专题06 离散型随机变量与正态分布（四大常规题型，36道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题06 离散型随机变量与正态分布 题型01 二项分布 题型02 超几何分布 题型03 正态分布及应用 题型04 离散型随机变量及应用 题型01 二项分布 1、 单选题 1．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 2．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（22-23高二下·河南洛阳·期中）已知随机变量服从二项分布，即等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 5．（23-24高二下·福建·期中）如图，在小地图中，一机器人从点出发，每秒向上或向右移动格到达相应点，已知每次向上移动格的概率是，向右移动格的概率是，则该机器人秒后到达点的概率为 . 三、解答题 6．（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 (2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； (3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 8．（23-24高二下·北京·期中）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲同学 9天 6天 12天 3天 乙同学 6天 6天 6天 12天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率； (2)记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望. 9．（23-24高二下·上海·期中）由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图. (1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人， ①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在（单位：h）的概率；（结果用数值表示） ②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为X，求X的分布和期望与方差； (2)当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值. 题型02 超几何分布 二、多选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知某地区十二月份的昼夜温差，，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数的期望为 三、解答题 3．（23-24高二下·吉林·期中）不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球． (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 6．（2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 题型03 正态分布及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为4 D．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，相等 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 3．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 5．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．数据的中位数是5 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，则 二、多选题 6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）随机变量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C． D． 7．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 8．（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 三、解答题 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 10．（2024·四川·模拟预测）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 11．（2024高二下·江苏·专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布． (1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题． ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 12．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 题型04 离散型随机变量及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知随机变量X的分布列如下： 0 1 2 则随机变量X的期望（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二下·浙江湖州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 3．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·江西·开学考试）甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，则的分布列中最大的只有 三、解答题 6．（2024·山西·模拟预测）正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，一只蚂蚁从点出发，每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点，若它选择三个方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互独立. (1)记这只蚂蚁经过4次爬行后，其爬行的总路程为，求的分布列和数学期望； (2)求这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 7．（23-24高二下·浙江·期中）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先贏2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即为未患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 若随机变量，分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数． (1)求，能取到的最大值和其对应的概率； (2)为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由． 9．（23-24高二下·山西阳泉·期中）为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. (1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 离散型随机变量与正态分布 题型01 二项分布 题型02 超几何分布 题型03 正态分布及应用 题型04 离散型随机变量及应用 题型01 二项分布 1、 单选题 1．（23-24高二下·安徽安庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 【答案】D 【分析】结合概率基本性质可判断A项，由二项分布概率通项公式可求得、即可判断B项，结合二项式定理展开式可得，分别研究与时的单调性可判断C项、D项. 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A项正确； 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以，， 所以，故B项正确； 对于C选项、D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大，故C项正确， 当时，为正负交替的摆动数列，故D项不正确. 故选：D. 2．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的． 【详解】依题意， 由， 即，解得或. 故选：C. 3．（22-23高二下·河南洛阳·期中）已知随机变量服从二项分布，即等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的公式计算即可得答案. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：D 二、填空题 4．（23-24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 【答案】2025 【分析】由二项分布的概率公式和组合数的性质计算可得. 【详解】由题意可得， ， 因为， 所以， 所以使成立的的分别为，共2025个， 故答案为：2025. 5．（23-24高二下·福建·期中）如图，在小地图中，一机器人从点出发，每秒向上或向右移动格到达相应点，已知每次向上移动格的概率是，向右移动格的概率是，则该机器人秒后到达点的概率为 . 【答案】 【分析】首先确定秒内向右移动次，向上移动次；从而可根据二项分布概率公式求得结果. 【详解】由题意，可得秒内向右移动次，向上移动次 则所求概率为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项分布概率公式的应用，属于基础题. 三、解答题 6．（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 (2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； (3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【答案】(1)分布列见解析，(2)(3) 【详解】（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为， 则，的可能取值为，，，， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以（或）； （2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为， 因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛， 则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜， 所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛， 应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢， 又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为， 故所求概率为． 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)(2)分布列见解析，2 【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为； （2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中， 成绩在内的人数为，成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率， 由题意可知，则的可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 8．（23-24高二下·北京·期中）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲同学 9天 6天 12天 3天 乙同学 6天 6天 6天 12天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率； (2)记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析； 【详解】（1）设事件表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”， 因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐有天， 用频率估计概率， 所以，； （2）由题意可知，， 的可能取值为， 则；； ；； ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 9．（23-24高二下·上海·期中）由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图. (1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人， ①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在（单位：h）的概率；（结果用数值表示） ②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为X，求X的分布和期望与方差； (2)当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值. 【答案】(1)①；②分布列答案见解析，数学期望为，方差为.(2)2. 【详解】（1）由直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人， 每周活动时间在内”概率为， 记“至少有4人每周活动时间在(单位：h)”为事件A， 则； 随机变量ξ所以可能的取值为0，1，2， 则， 故的分布列如下： 0 1 2 P 故， . （2）老人每周活动时间不少9小时，则老人中“活动爱好者”的活动时间为， 由直方图可得，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为， 若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到X人为“活动爱好者”， 则， 若人的可能性最大，则， 由， 即 且， 解得，，由于，故. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键时求k的值，先根据题意得出，利用单调性列出不等式求解即可. 题型02 超几何分布 二、多选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【答案】ACD 【分析】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确； ，，， ，，A正确； ，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知某地区十二月份的昼夜温差，，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数的期望为 【答案】ABD 【分析】 利用正态分布的对称性判断AB；利用超几何分布的概率公式与期望判断CD. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，服从超几何分布，其中，，， 所以，故D正确. 故选ABD. 三、解答题 3．（23-24高二下·吉林·期中）不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球． (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数， 其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数， 红球个数大于黄球个数的概率是； （2）若变量为取出的四个小球中红球的个数，则的可能取值为1，2，3，4， ，，， 1 2 3 5 数学期望． 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，；(2)或16 【详解】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布， 因此， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为. （2）据题意可知， 那么 有， 要使取最大值，只需， 得：且， 故：当或16时，取得最大值. 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为(3)0.35 【详解】（1）因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布， 所以， 因为， 所以这个社区中“超标”社区的个数为. （2）由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以，的分布列为： 则. （3）由（1）可知随机变量 所以， 所以的值约为0.35． 6．（2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 （3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 题型03 正态分布及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为4 D．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，相等 【答案】D 【分析】根据二项分布的方差公式，判断A；根据正态分布的对称性可判断B；利用基本不等式判断C；利用二项分布的方差及超几何分布的期望和方差计算，判断D. 【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确； 对于B，若随机变量，且， 则，故B正确； 对于C，由，，可得， 当且仅当，即或时，等号成立，故C正确； 对于D，若是有放回的抽取，则， 则，； 若是无放回的抽取，则可能取，，，， 其对应的概率为，， ，， ， ，由此可知D错误； 故选：D. 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【答案】D 【分析】根据正态分布特点求解即可. 【详解】因为服从正态分布， 所以， 所以. 故选：． 3．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 4．（23-24高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【答案】D 【分析】根据总体方差公式，即可判断A，根据百分位数公式，即可判断B，根据二项分布的期望公式，即可判断C，根据正态分布的对称性，即可判断D. 【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一样，总体方差才是，否则不正确，故A错误； B.将数据按照由小到大的顺序排列，，则，则第80百分位数位，故B错误； C. 若随机变量，则,则，故C错误； D. 若随机变量，，利用对称性，，故D正确. 故选：D 5．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．数据的中位数是5 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，则 【答案】D 【分析】对于A，根据中位数分析运算；对于B，根据随机变量方差的性质求解判断；对于C，根据二项分布的期望以及期望的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断． 【详解】对于选项A，个数据从小到大排列，所以中位数应该是第四个与第五个的平均数，故A不正确； 对于选项B，随机变量满足，则，故B不正确； 对于选项C，因为，则，则，故C不正确； 对于选项D，因为随机变量， 由正态曲线的对称性可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D． 二、多选题 6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）随机变量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．随机变量X的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答. 【详解】随机变量， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，由于，则随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖”，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 而，因此，故D错误． 故选：ABC. 7．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】ABCD 【分析】根据正态分布曲线的性质和图形，依次判断选项即可. 【详解】对于A：∵由图可知，，， ∴，故A错误； 对于B：由图可得，，故B错误； 对于C：由图可得，对任意正数，， 而，， 故，故C、D错误． 故选：ABCD． 8．（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【详解】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 三、解答题 9．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店． (1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）； (2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．） (3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望． 【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元(2)14(3)分布列见解析，1 【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，， 的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06， ∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为： （百元）． ∵，， ∴中位数在内，设中位数为x百元， 则，解得． ∴估计中位数为13百元． （2）由（1）知， ∵，， ∴， ∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为． （3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个）， ∴Y的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，． ∴Y的概率分布列为 Y 0 1 2 3 P ∴． 10．（2024·四川·模拟预测）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】(1)；(2)①3274人；②不可信. 【详解】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． （2）①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 11．（2024高二下·江苏·专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布． (1)已知如下结论：若X～N（μ，σ2），从X的取值中随机抽取k（k∈N*，k≥2）个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.利用该结论解决下面问题． ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P（Y≤980）； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间（950，1 050）内，并得出计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包3个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【答案】(1)①；②答案见解析(2)分布列见解析， 【详解】（1）解：①因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以. ②由①知， 又由这25个面包的平均质量为， 因为，而为小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包的理由. （2）解：设取出黑色面包的个数为，则的所有可能取值为， 可得，， ， 所以分布列为 0 1 2 所以期望为. 12．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】(1)0.09；(2). 【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． （2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 题型04 离散型随机变量及应用 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知随机变量X的分布列如下： 0 1 2 则随机变量X的期望（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由分布列中概率的性质求出，再根据离散型随机变量的数学期望公式计算即可． 【详解】由得， ， 故选：B． 2．（23-24高二下·浙江湖州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 【答案】D 【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断AB，由互斥事件对立事件的定义即可判断C，由超几何分布的定义即可判断D 【详解】由二项分布的概率公式可得，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为且， 当时，对应的概率为， 当时，，由可得， 即当时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为，则， 故满足超几何分布，故D正确； 故选：D 3．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以解得，， 所以，， 故选：A 二、多选题 4．（23-24高二下·江西·开学考试）甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】按分别求出的分布列及期望，即可逐项判断得解. 【详解】X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数， 当时，，，， 则，，AB正确； 当时，，， ，，， 因此，，C正确，D错误． 故选：ABC 5．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，则的分布列中最大的只有 【答案】ABC【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，若随机变量服从两点分布，且， 即分布列为： 0 1 所以 0 2 故，则，B正确； C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确； D选项，随机变量，令， 即，解得， 因为，所以或3， 则的分布列中最大的有或，D错误. 故选：ABC 三、解答题 6．（2024·山西·模拟预测）正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，一只蚂蚁从点出发，每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点，若它选择三个方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互独立. (1)记这只蚂蚁经过4次爬行后，其爬行的总路程为，求的分布列和数学期望； (2)求这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 【答案】(1)分布列见解析，(2) 【详解】（1）解：这只蚂蚁每次爬行距离为1的概率是，每次爬行距离为2的概率是， 则随机变量的所有可能取值有4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 所以期望为. （2）解：将这只蚂蚁爬行了次后停留在平面内的概率记为，则， 其爬行了次后停留在平面内的概率， 所以， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 7．（23-24高二下·浙江·期中）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先贏2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 【答案】(1)(2)(3)局 【详解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有：{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}， 设“甲在第i轮获胜”，则； （2）设事件“第轮甲轮空”，则， ， ， ； （3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则， ， ， ， ， 前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则 ， ， ， 局胜的局数为:（局）. 8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即为未患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 若随机变量，分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数． (1)求，能取到的最大值和其对应的概率； (2)为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由． 【答案】(1)的最大值为4，的最大值为3，， (2)选择乙方案，理由见解析 【详解】（1）用方案甲，最多检测4次，即前3次检测均未检测出患病，则第四次检测出患病或第四次没检测出患病都将知道哪一只是患病的，所以的最大值为4，即． 用方案乙，最多检测3次，即混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测时，第一次未验中，无论第二次是否验中，均可得出结果，若混检时，没检测出阳性，则剩下两只只需要检测一次就知道结果，所以的最大值为3，即． （2）方案甲：检测所需要的次数的可能取值是1，2，3，4， ，，，， ∴， 方案乙：检测所需要的次数的可能取值是2，3， 若乙验两次时，有两种可能： ①三只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：， ②三只小白鼠混检时结果为阴性，再从其他两只小白鼠中验阳性的概率为：，（无论第二次是否验中，均可以在第二次结束） ∴， ， ∴， 由上可得， 因此，同学们应该选择乙方案． 9．（23-24高二下·山西阳泉·期中）为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. (1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【详解】（1）记小胡赢得全部奖金为事件，则； （2）若场比赛结束，比赛自然终止， ①小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ②小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡无奖金； 若场比赛结束，比赛意外终止，即有一人赢了场，有一人赢了场， 则赢了场的人，按照比赛继续进行赢得全部奖金的概率为， 所以此人得到的奖金为元，则赢了场的人，得到的奖金为元； ③小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ④小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； 所以随机变量的可能取值为，，，； 比赛结果共有， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 250 750 1000 数学期望为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$