第12讲 幂函数 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 1.理解幂函数的概念； 2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质； 3.能解决与幂函数有关的复合函数问题. 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 2正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【题型一】幂函数的概念 相关知识点讲解 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【典题1】 下列函数中幂函数的是(     ) A． B． C． D． 【典题2】若幂函数的图象经过点，则＝(　　) A． B．2 C．4 D． 变式练习 1. (多选)下列哪些函数是幂函数(    ) A． B． C． D． 2.已知是幂函数，则(    ) A．3 B． C．6 D． 3.若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【题型二】幂函数的定义域 相关知识点讲解 正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】 下列函数中定义域为的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2.给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是(    ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型三】幂函数的图象的判断 相关知识点讲解 幂函数的图象． 【典题1】 已知函数则的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   变式练习 1. (2024·四川南充·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 2.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线(   )    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3.已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则(    ) A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【题型四】幂函数的性质 相关知识点讲解 1 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 2 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【典题1】 已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．在单调递减 D．定义域为 【典题2】已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则(    ) A． B． C．0 D．3 变式练习 1. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为(    ) A． B． C． D． 2.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 3.已知函数，则(    ) A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 4.幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是(    ) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 5.(多选)关于幂函数的性质下列说法中正确的是(    ) A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 6.(多选)已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 7.已知幂函数是偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围. 【题型五】幂函数的应用 【典题1】 已知，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知，那么( ) A． B． C． D． 2.已知，，，则( ) A． B． C． D． 3.已知为奇函数，当时，，当时，，则(    ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.下列函数定义域为的是(　　) A． B． C． D． 2.下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是(    ) A． B． C． D． 3.若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 4.已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是( ) A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 5.(多选)已知幂函数，恒过点，则(    ) A．的定义域是 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 6.写出一个定义域为，且单调递增的幂函数： . 7.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则a的取值范围是　 　． 8.已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 9.已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. 【B组---提高题】 1.已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则(    ) A． B．8 C．4 D． 2.设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数 1.理解幂函数的概念； 2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质； 3.能解决与幂函数有关的复合函数问题. 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 2正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【题型一】幂函数的概念 相关知识点讲解 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【典题1】 下列函数中幂函数的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 【典题2】若幂函数的图象经过点，则＝(　　) A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 变式练习 1. (多选)下列哪些函数是幂函数(    ) A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 2.已知是幂函数，则(    ) A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】 由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 3.若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 【题型二】幂函数的定义域 相关知识点讲解 正数的分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】 下列函数中定义域为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【详解】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2.给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是(    ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【详解】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C 【题型三】幂函数的图象的判断 相关知识点讲解 幂函数的图象． 【典题1】 已知函数则的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 变式练习 1. (2024·四川南充·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 2.幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线(   )    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 3.已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则(    ) A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征 【详解】因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为， 且在上单调递减， 则有， 所以． 故选：D． 【题型四】幂函数的性质 相关知识点讲解 1 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 2 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【典题1】 已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．在单调递减 D．定义域为 【答案】C 【分析】设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C. 【详解】设幂函数， 由题意得： ， 故，定义域为 ，故D错误； 定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误； 由于 ，故在单调递减，C正确， 故选：C 【典题2】已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则(    ) A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】 由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 变式练习 1. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 2.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 3.已知函数，则(    ) A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A，当时定义域为， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则的值域为，故B错误； 对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，故D错误； 故选：A 4.幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是(    ) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】由题得，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可． 【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数， 故，且是奇数，且是整数， ，， 当时，，是奇数，； 当时，，不是奇数； 当时，，是奇数； 故或2． 故答选：B 5.(多选)关于幂函数的性质下列说法中正确的是(    ) A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 【答案】AD 【分析】由函数奇偶性的定义结合幂函数的单调性逐一判断每一选项即可得解. 【详解】对于A，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是偶函数， 所以在是单调递减，故A正确； 对于B，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是奇函数， 所以在是单调递增，故B错误； 对于C，当时，定义域为，它为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，当时，定义域为， 且 ，所以此时是偶函数，故D正确. 故选：AD. 6.(多选)已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 7.已知幂函数是偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用幂函数的特点和偶函数的性质求解； (2)判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式； (3)先求函数的值域，再利用题中条件判断与值域关系，进而利用二次函数性质求解. 【详解】(1)幂函数， 所以，解得或， 所以或， 因为是偶函数， 所以. (2)图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得，， 化简得，，解得，， 所以x的取值范围是. (3)因为，所以对任意，， 因为存在唯一，使得，则在区间上单调，且是值域的子集， 因为对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 满足， 解得，，和取交集得； ②当，即时，在上单调递增， 满足，解得，，和取交集得； 综上所述，实数的取值范围是. 【题型五】幂函数的应用 【典题1】 已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 变式练习 1. 已知，那么( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，B，C选项采用特殊值验证方法判断，对D选项利用幂函数单调性进行判断. 【详解】因为， 当时，，，，，， 此时，，，故A，B，C错误， 由幂函数在上单调递增可知，时，，故D正确， 故选：D. 2.已知，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， ，，， 函数在上是增函数，． 故选：． 3.已知为奇函数，当时，，当时，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系. 【详解】因为当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 且，所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则 所以.    故选：A 【A组---基础题】 1.下列函数定义域为的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 2.下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可. 【详解】根据幂函数性质，知函数、，在上递增，ABC都不是； 而在上递减，且为偶函数，图象关于y轴对称，D是. 故选：D 3.若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得､的大小关系，进而可得正确选项. 【详解】和在上单调递增，所以，， 当时，图象在上方，所以， 当时，图象在下方，所以， 所以， 故选：A. 4.已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是( ) A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【答案】A 【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为， 故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 5.(多选)已知幂函数，恒过点，则(    ) A．的定义域是 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 【答案】BD 【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一求解. 【详解】设，恒过点，解得， 即；定义域为；值域为，故无最小值；，故为偶函数； ，在上单调递增，在上单调递减， 故选:BD. 6.写出一个定义域为，且单调递增的幂函数： . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的知识写出一个即可. 【详解】的定义域为，且单调递增， 故答案为：(答案不唯一) 7.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则a的取值范围是　 　． 【答案】 【详解】幂函数在上是减函数， ，解得， ，或． 当时，为偶函数满足条件， 当时，为奇函数不满足条件， 则不等式等价为，即， 在和上都为增函数， 或，解得：. 8.已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 【分析】(1)根据幂函数的定义求解即可； (2)根据单调性的定义证明即可； (3)判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可． 【详解】(1)由题意，设，则，故， 所以； (2)设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． (3)函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 9.已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. 【答案】(1)的值为，函数的解析式为 (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义及性质即可求解； (2)由(1)，得，令利用换元法得到， ，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，函数是奇函数，符合题意， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 综上所述，的值为，函数的解析式为. (2)由(1)知，， 所以， 令，则， ， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， ，， 所以函数在的值域为. 【B组---提高题】 1.已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则(    ) A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及上下凸函数的性质求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或3. 因为，且，均有， 所以的图象在第一象限上凸，因此. 所以，所以. 故选：A. 2.设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“A佳”函数，区间为； (3). 【分析】(1)由幂函数的定义及性质即可求解的值； (2)求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可； (3)，则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】(1)因为幂函数在上是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． (2)由(1)知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 若存在，使得在上的值域为， 故函数为“A佳”函数. 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 有，解得或，或，而， 故“A佳”函数的区间为； (3)，，则在上单调递减， 因为是“A佳”函数，所以， 令，，则，， 所以，有，即， 因为，所以，所以，得， 所以，代入， 得， 因为，所以，得， 令，， 所以，又该函数在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$