第11讲 函数的奇偶性 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性； 2.会用定义判断函数的奇偶性； 3.会依据函数的奇偶性进行简单的应用. 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 相关知识点讲解 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 定义法判断函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. 【典题1】 (2024·重庆·三模)设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 下列函数是奇函数的是(    ) A． B． C． D． 2.(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】函数奇偶性的性质 相关知识点讲解 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【典题1】 函数的图象大致是(    ) A．   B．   C．   D． 【典题2】若函数为奇函数，则(    ) A． B． C． D．1 变式练习 1. 函数的图像关于(    ) A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 2.是定义在上的奇函数，下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 3.函数的图象大致是(    ) A．   B．   C．   D．   4.已知函数为奇函数，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 5.(2024·山东·二模)已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是(    )． A． B． C． D． 6.设函数，若函数的图象关于点对称，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【题型三】利用奇偶性求解析式 【典题1】 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(    ) A．1 B．8 C． D． 变式练习 1.已知偶函数，当时，，则当时，(    ) A． B． C． D． 2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则(    ) A．1 B．3 C． D． 4.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 5.已知为定义在R上的奇函数， 当时， 则关于x的不等式的解集 6.设函数的最大值为M，最小值为m，则 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【典题1】 若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为(     ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·山东济南·二模)已知函数的定义域为R，若，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【典题3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 变式练习 1. 如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是(    ) A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2.奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则(     ) A． B． C． D． 3.已知函数，且，则(    ) A． B． C． D． 4.(多选)已知是上的奇函数，且当时，，则(    ) A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 5.(多选)已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则(    ) A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 6.已知偶函数在 上单调递减，若，则的取值范围是 . 7.(2024·广东佛山·二模)已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 . 8.已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 9.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【A组---基础题】 1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是(    ) A． B． C． D． 2.已知函数为奇函数，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．-1 3.已知函数的定义域为，且，为奇函数，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 4. 在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则(    )． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 5.(多选)已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．若在上有最小值，则在上有最大值2 D．若在上单调递增，则在上单调递减 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 7.奇函数满足，则 . 8.已知函数是定义域为的奇函数． (1)求实数和；(2)判断并证明函数在上的单调性． 9.已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值；(2)求的解析式．(3)写出解不等式的解集． 【B组---提高题】 1.(2024·湖南岳阳·三模)已知为奇函数，则(    ) A． B． C． D． 2.已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续不断，对任意，有，且，则不等式的解集为 ． 3.已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的奇偶性 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性； 2.会用定义判断函数的奇偶性； 3.会依据函数的奇偶性进行简单的应用. 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】 定义法判断函数的奇偶性 相关知识点讲解 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 定义法判断函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. 【典题1】 (2024·重庆·三模)设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断. 【详解】因为定义域为， 则 ，所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数， 该函数的对称中心为，故函数为奇函数. 故选：A. 变式练习 1. 下列函数是奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 2.(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数式直接判断奇偶性排除BD，再判断单调性即可得解. 【详解】函数是非奇非偶函数，是上的奇函数，BD不是； 显然函数、都是R上的偶函数，在区间上都单调递增，AC是. 故选：AC 【题型二】函数奇偶性的性质 相关知识点讲解 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【典题1】 函数的图象大致是(    ) A．   B．   C．   D． 【答案】A 【分析】先运用奇偶性排除CD选项，然后再运用特殊值(范围)排除B选项，从而得出答案. 【详解】解：函数的定义域为， 因为， 故函数为奇函数，关于原点对称，故排除C、D两个选项； 又因为当时，， 故此时， 故排除B选项. 故选：A. 【典题2】若函数为奇函数，则(    ) A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案. 【详解】由函数为奇函数，可得， 所以， 所以，化简得恒成立， 所以，即, 经验证，定义域关于原点对称，且满足，故； 故选:A． 变式练习 1. 函数的图像关于(    ) A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性，即可得解. 【详解】因为定义域为， 且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称. 故选：C 2.是定义在上的奇函数，下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得到，，再逐一判断选项即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 则，所以A选项错误，B选项错误； 又，所以C选项正确； 因为当时，，此时式子无意义， 故选：C. 3.函数的图象大致是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC，根据时可排除D. 【详解】，所以为奇函数，此时可排除AC, 由于当时，，故此时可排除D， 故选：B 4.已知函数为奇函数，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数性质知，，代入求得参数值. 【详解】因为为奇函数，且的定义域为R． 所以，所以，经检验符合题意． 故选：B． 5.(2024·山东·二模)已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，得到. 【详解】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点， 所以，D正确，其他选项不对. 故选：D 6.设函数，若函数的图象关于点对称，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据的图象关于点对称可得为奇函数，进而求得即可 【详解】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称， 即为奇函数，故， 所以. 故选：B. 【题型三】利用奇偶性求解析式 【典题1】 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(    ) A．1 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知f(0)＝0可求m的值，根据x≤0时的解析式，结合f(x)是奇函数可求x＞0时f(x)的解析式，判断f(x)在[1，2]上单调性即可求其最大值. 【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵，，∴， ∴时，， 设，则，则， 则， 即当x＞0时，，∴f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的最大值为. 故选：C. 变式练习 1.已知偶函数，当时，，则当时，(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，即， 即当时，， 设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得， 所以不等式得解集为. 故选：A 3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则(    ) A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】 利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得. 【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 4.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 5.已知为定义在R上的奇函数， 当时， 则关于x的不等式的解集 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再解不等式即得. 【详解】由为定义在R上的奇函数，得，则当时，， 当时，，， 当时，由，即，则，于是， 当时，由，即，则，于是， 所以不等式的解集是. 故答案为： 6.设函数的最大值为M，最小值为m，则 【答案】 【分析】构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果. 【详解】， 设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为：2. 【题型四】 函数的奇偶性与单调性的综合 【典题1】 若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】 根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【典题2】(2024·山东济南·二模)已知函数的定义域为R，若，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 【典题3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质可得出，利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，即可求得函数在上的解析式； (2)分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】(1)解：因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，； 当时，，则，则， 又满足，所以，. (2)解：因为，则函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 变式练习 1. 如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是(    ) A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2.奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，得到，求出答案. 【详解】因为奇函数在上是增函数，故在上是增函数， 因为在上的最大值是8，最小值为，所以在上最小值是-8，最大值为1， 即，故. 故选：C 3.已知函数，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则条件即为，利用的性质将条件转化为，推出A正确，最后构造其它选项的反例即可. 【详解】设，则，从而是单调递增的奇函数. 从而条件等价于，即，这又等价于，即，即，故A正确； 条件等价于，取，，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误. 故选：A. 4.(多选)已知是上的奇函数，且当时，，则(    ) A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出的值，再由奇函数的性质计算，可判断A选项；求出在上的解析式，由二次函数的性质可求出单调区间，由此可判断BC选项；分析函数的单调性和对称性，可确定实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】解：是奇函数，时， ，故A正确. 令则，由于函数为奇函数，故 . 所以函数的解析式为. 当时，，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 且在处有意义，所以的递增区间为，的递减区间为，故B不正确，C正确. 当时，的递减区间为，递增区间为， ，所以实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 5.(多选)已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则(    ) A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 6.已知偶函数在 上单调递减，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】偶函数在单调递减，不等式等价为，则，即，则，即不等式的解集为，故答案为. 7.(2024·广东佛山·二模)已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合偶函数的性质可得，再结合单调性计算即可得. 【详解】由为偶函数且在上单调递减，故在上单调递增， 又，故当，可得， 又，故等价于， 故x的取值范围为. 故答案为：. 8.已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】(1)根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； (2)由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【详解】(1)解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． (2)解：由题意，函数，令，可得， 由(1)可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 9.已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据与定义域关于原点对称判断即可； (2)任取，且，作差，再判号得到相应结论； (3)先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】(1)由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. (2)任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； (3)由(1)(2)为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 【A组---基础题】 1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 2.已知函数为奇函数，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．-1 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义可得，计算可求的值. 【详解】， 得，所以. 故选：B. 3.已知函数的定义域为，且，为奇函数，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义探讨函数的周期，再根据函数的周期性求解即可. 【详解】因为，即， 所以函数关于对称， 因为为奇函数，所以， 令，则，所以，所以， 所以，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 是以. 故选：D. 4. 在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则(    )． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 5.(多选)已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．若在上有最小值，则在上有最大值2 D．若在上单调递增，则在上单调递减 【答案】BC 【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项. 【详解】对于A，由奇函数定义可得，若，则不成立，故A错误； 对于B，由奇函数定义可得，得，故B正确； 对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确； 对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 【答案】4 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题得，解得， 所以当时，， 所以. 故答案为：4. 7.奇函数满足，则 . 【答案】 【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可. 【详解】由可得的图象关于直线对称，所以. 故答案为：. 8.已知函数是定义域为的奇函数． (1)求实数和； (2)判断并证明函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据奇函数的性质由条件列方程求和； (2)根据单调性的定义证明即可. 【详解】(1)因为为奇函数， 所以，即恒成立． 所以，即， 所以，； (2)在上为减函数． 证明：任取，且， 则 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 9.已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求的解析式． (3)写出解不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用奇函数的性质可求得的值； (2)设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式； (3)分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】(1)解：因为函数为上的奇函数，当时，， 则. (2)解：因为函数为上的奇函数， 当时，，则， 又因为满足，故. (3)当时，，可得，解得或， 此时，或； 当时，，可得，解得或， 此时，. 综上所述，原不等式的解集为. 【B组---提高题】 1.(2024·湖南岳阳·三模)已知为奇函数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值. 【详解】由函数图象平移的规则可知： 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的， 因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称，得： ， 即 ， 故选：D. 2.已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续不断，对任意，有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据函数奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由， 即函数是上的单调增函数， 因为是定义在R上的奇函数，所以也是定义在R上的奇函数， 因此在上也是增函数，且，，， ，即， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 3.已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】(1)利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； (2)变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】(1)证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. (2)， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$