第16讲 对数函数及其性质 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第16讲 对数函数及其性质 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域； 2.初步掌握对数函数的图象与性质； 3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式； 4.了解反函数的概念及其它们的图像特点. 1 对数函数 (1)对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. (2)图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 3 对数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为对数型函数． 4 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 【题型一】 对数函数的概念 相关知识点讲解 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 解释 函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 【例】判断下列函数是否为对数函数: (1) (2) (3) (4) 【典题1】 对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为(     ) A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 变式练习 1. 已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是(     ) A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2.已知对数函数的图象过点，则(    ) A．-3 B．1 C．2 D．3 【题型二】对数型函数的定义域 相关知识点讲解 对数函数定义域是. 【典题1】 函数的定义域是(    ) A． B． C． D．且 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【题型三】对数型函数的图象辨识 相关知识点讲解 图像 定义域 值域 过定点 【例1】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 【典题1】 若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是(    ) A．B．C．D． 变式练习 1. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是(    )． A．  B．  C．  D．   2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A．  B．  C．  D．   3.已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是(    ) A． B． C． D． 【题型四】对数函数的图象与性质 相关知识点讲解 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【典题1】 已知函数，下列命题中所有正确的序号是　 　． (1)函数的定义域和值域均为； (2)函数在单调递减，在单调递增； (3)函数的图象关于轴对称； (4)函数为偶函数； (5)若0则或． 变式练习 1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数(     ) A． B． C． D． 2.有关函数的性质描述正确的是 A．在上单调递增 B．偶函数 C． D． 3.已知函数，则(    ) A．是奇函数，且在上是减函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是增函数 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 【典题1】 已知，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 记，则(    ) A． B． C． D． 2.(2023·福建福州·模拟预测)已知，则(   ) A． B． C． D． 3.(2024·安徽阜阳·一模)设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 角度2最值问题 【典题1】 若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 若函数在区间上的最大值为6，则(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 2.函数的定义域为，则值域为(    ) A． B． C． D． 3.已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 角度3 对数型函数综合问题 【典题1】 (2024·辽宁·三模)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知，且，则(   )． A． B． C． D． 【典题3】已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 变式练习 1.已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 2.已知函数，若，则(    ) A． B． C． D．以上选项均有可能 3.已知，则下列正确的是(    ) A． B． C． D． 4.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5.已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 6.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 【题型四】反函数 相关知识点讲解 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【典题1】 若满足，满足，则等于(　　) 变式练习 1.已知函数的零点分别为，则的大小关系为(　　) 2.已知函数与函数的图像关于对称，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.函数的定义域是( ) A． B． C． D． 2.(2024·广东深圳·二模)已知，且，则函数的图象一定经过(    ) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 3.已知，则(    ) A． B． C． D． 4.(2024·江西南昌·二模)已知，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 5.若函数在上的最大值是2，则的值为(    )． A． B． C． D． 6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 7.(2021·江西九江·一模)已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为 . 8.已知函数． (1)求的定义域；(2)求的单调区间；(3)求不等式的解集． 9.已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【B组---提高题】 1.已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 2.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 3.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若)是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 对数函数及其性质 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域； 2.初步掌握对数函数的图象与性质； 3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式； 4.了解反函数的概念及其它们的图像特点. 1 对数函数 (1)对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. (2)图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 3 对数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为对数型函数． 4 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 【题型一】 对数函数的概念 相关知识点讲解 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 解释 函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 【例】判断下列函数是否为对数函数: (1) (2) (3) (4) 解 (1)不是，对数式后加了；(2)不是，真数不是；(3)不是，系数不为；(4)是. 【典题1】 对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为(     ) A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 变式练习 1. 已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是(     ) A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合且)形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 2.已知对数函数的图象过点，则(    ) A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设后求出函数解析式，再求函数值． 【详解】设，因为函数图象过点，所以，， 所以，． 故选：D． 【题型二】对数型函数的定义域 相关知识点讲解 对数函数定义域是. 【典题1】 函数的定义域是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使有意义，则应有， 解得且. 故选：D. 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的定义域的求法求解. 【详解】由题可得，，解得， 故选:C. 【题型三】对数型函数的图象辨识 相关知识点讲解 图像 定义域 值域 过定点 【例1】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 解 ：定义域是，值域是，在上递增，非奇非偶函数; ：定义域是，值域是，在上递减，非奇非偶函数. 与关于轴对称. 【典题1】 若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 变式练习 1. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是(    )． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 2.在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】略 3.已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 【题型四】对数函数的图象与性质 相关知识点讲解 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【典题1】 已知函数，下列命题中所有正确的序号是　 　． (1)函数的定义域和值域均为； (2)函数在单调递减，在单调递增； (3)函数的图象关于轴对称； (4)函数为偶函数； (5)若0则或． 【答案】A 【详解】函数，故有，，故定义域为，故(1)不正确． 由函数在单调递减，在单调递增，可得 函数在单调递减，在单调递增，故(2)正确． 由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故(3)不正确． 由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故(4)正确． 由，则有，故， 或， 或，故(5)正确， 故答案为(2)(4)(5)． 变式练习 1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及基本函数的单调性逐项判定即可. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又符合，所以函数为偶函数， 当时，函数，单调递增，故A正确； 因为函数的定义域为， 不关于原点对称，故不具有奇偶性，故B错误； 因为的定义域为, 且满足， 故函数为偶函数，又函数为开口向下，对称轴为的二次函数， 故函数在上单调递减，故C错误； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，故函数为奇函数，故D错误， 故选：A. 2.有关函数的性质描述正确的是 A．在上单调递增 B．偶函数 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性和函数值，判断出正确选项. 【详解】的函数图像，是由图像，保留轴上方的图像，轴下方的图像关于对称变换到上方所得，如下图所示.由图可知，在上递减，在上递增，故A选项错误；而，所以，故D选项错误.由于函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故B选项错误.由于，故C选项正确. 故选C. 3.已知函数，则(    ) A．是奇函数，且在上是减函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是增函数 【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断. 【详解】函数定义域为， 且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：D 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】由于在上单调递增， 而在上单调递增，函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 故选：A． 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 【典题1】 已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用换底公式可判断利用指数性质可判断，进而得出结果. 【详解】由题得 ， 而，所以 ， 所以. 故选：A. 变式练习 1. 记，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于和的大小关系利用中间值法即可. 【详解】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 2.(2023·福建福州·模拟预测)已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出，，，即可求解. 【详解】 ，故； ，故，故. 故选：B. 3.(2024·安徽阜阳·一模)设，则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果. 【详解】， ， ， . 故选：D． 角度2最值问题 【典题1】 若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质有求参数a，再由单调性求最小值. 【详解】由题设，，可得， 所以在上递减，故其最小值为. 故选：B 变式练习 1. 若函数在区间上的最大值为6，则(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数与对数的关系计算可得. 【详解】解：因为函数在定义域上单调递增，又函数在区间上的最大值为6， 所以，即，所以. 故选：B 2.函数的定义域为，则值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域. 【详解】因为函数的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知在内的最小值为，最大值为， 所以值域为. 故选：A. 3.已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围. 【详解】∵函数 ∴当时，的范围是；当时，，， 由题意存在最小值，则， 解得. 故选：D． 角度3 对数型函数综合问题 【典题1】 (2024·辽宁·三模)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 显然函数在区间上上单调递增，且， 所以，只需，解得 另函数在区间上单调递增， 则， 所以， 所以. 故选：B. 【典题2】已知，且，则(   )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得到，构造函数，利用函数的单调性即可得出选项A和B的正误；对于选项C，通过取特殊值，即可得出选项的正误，对于选项D，利用的单调性即可得出结果. 【详解】依题意，因为，所以， 设函数，易知函数在上单调递增，故，所以选项A错误； 又因为，所以，所以，所以选项B错误； 又因为，取，则，所以选项C错误； 因为，所以，所以，所以选项D正确． 故选：D. 【典题3】已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)令，利用对数运算法则将函数化为，根据二次函数性质求解值域即可； (2)换元法，设，，即可化为关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出. 【详解】(1)当，令，所以， 则在上单调递减， 所以，，故的取值范围为； (2)设，，因为，所以，即， 则的两根为，，整理得， ，， 所以，，所以，则， 所以，则， 即实数的取值范围为. 变式练习 1.已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【详解】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 2.已知函数，若，则(    ) A． B． C． D．以上选项均有可能 【答案】C 【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案. 【详解】作出函数的图象，如图： 由题意可知，，且由图象可知，， 所以即， 所以，即，， 即， 故选：C 3.已知，则下列正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得且，，构造研究单调性，进而得到，即可判断各项正误. 【详解】由题设，且，， 令，且在上单调递增， 所以，即，故，B错，D对； 若时，，则，存在使成立，此时，A错. 若，显然与矛盾，C错； 故选：D 4.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 5.已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得函数的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为，求解可得x的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数， 则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 即函数为奇函数， 设，则， ，在上为减函数， 而在上为增函数， 故在区间上为减函数， ， 解可得：，即不等式的解集为； 故选:D． 6.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据对数函数的定义域求解即可； (2)根据结合定义域关于原点对称判断即可； (3)根据与为奇函数，结合单调性求解即可. 【详解】(1)由题意，，解得，故函数的定义域为 (2)满足， 且定义域关于原点对称，故为奇函数. (3)因为，且为奇函数， 故即，即. 又为增函数，为减函数，故为增函数. 故即，解得. 【题型四】反函数 相关知识点讲解 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【典题1】 若满足，满足，则等于(　　) 【答案】D 【详解】由题意①， ②，所以，故有． 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标． 再根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称． 即点和点构成的线段的中点在直线上， 即，求得， 故选：． 变式练习 1.已知函数的零点分别为，则的大小关系为(　　) 【答案】D 【详解】由的零点分别为 即，，的图象分别跟相交，交点为，由图象可知选． 故选：． 2.已知函数与函数的图像关于对称，若，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据反函数的性质求出的解析式，依题意可得且，再根据对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：因为函数与函数的图像关于对称， 故与互为反函数，所以， 若，则，且，所以 所以， 又对勾函数在上单调递减，所以 即 故选：D 【A组---基础题】 1.函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的真数取值范围和分式型函数分母不为零求得即可. 【详解】由题意可知，解得且， 故选：B 2.(2024·广东深圳·二模)已知，且，则函数的图象一定经过(    ) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 3.已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数性质，结合媒介数比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 4.(2024·江西南昌·二模)已知，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 5.若函数在上的最大值是2，则的值为(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性计算即可得. 【详解】令，对称轴为， ∵函数在区间上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，且， ∴且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 7.(2021·江西九江·一模)已知函数是定义在上的连续单调函数，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性知，的自变量有且只有一个，从而可以设，代入，从而解得t的值；从而求得不等式的解集. 【详解】解：是定义在上的连续单调函数， 存在唯一，使得，故令，，，在上单调递增，且， ， 故的解集为. 故答案为： 8.已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【分析】(1)利用对数函数的定义列出不等式，求解即得. (2)利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. (3)判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式. 【详解】(1)函数中，由，解得， 所以的定义域为. (2)函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减， 所以的递减区间是，递增区间是. (3)由，得函数为偶函数， 由(2)知，在上单调递增，则， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集是． 9.已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为非奇非偶函数，理由见解析； (3) 【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解； (2)根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论； (3)根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到， 法一：转化为，令，求得，即可求解； 法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】(1)解：由函数有意义，则满足， 解得，所以函数的定义域为. (2)解：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. (3)解：由“对，不等式恒成立”， 可得， 当时， 由在上单调递减，， 根据题意得，对 法一：可转化为， 令，由在上单调递减得，可得， 实数的取值范围为. 法二：设函数， ①当，即时，在上单调递减， 可得，解得，则； ②当，即时，在上单调递增， 可得，解得，则； ③当，即时，在先减后增， 可得，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 【B组---提高题】 1.已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义得出关于、的式子，再利用指数函数与的图象性质逐项分析即可求解. 【详解】根据题意，，所以且， ，所以且， 对比和可知，结合和只有一个交点， 所以，故，故选项A错误； 因为在定义域内单调递增， 易知在单调递增， 若，则， 与a是的零点矛盾，故选项B错误； 若成立， 则有，即有， 即有，故矛盾，所以选项C错误； ，故选项D正确． 故选：D． 2.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)根据偶函数的定义求解即可； (2)根据函数单调性的定义可知在区间上单调递增，假设存在正数，通过判断方程正根的个数即可证明. 【详解】(1)由题意可得， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以，整理得， 又因为，所以. (2)由(1)得， 令，设， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 又由对数函数的单调性，可知函数在区间上单调递增， 假设存在正数，使得当时，函数的值域为， 则， 可得方程有两个不相等的正根， 整理为， 可得， 又由，可得， 故方程没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数. 3.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若)是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】(1)判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； (2)分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； (3)根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【详解】(1)①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. (2)当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. (3)充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$