第14讲 指数函数及其性质-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第14讲 指数函数及其性质 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2.理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小； 3.掌握指数函数图象的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 3 指数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为指数型函数． 【题型一】指数函数的概念 相关知识点讲解 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 解释 (1)指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. (2)指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. 【典题1】 已知指数函数的图像经过点，则(    ) A．4 B．1 C．2 D． 变式练习 1. 给出下列函数，其中为指数函数的是(    ) A． B． C． D． 2.已知函数的图象过点，则 (    ) A．3 B．-3 C． D． 3.若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 【题型二】指数函数过定点问题 相关知识点讲解 指数函数且过定点，因为不管为何值，时对应的函数值． 【典题1】 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为(    ). A． B． C． D． 变式练习 1. 已知函数，且)的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2.当时，的图像恒过点(   ) A． B． C． D． 3.已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是(    ) A．16 B．6 C． D． 【题型三】指数函数的图象辨析 相关知识点讲解 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【例】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 【典题1】 若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有(    ) A．， B．， C．， D．， 变式练习 1. 如图是指数函数①、②、③、④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(    ) A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b 2.函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是(    )． A． B． C． D．3 3.函数的大致图象是(　　) A． B．C． D． 【题型四】指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 【典题1】 已知，，.则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 设，则(    ) A． B． C． D． 2.已知，，，则，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 角度2 最值问题 【典题1】函数的值域为　 　． 【典题2】若函数有最小值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a= 2.已知函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 角度3 指数型函数综合问题 【典题1】 设函数，，且，则与的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知函数. (1)证明函数为偶函数； (2)对于，恒成立，求实数的取值范围. 变式练习 1.已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.函数的单调递增区间是(　　) ． ． C． 3.已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是(    ) A． B． C． D． 4.若直线与函数，且)的图象有两个公共点，则可以是(    ) A．2 B． C． D． 5.已知实数，满足，则(    ) A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 6.已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 【A组---基础题】 1.已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设，则下列不等式中正确的是(    ) A． B． C． D． 3.已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是(    ) A． B． C． D． 4.设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.已知函数,若，且，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 7.设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 8.已知指数函数． (1)若函数，求函数值域，证明函数在定义域上单调递增； (2)若函数，研究的奇偶性； (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围． 【B组---提高题】 1.设函数且)是定义域为的奇函数． (1)求实数k的值； (2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 指数函数及其性质 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2.理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小； 3.掌握指数函数图象的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 3 指数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为指数型函数． 【题型一】指数函数的概念 相关知识点讲解 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 解释 (1)指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. (2)指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. 【典题1】 已知指数函数的图像经过点，则(    ) A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 变式练习 1. 给出下列函数，其中为指数函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解. 【详解】因为指数函数的形式为 且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 2.已知函数的图象过点，则 (    ) A．3 B．-3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：C 3.若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 【答案】. 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设且)，则， 解得，故. 【题型二】指数函数过定点问题 相关知识点讲解 指数函数且过定点，因为不管为何值，时对应的函数值． 【典题1】 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 变式练习 1. 已知函数，且)的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 2.当时，的图像恒过点(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出，再代入函数解析式即可. 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图像恒过点. 故选：C 3.已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是(    ) A．16 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值. 【详解】令 ，得，此时，为， . ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故选：A. 【题型三】指数函数的图象辨析 相关知识点讲解 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【例】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 解 ：在上递增，非奇非偶函数，值域是; ：在上递减，非奇非偶函数，值域是. 与关于轴对称. 【典题1】 若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案. 【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点， 而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的， 故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D. 变式练习 1. 如图是指数函数①、②、③、④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(    ) A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系． 【详解】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 可知，大于1，，大于0小于1． 又由图可知，即，，即． ∴，，，与1的大小关系是． 故选B． 2.函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是(    )． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的图像性质判断得a的可能取值. 【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数， 因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知，排除D； 再由图像②存在的图像，由幂函数的图像性质可知的分母为奇数，排除AC； 综上：满足a的取值要求，故a的可能取值为. 故选：B. 3.函数的大致图象是(　　) A． B．C． D． 【答案】C 【详解】， 当时，的图象是将图象先沿轴对称下来，再沿轴向上平移个单位，此时时的图象在x轴上方，且为增函数，渐近线为， 只有项满足题意． 故选 【题型四】指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 【典题1】 已知，，.则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】设，由指数函数的性质知在R上单调递减， 所以， 令，由幂函数的性质知在单调增， 所以， 所以. 故选：C 变式练习 1. 设，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上单调递增， 在上单调递减，． 故选：A． 2.已知，，，则，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断. 【详解】因为在内单调递减，则，即； 且在内单调递增，则，； 且在内单调递增，，即； 综上所述：. 故选：B. 角度2 最值问题 【典题1】函数的值域为　 　． 【答案】 【详解由，复合而成． ， 由指数函数性质，在定义域上是减函数， 故答案为： 【典题2】若函数有最小值，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 变式练习 1. 已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a= 【答案】或 【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案. 【详解】当时，在上的最大值为，最小值为， 故，解得或(舍去)； 当时，在上的最大值为，最小值为， 故，解得或(舍去)， 综上或. 故答案为：或 2.已知函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对分两种情况讨论，结合函数的图象和性质分析得解. 【详解】如果， 则时，；时，， 此时函数的值域不可能是； 如果， 时，， 如果函数的值域是，必须满足， 解之得 故选：A 3.已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； (2)由(1)知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】(1)设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. (2)由(1)知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 角度3 指数型函数综合问题 【典题1】 设函数，，且，则与的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得且，且，且，去掉绝对值，化简即可得到结论． 【详解】， 作出的图象如图所示， 由图可知，要使且成立， 则有且， 故必有且， 又，即为， ∴． 故选：D． 【典题2】已知函数. (1)证明函数为偶函数； (2)对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可； (2)将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求. 【详解】(1)的定义域为，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数； (2)因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又因为，恒成立，即， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 变式练习 1.已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解. 【详解】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 2.函数的单调递增区间是(　　) ． ． C． 【答案】 【详解】要求的单调递增区间 在上单调递增 只要求的单调递增区间 而由二次函数的性质可知的单调递增区间为 故选：． 3.已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与函数的图像，分，，三种情况求解. 【详解】作出函数与函数的图像，如图， 当时，根据图像得，故A选项正确； 当时，根据图像得，故D选项正确； 当时，根据图像得，故B选项正确； 故不可能成立的是. 故选：C 4.若直线与函数，且)的图象有两个公共点，则可以是(    ) A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得 【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点， 当时，的图象如图所示， 由已知得，； 当时，的图象如图所示， 由已知可得， ，结合可得无解， 综上可知，的取值范围为， 故选：C 5.已知实数，满足，则(    ) A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】构造函数，可知为上单调递增函数，原不等式可变形为，得到进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 令，可知为上单调递增函数， ，即， 所以，所以， 则，所以有最大值1. 故选：A. 6.已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用定义法作差变形判断得到结论即可； (2)转化为即可得到答案； (3)转化为，再设新函数求出右边最小值即可. 【详解】(1)证明：任取， ，,, 即函数在上单调递减. (2)由(1)的结论知在上单调递减，则， 因为在上单调递增，所以 若，使得，则 即，解得. (3)由题意得在上有解， 即在上有解，所以， 设， 因为在单调递减，在单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 【A组---基础题】 1.已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】求出m，n得到的解析式，从而得出结论． 【详解】∵恒过定点 ∴， ∴， ∴为减函数，且过点，大致图像如图所示 ∴的函数图象不经过第三象限． 故选：C 2.设，则下列不等式中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可. 【详解】设， 则由指数函数在上单调递减， 得， 设，则幂函数在上单调递增， 得， 所以. 故选：B 3.已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 4.设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增，则值域为； 当时，在上单调递减，则值域为； 因为函数， 所以函数有最小值时，需满足，即， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 5.已知函数,若，且，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示：      由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 6.不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 【答案】． 【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围. 【详解】原不等式可化为对恒成立， 令，则，所以， 当时，，所以. 故答案为: . 7.设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据奇函数的性质计算可得； (2)首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可； (3)依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解. 【详解】(1)因为是定义域为的奇函数， 则， 而，解得， 所以的值是. (2)由(1)得，是定义域为的奇函数， 又，则，即，又，解得， 则 所以函数在上单调递增，证明如下： 设且， 则， 因为，则，即，， 于是得，即， 所以函数在定义域上单调递增. (3)当时，， 因为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 8.已知指数函数． (1)若函数，求函数值域，证明函数在定义域上单调递增； (2)若函数，研究的奇偶性； (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)值域为，证明见解析；(2)答案见解析；(3). 【解析】(1)运用指数函数的值域和不等式的性质，可得的值域；再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可证明的单调性； (2)计算，结合奇偶性的定义，分别讨论a，b，即可得到的奇偶性； (3)由题意可得在上恒成立，利用二次函数的性质，不等式恒成立思想，可得所求范围． 【详解】解：(1)由，可得， 由，可得，则，则， 即的值域为； 任取， ， ，，又， ，故在R上单调递增； (2)，定义域为R， ， 当时，，既是奇函数也是偶函数； 当，，是偶函数； (3)不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则， 令，，对称轴为， 当，即时，，解得， ； 当，即时，，无解； 当，即时，，解得， 此时无解， 综上，. 【B组---提高题】 1.设函数且)是定义域为的奇函数． (1)求实数k的值； (2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质得； (2)由若得出，确定表达式，参变量分离即可. 【详解】(1)函数且)是定义域为的奇函数,则， 所以， 又时，，对任意的，都有成立，满足题意， 所以； (2)由(1)知，，且， 所以，， 所以，或(舍)， 令，则， 由当时，恒成立，得在时恒成立， 则在时恒成立， 又在上单调递增， 所以，， 所以，. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$