第15讲 对数及其运算 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第15讲 对数及其运算 1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值； 2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算； 3.掌握换底公式及其推论； 4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法. 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 2 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ 3 换底公式 (1)公式 (2)推论 ① ② ③ 【题型一】 对数式与指数式的互换 相关知识点讲解 1 对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 2 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 3 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 4 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【典题1】 指数式与对数式互化. (1) (2) . 【典题2】已知函数，若，则(   ) A．8 B．7 C．2 D．0.5 变式练习 1.已知，则(   ) A．2 B． C．3 D．4 2.已知，则(   ) A．8 B．9 C． D． 3.若，则的值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．8 【题型二】对数的运算性质 相关知识点讲解 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【例】证明. 【典题1】 (多选)下列等式成立的是(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.化简下列各式： (1)；(2). 2.(  ) A．4 B． C．5 D． 3.(2024·山东聊城·二模)已知函数为上的偶函数，且当时，，则(  ) A． B． C． D． 4.已知，则的值大约为(  ) A．1.79 B．1.81 C．1.87 D．1.89 5.已知实数x，y满足，则的最小值是(  ) A． B．2 C． D． 【题型三】换底公式的运用条件求值问题 相关知识点讲解 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【典题1】 已知，则 (　　) A．　　　B． C． D． 【典题2】已知，，，则　(　 A． B． C． D． 变式练习 1. (  ) A．2 B．1 C． D．0 2.(  ) A．8 B．6 C．4 D．2 3.已知，，用表示，则 ( ) A． B． C． D． 【题型四】 条件求值问题 【典题1】 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是(  ) A． B． C． D． 【典题2】已知，则3，，的大小关系是(  ) A． B． C． D． 变式练习 1. (2024·辽宁丹东·一模)若，，，则(   ) A． B． C． D．1 2.(2024·陕西西安·模拟预测)设a，b，c都是正数，且，那么(  )． A． B． C． D． 3.设，则(   ) A． B． C． D． 4.已知，，，，则下列不等关系中正确的是(   ) A． B． C． D． 5.设、，，，若，，则的最大值为(   )． A．1 B．2 C．3 D．4 6.(多选)若，则(   ) A． B． C． D． 7.(多选)已知，且，则(   ) A． B． C． D．若，则 【题型五】 实际问题中的对数运算 【典题1】 (2024·贵州遵义·一模)近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要)(   ) A．8年 B．10年 C．12年 D．20年 变式练习 1. (2024·安徽·模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，)，则k的值为(   ) A．11 B．15 C．19 D．21 【A组---基础题】 1.(   ) A． B．1 C． D． 2.(2024·青海·模拟预测)若，，则(  ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3.已知，，，，则下列等式一定成立的是(   ) A． B． C． D． 4.若实数、、满足，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(2024·贵州贵阳·一模)已知，则实数满足(   ) A． B． C． D． 6.已知，则x= . 7. 已知且，则的值为　　． 8.求下列各式的值. (1)； (2). 9.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【B组---提高题】 1.(2024·重庆·三模)若正实数，满足，，则 . 2.已知，，则的值为(  ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 对数及其运算 1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值； 2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算； 3.掌握换底公式及其推论； 4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法. 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 2 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ 3 换底公式 (1)公式 (2)推论 ① ② ③ 【题型一】 对数式与指数式的互换 相关知识点讲解 1 对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 2 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 3 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 4 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【典题1】 指数式与对数式互化. (1) (2) . 【答案】 【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得. 【详解】(1)由可得：；由可得. 故答案为：； 【典题2】已知函数，若，则(   ) A．8 B．7 C．2 D．0.5 【答案】A 【分析】分类讨论结合指对互换求解的值即可. 【详解】当时，，所以若， 则只能， 所以，所以满足题意. 故选：A. 变式练习 1.已知，则(   ) A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 2.已知，则(   ) A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案. 【详解】令，可得，则. 故选：C 3.若，则的值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 【题型二】对数的运算性质 相关知识点讲解 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【例】证明. 证明 设，，则， ，. 【典题1】 (多选)下列等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 根据对数的运算性质计算逐项计算. 【详解】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 变式练习 1.化简下列各式： (1)；(2). 【答案】(1)，(2) 【分析】(1)、(2)利用对数的运算法则求解即可. 【详解】(1)原式. (2)原式 . 2.(  ) A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：D. 3.(2024·山东聊城·二模)已知函数为上的偶函数，且当时，，则(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 4.已知，则的值大约为(  ) A．1.79 B．1.81 C．1.87 D．1.89 【答案】A 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 5.已知实数x，y满足，则的最小值是(  ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由对数运算得，利用换元思想结合二次函数求最值. 【详解】由得，且， ∴. ∴ ， 当且仅当，，且，即时，等号成立， 故S的最小值是， 故选：A. 【题型三】换底公式的运用条件求值问题 相关知识点讲解 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【典题1】 已知，则 (　　) A．　　　B． C． D． 【答案】C 【详解】由换底公式得． 【典题2】已知，，，则　(　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】， ，故选：． 变式练习 1. (  ) A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可. 【详解】， 故选：C． 2.(  ) A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解. 【详解】，故A正确. 故选：A. 3.已知，，用表示，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：． 【题型四】 条件求值问题 【典题1】 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 【典题2】已知，则3，，的大小关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出，并分别算出，，就可知道两者的大小，对进行估算，可知，从而确定结果. 【详解】∵，∴，， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D. 变式练习 1. (2024·辽宁丹东·一模)若，，，则(   ) A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 2.(2024·陕西西安·模拟预测)设a，b，c都是正数，且，那么(  )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可． 【详解】依题意设，则，，， 所以， 则，故A，C错误； 则，故B错误； 则，故D正确. 故选：D. 3.设，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得，结合对数运算性质分析求解. 【详解】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. 4.已知，，，，则下列不等关系中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将，，，转化为再利用对数函数性质比较. 【详解】因为，，， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：D 5.设、，，，若，，则的最大值为(   )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，可得，则，则，利用基本不等式即可得解. 【详解】解：因为， 所以，则， 则， 又因，所以，当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以的最大值为2. 故选：B. 6.(多选)若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，. 故选：AB． 7.(多选)已知，且，则(   ) A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B. 【详解】因为，设 对A，知，易知.选项A正确. 对C，因为，，，所以，，， 于是，选项C正确. 对D，若，则，即，则. 由知.选项D正确. 对B，取，则，而，此时，选项B错误. 故选：ACD. 【题型五】 实际问题中的对数运算 【典题1】 (2024·贵州遵义·一模)近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要)(   ) A．8年 B．10年 C．12年 D．20年 【答案】C 【分析】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，可得，两边同时取对数可求出答案. 【详解】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿， 所以，所以， 两边同时取对数可得：， 所以，所以， 而， 所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年. 故选：C. 变式练习 1. (2024·安徽·模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，)，则k的值为(   ) A．11 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解. 【详解】， 即，则，得. 故选：A 【A组---基础题】 1.(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质计算得解. 【详解】. 故选：A 2.(2024·青海·模拟预测)若，，则(  ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由 ， 所以 故选：A 3.已知，，，，则下列等式一定成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算法则及换底公式，以及指对互化，对条件进行变化，即可求解. 【详解】， 两式相除得， 又， 所以. 故选：B. 4.若实数、、满足，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 5.(多选)(2024·贵州贵阳·一模)已知，则实数满足(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，A正确； ，B正确， ，C错误， 由，可得，D正确， 故选：ABD. 6.已知，则x= . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系直接得解. 【详解】由，得. 故答案为： 7. 已知且，则的值为　　． 【答案】 【详解】，可得， ，， 可得，． 8.求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)9 (2) 【分析】(1)由指数函数，幂函数的运算性质化简即可 (2)由对数函数，指数函数，幂函数的运算性质化简即可. 【详解】(1) . (2) . 9.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； (2)利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】(1)令且， 则，，， 所以， ， 故成立. (2)由(1)知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 【B组---提高题】 1.(2024·重庆·三模)若正实数，满足，，则 . 【答案】100 【分析】结合完全平方公式可得，由此可求，故可得结论. 【详解】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 故答案为：100. 2.已知，，则的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 10 学科网（北京）股份有限公司 $$