证:EG,HF 互相平分。 · 2·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·53　 · 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第 6 章考点梳理与复习 1. D 2. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点 O,∴ AB=CD,AD=CB,AD∥CB,OA=OC。 ∴ ∠OAE =∠OCF。 在△AOE 和△COF 中, ∠AOE=∠COF, OA=OC, ∠OAE=∠OCF, ì î í ïï ï ∴ △AOE≌ △COF (ASA)。 ∴ OE = OF = 5,AE = CF。 ∴ EF= OE + OF = 5 + 5 = 10, AE + BF = CF + BF = CB。 ∵ ▱ABCD 的周长为 30,∴ 2AB+2CB = 30。 ∴ AB+CB = 15。 ∴ AB +AE +BF +EF = AB +CB +EF = 15 + 10 = 25。 ∴ 四边形 ABFE 的周长为 25。 故选 B。 3. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB =CD, AB∥CD。 ∴ ∠ABE = ∠CDF。 A. ∵ AB = CD,∠ABE = ∠CDF,BE=DF,∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 ∴ AE =CF, ∠AEB= ∠CFD。 ∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ AE∥CF。 ∴ 四 边形 AECF 是平行四边形。 故 A 选项不符合题意;B. ∵ AE ∥CF,∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ ∠AEB = ∠CFD。 ∵ ∠ABE = ∠CDF,AB = CD,∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE = CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故 B 选项不符合 题意;C. 由 AE=CF,AB =CD,∠ABE = ∠CDF,不能判定 △ABE≌△CDF,∴ 不能判定∠AEB = ∠CFD。 ∴ 不能 判定∠AEF = ∠CFE。 ∴ 不能判定 AE∥CF。 ∴ 不一定 能得到四边形 AECF 是平行四边形。 故 C 选项符合题 意;D. ∵ ∠ABE = ∠CDF, ∠AEB = ∠CFD, AB = CD, ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE =CF,∠AEB = ∠CFD。 ∴ ∠AEF= ∠CFE。 ∴ AE∥CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行 四边形。 故 D 选项不符合题意。 故选 C。 4. (-2,-1) 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且 点 A(-1,2),D(3,2),∴ 点 A 是点 D 向左平移 4 个单 位长度所得。 ∵ 点 C(2,-1),∴ 点 B(-2,-1)。 5.证明:(1)∵ O 是对角线 BD 的中点, ∴ OD=OB。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ DF∥EB。 ∴ ∠DFE= ∠BEF。 在△DOF 和△BOE 中, ∠DFO= ∠BEO, ∠DOF= ∠BOE, DO=BO, ì î í ïï ï ∴ △DOF≌△BOE(AAS)。 (2)∵ △DOF≌△BOE,∴ DF=BE。 ∵ DF∥EB,∴ 四边形 DFBE 是平行四边形。 ∴ DE=BF。 6. (1)证明:∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD= ∠CBD。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠CBD。 ∴ ∠ABD= ∠ADB。 ∴ AB=AD。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠ABC+∠BAD= 180°。 ∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠BAC= ∠DAC. ∴ ∠ABO+∠BAO= 1 2 (∠ABC+∠BAD)= 1 2 ×180° = 90°。 ∴ AC⊥BD。 ∵ DE⊥BD, ∴ AC∥DE。 又∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形。 (2)解:由(1),得四边形 ACED 是平行四边形,AB=AD, AC⊥BD。 ∴ AD=CE,OB=OD。 又∵ ∠ADB= ∠CBD,∠AOD= ∠COB= 90°, ∴ △AOD≌△COB(ASA)。 ∴ AD=CB。 ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,BC=AD=CE。 ∴ 图中与△CDE 面积相等的三角形有△BCD,△ABD, △ACD,△ABC。 7. C　 【解析】向左扭动矩形框架 ABCD,只改变四边形的 形状,四边形变成平行四边形,A 选项不符合题意;此 时对角线 BD 减小,对角线 AC 增大,B 选项不符合题 意;边 BC 上的高减小,故面积变小,C 选项符合题意; 四边形的四条边不变,故周长不变,D 选项不符合题 意。 故选 C。 8. 120°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA =OB =OD =OC。 ∵ AB = OB,∴ △AOB 是等边三角形。 ∴ ∠AOB = 60°。 ∴ ∠AOD= 180°-∠AOB= 120°。 9. ①③④　 【解析】当四边形 ABCD 具备 ①③④这三个条件时,能得到四边形 ABCD 是 矩 形。 理 由: 如 图, ∵ AB∥ CD,∴ ∠BAC = ∠DCA。 ∵ ∠ABC = ∠ADC, AC = CA, ∴ △ABC≌△CDA(AAS)。 ∴ ∠ACB = ∠CAD。 ∴ AD∥ BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AC = BD,∴ 四 边形 ABCD 是矩形。 10.证明:∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD。 ∴ ∠ADC= 90°。 ∵ AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线, ∴ ∠MAN= ∠CAN。 ∴ ∠DAE= ∠CAD+∠CAN = 1 2 (∠BAC+∠CAM) = 1 2 × 180° = 90°。 ∵ CE⊥AN, ∴ ∠AEC= 90°。 ∴ 四边形 ADCE 为矩形。 11. (1)证明:∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 ODEC 是平行四边形。 ∵ AB=BC,AD=CD, ∴ BD 垂直平分 AC。 ∴ ∠COD= 90°。 ∴ 平行四边形 ODEC 是矩形。 (2)解:∵ AB=BC,AD=CD, ∴ BD 垂直平分 AC。 ∴ AO=CO,∠DOA= ∠BOC。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAO= ∠BCO。 ∴ △AOD≌△COB(ASA)。 ∴ AD=CB。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 ODEC 是平行四边形。 ∴ DE=CO。 ∴ DE=AO。 ∴ 四边形 AOED 是平行四边形。 ∴ AD=OE,AD∥OE。 ∴ BC=OE,BC∥OE。 ∴ 四边形 OECB 是平行四边形。 综上所述, 四边形 ABCD, 四边形 ODEC, 四边形 AOED,四边形 OECB 都是平行四边形。 12. B 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC = 70°, ∴ ∠ABO= 1 2 ∠ABC = 35°,AC⊥BD。 ∴ ∠BAC = 90° - ∠ABO = 55°。 ∵ ∠BEC = ∠BAC + ∠ABE, ∴ 55° ≤ ∠BEC≤90°。 故选 B。 13. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC, AD = BC, AB = CD, ∠B = ∠D, AB∥CD。 ∴ ∠EAC = ∠FCA。 ∵ EF 垂直平分 AC, ∴ OA = OC, EA = EC。 ∵ ∠AOE= ∠COF,∴ △AOE≌△COF(ASA)。 ∴ OE = OF。 ∴ 四边形 AFCE 为平行四边形。 ∵ EF 垂直平分 AC,∴ 平行四边形 AFCE 是菱形。 ①正确;∴ AE =CF。 ∴ BF=DE。 ∴ △ABF≌△CDE(SAS)。 ②正确;∵ 四 边形 AFCE 是菱形,∴ AF=CF。 ∴ ∠FAC=∠FCA。 ∵ F 为 BC 的中点,∴ BF = CF。 ∴ AF = BF。 ∴ ∠FBA = ∠FAB。 ∵ ∠FBA + ∠FAB + ∠FAC + ∠FCA = 180°, ∴ ∠FAB+∠FAC = 90°,即∠BAC = 90°。 ∵ AB∥CD, ∴ ∠ACD= ∠BAC = 90°。 ③正确。 综上所述,正确的 结论为①②③,共有 3 个。 故选 D。 14. 30　 【解析】菱形的面积等于两对角线的积的一半,则 菱形 ABCD 的面积是 6×10× 1 2 = 30(cm2)。 15. (1)证明:∵ DE∥BC,DF∥AB, ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 ∵ DE∥BC, ∴ ∠EDB= ∠DBF。 ∵ BD 是△ABC 的角平分线, ∴ ∠ABD= ∠DBF= 1 2 ∠ABC。 ∴ ∠ABD= ∠EDB。 ∴ BE=DE。 ∴ 四边形 BEDF 是菱形。 (2)解:∵ ∠A= 80°,∠C= 30°, ∴ ∠ABC= 180°-80°-30° = 70°。 ∵ 四边形 BEDF 是菱形, ∴ ∠EDF= ∠ABC= 70°。 ∴ ∠BDE= ∠BDF= 1 2 ∠EDF= 35°。 16. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD= DA,∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°。 ∵ △BEC 是等边三角形, ∴ BE = BC = EC, ∠EBC = ∠BEC = ∠ECB= 60°。 ∴ BA = BE,即 △BAE 是等腰三角形。 ∴ ∠ABE= ∠ABC-∠EBC = 90° - 60° = 30°。 ∴ ∠BAE = ∠BEA = 1 2 ×(180° -30°)= 75°。 ∴ ∠EAD = ∠BAD- ∠BAE = 90° - 75° = 15°。 同 理 可 得 ∠EDA = 15°。 ∴ ∠DEA = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 15° - 15° = 150°。 故选 D。 17. A　 【解析】如图,四边形 ABCD 为矩 形。 A. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,AB = AD,∴ 四边形 ABCD 是正方形。 故该 选项符合题意。 B. ∵ 矩形的一条边小于它的一条对角 线,且 AB,AC 是矩形 ABCD 的一条边和一条对角线, ∴ AB=AC 不成立。 ∴ AB=AC 不能成为判定矩形 ABCD 为正方形的条件。 故该选项不符合题意。 C. ∵ AB 和 CD 是矩形 ABCD 的一组对边,∴ AB =CD 不能成为判 定矩形 ABCD 为正方形的条件。 故该选项不符合题 意。 D. ∵ AC=BD 是矩形的两条对角线相等,∴ AC = BD 不能成为判定矩形 ABCD 为正方形的条件。 故该 选项不符合题意。 故选 A。 18. B　 【解析】如图 1,依次取 AB,BC,CD,DA 的中点 E, F,G,H,连接 OE,OF,OG,OH。 根据题意,得点 P 运动 的路程为 t,点 Q 运动的路程为 2t。 分析题意可知,当 点 P 与点 Q 到各自所在边的中点的距离相等时,OP = OQ。 当 0<t≤1 时,显然 OP≠OQ。 当 1<t≤2 时,如图 2,点 P 在 AE 上,点 Q 在 HD 上,PE = 2-t,QH = 2t-2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由 2-t= 2t-2,得 t= 4 3 ;当 2<t≤4 时,如图 3,点 P 在 EB 上,点 Q 在 DC 上,PE = t - 2,QC = 2t-6 ,由 t - 2 = 2t-6 ,得 t= 4 或 8 3 ;当 4<t≤6 时,如图 4,点 P 在 BF 上,点 Q 在 BC 上,PF= 2-( t-4)= 6-t,QF = | 2t-8-2 | = 2t-10 ,由 6- t = 2t-10 ,得 t = 4(舍去)或16 3 ;当 6<t≤8 时,如图 5,点 P 在 FC 上,点 Q 在 AB 上,PF = t-6,QE= 2t-14 ,由 t-6 = 2t-14 ,得 t = 8 或20 3 。 当 t≥8 时,点 Q 停在点 A 处,因此当 8<t<16 时,OQ =OA =OD,只有 t = 12 时满足 OP =OQ。 综上所述,满足条 件的点 P 的位置有 7 个。 故选 B。 图 1 　 图 2 　 图 3 图 4 　 图 5 19.证明:(1)如图,连接 GE。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AB∥CD, ∴ ∠AEG= ∠CGE。 ∵ 四边形 EFGH 为菱形, ∴ HE∥GF。 ∴ ∠HEG= ∠FGE。 ∴ ∠AEG-∠HEG= ∠CGE-∠FGE。 ∴ ∠HEA= ∠CGF。 (2)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠D= ∠A= 90°。 ∵ 四边形 EFGH 是菱形, ∴ GH=HE。 在 Rt△HAE 和 Rt△GDH 中, AH=DG, HE=GH,{ ∴ Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)。 ∴ ∠AHE= ∠DGH。 又∵ ∠DHG+∠DGH= 90°, ∴ ∠DHG+∠AHE= 90°。 ∴ ∠GHE= 90°。 ∴ 菱形 EFGH 为正方形。 20. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA =OC = 4,OB =OD,AC⊥BD。 ∴ AC = 8。 ∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD = 90°。 ∴ OH= 1 2 BD。 ∵ S菱形ABCD = 1 2 ·AC·BD= 1 2 ×8× BD= 36,∴ BD= 9。 ∴ OH= 1 2 BD= 4. 5。 故选 B。 21. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB = 90°,D 是 AB 的 中点, ∴ CD = 1 2 AB = AD。 ∴ ∠DCA = ∠A = 28°。 ∴ ∠BDC= ∠A+∠DCA= 56°。 故选 C。 22. B　 【解析】∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∴ DE 是 △ABC 的中位线。 ∴ DE= 1 2 BC。 ∵ ∠AFB = 90°,AB = 8,∴ DF= 1 2 AB= 4。 ∴ DE=DF+EF = 4+1 = 5。 ∴ BC = 2DE= 10。 故选 B。 23. D　 【解析】如图,连接 AC,取 AC 的 中点 H,连接 MH,NH。 ∵ M,H 分别 是 AD,AC 的中点,∴ MH= 1 2 CD=2。 同理 可 得, NH = 1 2 AB = 1 2 。 在 △MHN 中,MH-NH<MN<MH+NH,即 3 2 <MN< 5 2 ,当点 H 在 MN 上时,MN =MH+NH= 5 2 ,∴ 3 2 <MN≤ 5 2 。 故 选 D。 24. (1)证明:∵ E,F 分别是 AC,BC 的中点, ∴ EF 是△ABC 的中位线。 ∴ EF∥AB。 ∴ ∠EGA= ∠BAD。 ∵ AE=EG,∴ ∠CAD= ∠EGA。 ∴ ∠CAD= ∠BAD。 (2)解:∵ EF∥AB,∠B= 32°,∴ ∠DFG= ∠B= 32°。 ∵ DG=DF, ∴ ∠DGF=∠DFG=32°,∠GDF=180°-32°-32°=116°。 ∴ ∠EGA= ∠DGF= 32°。 ∵ AE=EG,∴ ∠EAG= ∠EGA= 32°。 ∴ ∠C= ∠GDF-∠EAG= 116°-32° = 84°。 25.证明:如图,连接 EH,GH,GF。 ∵ E,F,G,H 分别是 BD,BC, AC,AD 的中点, ∴ AB∥EH∥GF,GH∥BC。 ∴ 四边形 EHGF 为平行四边形。 ∵ EG,HF 分别为其对角线, ∴ EG,HF 互相平分。 第 6 章学业水平测试 1. D 2. C　 【解析】 ∵ ▱ABCD 的周长是 36 cm,∴ AB +BC = 18 cm。 ∵ △ABC 的周长是 28 cm,∴ AB + BC + AC = 28 cm。 ∴ AC = (AB +BC +AC) - ( AB +BC) = 28 - 18 = 10(cm)。 故选 C。 3. B　 【解析】∵ M,N 分别是 AC 和 BC 的中点,∴ AB = 2MN= 6 米。 故选 B。 4. C　 【解析】∵ 正方形的边长为 3,∴ CD = BC = 3,CD 与 BC 分别垂直于 y 轴和 x 轴。 ∵ 点 C 在第一象限,∴ 点 C 的坐标为(3,3)。 故选 C。 5. C　 【解析】A. ∵ AB∥CD,AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形。 由 AB=CD 不能判定四边形 ABCD 为矩形, 故该选项不符合题意;B. ∵ AD =BC,AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 由 AB =CD 不能判定四边形 ABCD 为矩形,故该选项不符合题意;C. ∵ AD∥BC,∴ ∠A+ ∠B= 180°。 ∵ ∠A= ∠B,∴ ∠A= ∠B= 90°。 ∴ AB⊥AD, AB⊥BC。 ∴ AB 的长为 AD 与 BC 间的距离。 ∵ AB = CD,∴ CD⊥AD,CD⊥BC。 ∴ ∠C = ∠D = 90°。 ∴ 四边 形 ABCD 是矩形。 故该选项符合题意;D. ∵ AD∥BC, ∴ ∠A + ∠B = 180°, ∠D + ∠C = 180°。 ∵ ∠A = ∠D, ∴ ∠B= ∠C。 ∵ AB=CD,∴ 四边形 ABCD 可能是矩形, 也可能是等腰梯形。 故该选项不符合题意。 故选 C。 6. A　 【解析】∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ S▱ABCD =BC·AE=CD· AF。 ∵ AE = 4, AF = 6, ∴ 4BC = 6CD,即 CD = 2 3 BC。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD,AD = BC。 ∵ ▱ABCD 的周长为 40,∴ BC+CD= 1 2 ×40= 20。 ∴ 5 3 BC = 20. ∴ BC = 12。 ∴ S▱ABCD = BC·AE = 12 × 4 = 48。 故 选 A。 7. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC = AD, ∠B= ∠ADC = 60°,AD∥BC。 ∴ ∠BAD = 180° - ∠B = 180°-60° = 120°。 ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠BAE = ∠DAE = 1 2 ∠BAD= 60°。 ∴ ∠B = ∠BAE = ∠DAE = 60°,△ABE 是等边三角形。 ∴ AB =EA。 ∴ △BAC≌△AED(SAS)。 ∴ ∠BAC = ∠AED = 80°。 ∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 80°-60° = 20°。 故选 C。 8. D　 【解析】∵ BD = AB,AB = 6,BM⊥AD,∴ BD = 6,AM = DM。 ∵ BC = 10,∴ CD = BC-BD = 10 - 6 = 4。 ∵ AM = DM,N 是 AC 的中点,∴ MN 是△ADC 的中位线。 ∴ MN = 1 2 CD= 2。 故选 D。 9. D　 【解析】∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 CODE 是平行 四边形。 ∵ 矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, AC= 6 cm,∴ OC=OD= 3 cm。 ∴ 四边形 CODE 是菱形。 ∴ 四边形 CODE 的周长是 3×4 = 12(cm)。 故选 D。 10. D　 【解析】如图,过点 E 作 EP⊥HA 的延长线于点 P, 过点 G 作 GQ⊥AM 于点 Q。 在正方形 ABDE 和正方形 ACFG 中, AB = AE, AG = AC, ∠CAG = ∠BAE = 90°, ∴ ∠CAG+ ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC,即∠GAB = ∠CAE。 ∴ △ABG≌△AEC( SAS)。 ∴ BG = EC。 故①正确;设 BG,CE 相交于点 N。 ∵ △ABG≌ △AEC,∴ ∠AGB = ∠ACE。 ∵ 四边形 ACFG 为正方形,∴ ∠ACF = ∠AGF = 90°。 ∴ ∠ACF + ∠AGF = 180°,即 ∠ACF + ∠AGB + ∠BGF = 180°。 ∴ ∠ACF + ∠ACE + ∠BGF = ∠NCF + ∠NGF = 180°。 ∴ ∠CNG = 360° - ( ∠NCF + ∠NGF + ∠F)= 360°-(180°+90°)= 90°。 ∴ BG⊥CE。 故②正 确;∵ AH⊥BC,∴ ∠ABH + ∠BAH = 90°。 ∵ ∠BAE = 90°,∴ ∠EAP+∠BAH = 180° - 90° = 90°。 ∴ ∠EAM = ∠ABC。 故③正确;∵ AB = EA,∠AHB = ∠EPA = 90°, ∴ △ABH≌△EAP(AAS)。 ∴ EP = AH。 同理可得 GQ =AH。 ∴ EP=GQ。 ∵ ∠EPM = ∠GQM = 90°,∠EMP = ∠GMQ, ∴ △EPM ≌ △GQM ( AAS )。 ∴ EM = GM。 ∴ AM 是△AEG 的中线。 故④正确。 综上所述,①② ③④结论都正确。 故选 D。 11. AB∥CD(答案不唯一) 12. 180°　 【解析】如图,连接 AC。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD, ∠D = ∠B = 60°。 ∴ △ABC,△ACD 是等边 三角形。 ∴ AC=BC=CD,∠BAC=60° = ∠D。 ∵ BE = AF, ∴ AB -BE = AD-AF,即 AE = DF。 ∴ △ACE≌ △DCF (SAS)。 ∴ ∠AEC= ∠DFC。 ∵ ∠DFC+∠AFC = 180°, ∴ ∠AEC+∠AFC= 180°。 13. ②③　 【解析】一条对角线平分一组 对角的四边形不一定是菱形,如筝 形,故 ① 不正确;如图,∵ AC 平分 ∠BAD 和∠BCD,∴ ∠BAC = ∠DAC,∠BCA = ∠DCA。 ∵ ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°, ∠DAC + ∠DCA + ∠ADC= 180°,∴ ∠ABC = ∠ADC。 同理可得∠BAD = ∠BCD。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ AD∥BC。 ∴ ∠DAC = ∠BCA。 ∴ ∠BAC = ∠BCA。 ∴ AB = BC。 ∴ ▱ABCD 是菱形。 故②正确;一条对角线平分一组 对角的平行四边形是菱形。 故③正确。 14. OM = 1 2 AC(答案不唯一) 　 【解析】添加 OM = 1 2 AC。 理由如下:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA = OC = 1 2 AC,OB=OD。 ∵ BM=DN,∴ OB-BM =OD-DN,即 OM=ON。 ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形。 ∵ OM = 1 2 AC,∴ MN=AC。 ∴ ▱AMCN 是矩形。 15. 22 或 20 　 【解析】 如 图,在 ▱ABCD 中,AD∥BC,则∠DAE = ∠AEB。 ∵ AE 平分 ∠BAD, ∴ ∠BAE= ∠DAE。 ∴ ∠BAE = ∠BEA。 ∴ AB=BE,BC=BE+EC。 ①当 BE = 3,EC = 4 时,AB= 3,BC= 3+4 = 7,▱ABCD 的周长为 2(AB+BC) = 2×(3+7)= 20;②当 BE= 4,EC= 3 时,AB= 4,BC= 4+3 =7. ∴ ▱ABCD 的周长为 2(AB+AD)= 2×(4+7)= 22。 16. ①②④　 【解析】如图,作线段 MN 的垂直平分线交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 54·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册