第18讲 用二分法求方程的近似解-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第18讲 用二分法求方程的近似解 1. 了解二分法的原理及其适用条件； 2. 掌握二分法的实施步骤； 3. 体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想. 1二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 解释 求，的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数或的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础. 2用二分法求方程近似解的步骤 确定区间，验证，给定精确度； 求区间的中点 计算， 若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点 若，则令(此时零点) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复 Eg：求的零点近似值(精确到). 解析 易得在上递增，则它至多只有一个零点， 而，，即在存在唯一的零点； 取区间的中点，而，故零点在区间上； 取区间的中点，而，故零点在区间上. 而已经达到了精确度，故. 若精确度要求是，则继续取区间的中点往下计算. 解释 (1)使用二分法的前提是函数在所选定的区间上的图象是连续不断的，且； (2)所选的区间的范围尽量小，且,比较容易求; (3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算. 【题型一】 判断二分法的适用条件 【典题1】 下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是(    ) A． B． C． D． 2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 二分法的求解步骤 【典题1】 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是( ) A． B． C． D． 变式练习 1. (2023·广东梅州·二模)用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是(    ) A． B． C． D． 2.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(   ) A．或都可以 B． C． D．不能确定 3.若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根(精确度0.1)为(   ) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 4.已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(    ) A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 5. (多选)某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值(精确度0.1)可取为(    ) A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 6.(多选)教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：(    ) A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【题型三】 用二分法求函数零点近似值 【典题1】 用二分法求方程在区间上的根的近似值(误差不超过0.01)． 变式练习 1.设函数．则在区间内零点的近似解为 ．(精确到0.1) 2.判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．(精确度为0.1) 3.求曲线和直线的交点的横坐标(误差不超过0.01)． 【题型四】 二分法的思想应用 【典题1】 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？ 变式练习 1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，长，大约有多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 2.如图，有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确到0.1cm)？请利用二分法思想，设计解决该问题的思路和过程. 【A组---基础题】 1.下列方程中不能用二分法求近似解的为(    ) A． B． C． D． 2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是( ) A． B． C． D． 3.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 那么方程0的一个近似根(精确度)为(　　) 4.(多选)在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是(    ) A． B． C． D． 5.已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 6.在用二分法求方程的正实数跟的近似解(精确度)时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 7.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.05) 8.某企业现有资产亿，计划平均每年增长，问要使资产达到亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数，可使用计算机) 9.已知函数 (1)证明方程在区间内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程，的实数解在哪个较小的区间内． 【B组---提高题】 1.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是(    ) A． B． C． D． 2.求的近似值(精确度为0.1，参考数据：，)． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 用二分法求方程的近似解 1. 了解二分法的原理及其适用条件； 2. 掌握二分法的实施步骤； 3. 体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想. 1二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 解释 求，的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数或的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础. 2用二分法求方程近似解的步骤 确定区间，验证，给定精确度； 求区间的中点 计算， 若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点 若，则令(此时零点) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复 Eg：求的零点近似值(精确到). 解析 易得在上递增，则它至多只有一个零点， 而，，即在存在唯一的零点； 取区间的中点，而，故零点在区间上； 取区间的中点，而，故零点在区间上. 而已经达到了精确度，故. 若精确度要求是，则继续取区间的中点往下计算. 解释 (1)使用二分法的前提是函数在所选定的区间上的图象是连续不断的，且； (2)所选的区间的范围尽量小，且,比较容易求; (3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算. 【题型一】 判断二分法的适用条件 【典题1】 下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 变式练习 1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求函数零点所满足的条件可得出合适的选项. 【详解】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点． 故选：B. 2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 【题型二】 二分法的求解步骤 【典题1】 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可. 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 变式练习 1. (2023·广东梅州·二模)用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 2.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(   ) A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】借助二分法定义计算即可得. 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 3.若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根(精确度)为(   ) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根(精确度0.1)是区间内的任意一个值(包括端点值)， 根据四个选项可知：. 故选：C. 4.已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(    ) A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【答案】D 【分析】设对区间至少二等分n次，解不等式即得解. 【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2， 则第n次二等分后区间长为， 依题意得，所以 ， ， 所以. 故选：D 5. (多选)某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值(精确度0.1)可取为(    ) A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案. 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的近似解在，，，内，又精确度0.1， 所以方程的近似解(精确度0.1)可取为2.52，2.55. 故选：BC 6.(多选)教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：(    ) A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确； ，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 【题型三】 用二分法求函数零点近似值 【典题1】 用二分法求方程在区间上的根的近似值(误差不超过0.01)． 【答案】. 【分析】构造函数并判断其单调性，再利用二分法求出符合要求的根的近似值即可. 【详解】令函数，则方程在上的根即为函数在上的零点， 函数在上单调递减， ，则函数零点在上； ，零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，； ， 零点在上，， 所以方程在区间上的根的近似值为. 变式练习 1.设函数．则在区间内零点的近似解为 ．(精确到0.1) 【答案】(不唯一) 【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案. 【详解】由，而，则， ，则， ，则， ，则， 由，所以区间内零点的近似解为. 故答案为： 2.判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．(精确度为0.1) 【答案】1.3 【分析】求函数在区间内的一个零点，利用二分法可得答案. 【详解】设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 3.求曲线和直线的交点的横坐标(误差不超过0.01)． 【答案】1.555． 【分析】将问题转化为交点的横坐标是函数的零点，然后利用二分法求解即可 【详解】直线方程可改写为函数形式，于是交点的横坐标应满足等式，即，即交点的横坐标是函数的零点，    由和可知在区间内有一个零点；由单调递增可知它只有这一个零点．用二分法计算，列表如下： 次数 ，- ，+ 的近似值 区间长 1 1 2 1.5 1 2 1.5 2 1.75 0.31 0.5 3 1.5 1.75 1.625 0.11 0.25 4 1.5 1.625 1.5625 0.009 0.125 5 1.5 1.5625 1.53125 0.0625 6 1.53125 1.5625 1.546875 0.03125 7 1.546875 1.5625 1.5546875 0.015625 得出零点的近似值为1.555，误差不超过0.008．因此曲线和直线的交点的横坐标约为1.555． 【题型四】 二分法的思想应用 【典题1】 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？ 【答案】答案见解析 【分析】先在天平左右各放球，然后根据出现的情况进行分类讨论，从而确定“坏球”. 【详解】第一次，天平左右各4球．有两种情况： (1)若平，则“坏球”在剩下的4球中，第二次，取此4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放在天平上． ①若仍平，则“坏球”为4球中未取到的那个球．将此球与1个好球放上天平一称，即知“坏球”是轻还是重． ②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．从含坏球的三球中任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”． (2)若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边重． 从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边．看天平，有三种可能． ①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重． ②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻． ③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)． 显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重． 变式练习 1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，长，大约有多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 【详解】先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去． 解：如图，维修工人首先从中点查．用随身带的话机向两端测试时，发现段正常，断定故障在段，再到段中点，这次发现BD段正常，可见故障在段，再到段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到至，即一、两根电线杆附近． 2.如图，有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确到0.1cm)？请利用二分法思想，设计解决该问题的思路和过程. 【答案】1.7cm或9.4cm;解决方法见解析 【分析】结合正方体的体积公式，求得盒子的体积关于自变量的函数解析式为，得到方程，令，利用二分法的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形， 则盒子的底面正方形的边长为， 所以盒子的体积关于自变量的函数解析式为， 要做成一个容积是的无盖盒子，那么有方程， 其定义域为. 令，可得函数分别在区间和内各有一个零点， 即方程分别在区间和内各有一个解， 利用二分法求方程的近似解 取区间的中点，用计算器算得. 因为，所以，同理可得，，，，，. 由于， 此时区间的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7， 所以方程在区间内精确到0.1的近似解为1.7， 同理可得方程在区间内精确到0.1的近似解为9.4， 故如果要做成一个容积是的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7cm或9.4cm. 【A组---基础题】 1.下列方程中不能用二分法求近似解的为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 当连续函数满足时，在区间上有零点， 即方程在区间上有解， 又， 故， 故方程在区间上有解， 故选：． 3.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 那么方程0的一个近似根(精确度)为(　　) 【答案】C 【详解】因为函数在定义域上时连续的， 又根据表格中数据可知，， 则由函数零点判定定理可知方程的一个根在上， 精确后得， 故选：． 4.(多选)在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 5.已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 【答案】 【分析】令，利用零点存在性定理，满足，即可找到零点所在区间. 【详解】令，因为在定义域内单调递增， 且，，， 因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取. 故答案为： 6.在用二分法求方程的正实数跟的近似解(精确度)时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可. 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 7.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.05) 【答案】 【分析】根据二分法求解方程的近似解步骤，重复取中点后缩短区间，直到满足精确度为止即可求得方程的一个近似解. 【详解】令， 经计算，, 所以函数在内存在零点， 即方程在内有解． 取的中点，经计算又， 所以方程在内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： 中点 由于， 所以方程的一个正实数近似解可取为. 8.某企业现有资产亿，计划平均每年增长，问要使资产达到亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数，可使用计算机) 【答案】11 【详解】设需要年，由题意得： 即有 令，借助计算机作出函数的图象如图所示． 若时，取区间的中点，计算， ，． 再取区间的中点，计算，． 再取区间的中点，计算， ． 要求结果取整数．故取． 9.已知函数 (1)证明方程在区间内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程，的实数解在哪个较小的区间内． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)通过计算函数值，得 ，由零点存在性定理可得方程在区间内有实数解； (2)根据零点存在性定理，依次取，，，从而计算出，得区间，即为符合题意的较小区间． 【详解】解：(1)， ， 由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解； (2)取，得 由此可得 ，下一个有解区间为 再取，得 ，下一个有解区间为 再取，得 ，下一个有解区间为， 综上所述，得所求的实数解在区间，． 【B组---提高题】 1.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解 【详解】对A，的零点为； 对B，的零点为； 对C，的零点为； 对D，的零点为； ，，， 故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点， 由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合； 故选：B 2.求的近似值(精确度为0.1，参考数据：，)． 【答案】1.4375 【分析】求的近似值可转化为求函数的零点的近似值，可用二分法求得． 【详解】令，则． 令，则就是函数的零点． 因为，， 所以可取初始区间，用二分法计算． 列表如下： 端点(中点) (端点)中点函数值或近似值 零点所在区间 1，2 ， 由于，所以的近似值可取为1.4375． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$