第09讲 函数的概念及其表示 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素； 2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域； 3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法； 4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数； 5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象. 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[ 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 4 函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 5 分段函数 有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． 【题型一】 函数概念的理解 相关知识点讲解 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 (1)贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． (2)① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 【典题1】 下列式子中是的函数的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是(    ) A．   B．C．   D． 变式练习 1.(多选)集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是(    ) A．   B．  C．   D．   2.下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是(　　) A． B． C． D． 3.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是(    ) A． B． C． D． 4.已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 求函数的定义域 相关知识点讲解 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集． 【典题1】 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【典题2】函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2.的定义域为(    ) A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 相关知识点讲解 两个函数的定义域和解析式均相同，则该两个函数为同一函数. 【典题1】 下列函数中表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列各组函数相等的是(    ) A．， B．， C．， D．， 2.(多选)下列四组函数中，表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【题型四】 求函数的值域 相关知识点讲解 ① 概念：函数值的集合叫做函数的值域． ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典题1】 下列函数的定义域与值域相同的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】函数在上的值域是 ． 【典题3】函数的值域为(　　) A． B． C． D． 变式练习 1. 函数的值域是( )． A． B． C． D． 2.函数，的值域是(　　) A． B． C． D． 3.已知则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.函数的值域是(　　) 5.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 6.函数的值域是 . 【题型五】 求函数的解析式 【典题1】 求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 变式练习 1. 已知是二次函数且，，求. 2.已知函数，求函数的解析式. 3.已知一次函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求的值. 4.已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 【题型六】 与分段函数有关的问题 相关知识点讲解 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【典题1】 已知函数，则(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【典题2】已知函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 已知函数，则(    ) A．14 B．5 C．1 D． 2.设函数，则方程的实根个数为(    ) A． B． C． D． 3.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 4.已知函数，若，且，设，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 5.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2.若函数f(x)满足，则是(　　) A． B． C． D．或 3.已知函数，函数的值域为(    ) A． B． C． D． 4.已知函数，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 5.函数的值域为(    ) A． B． C． D． 6.函数的定义域为 . 7.给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 (写出所有正确的序号) 8.已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 9.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品(百台)，其总成本为(万元)，其中固定成本为万元，且每生产百台的生产成本为万元(总成本固定成本生产成本)．销售收入(万元)满足假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述规律，完成下列问题： (1)写出利润函数的解析式(利润销售收入总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量的范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【B组---提高题】 1.函数的值域为(    ) A． B． C． D． 2.已知二次函数，如果存在实数，使得的定义域和值域分别是和，则　 　． 3.已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素； 2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域； 3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法； 4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数； 5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象. 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[ 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 4 函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 5 分段函数 有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． 【题型一】 函数概念的理解 相关知识点讲解 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 (1)贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． (2)① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 【典题1】 下列式子中是的函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【详解】对于，满足函数的定义， 对于：的定义域为，故不满足函数的定义 对于，当时，都有个值相对应，故不满足函数的定义 故选：． 【典题2】若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是(    ) A．   B．C．   D． 【答案】C 【分析】 根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 变式练习 1.(多选)集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数， 选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数. 故选：AC. 2.下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．由得是函数关系． ．由，得是函数关系， ．由，得，此时值不唯一，不是函数关系， ．由，得是函数关系， 故选：． 3.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数定义作出判断. 【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求， D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误. 故选：D 4.已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的定义判断即可. 【详解】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C 【题型二】 求函数的定义域 相关知识点讲解 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集． 【典题1】 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足： 分母不为零：……① 负数不能开偶次方根：……② 由①②得：的定义域为. 故选：B. 【典题2】函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 变式练习 1. 函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次根式和分式的意义建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D 2.的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据具体函数定义域的要求列不等式组求解. 【详解】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 3.已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【详解】由于函数的定义域为，故，解得， 即函数的定义域为. 故选：A. 【题型三】 判断两个函数是否同一函数 相关知识点讲解 两个函数的定义域和解析式均相同，则该两个函数为同一函数. 【典题1】 下列函数中表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； 对于选项C：令，解得或，可知的定义域为， 令，解得，可知的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域均为， 且，即的对应关系相同， 所以为同一函数，故D正确； 故选：D. 变式练习 1.下列各组函数相等的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 2.(多选)下列四组函数中，表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】运用同一函数的定义依次判断即可. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，定义域且解析式相同两者是同一函数，A对. 对B，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数，B错. 对C，的定义域为，的定义域为，且函数解析式相同，则为同一函数，C对. 对D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，D错. 故选：AC 【题型四】 求函数的值域 相关知识点讲解 ① 概念：函数值的集合叫做函数的值域． ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【典题1】 下列函数的定义域与值域相同的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 【典题2】函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】 将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【典题3】函数的值域为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则 值域为． 故选：． 变式练习 1. 函数的值域是( )． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以得，故选． 2.函数，的值域是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 3.已知则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围. 【详解】由有意义可得， 设，则，， 所以， 所以， 故选：C. 4.函数的值域是(　　) 【答案】B 【详解】原函数可化为， 令，则，且当时取等号， 所以．故函数的值域为． 故选：． 5.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 6.函数的值域是 . 【答案】 【详解】令，则 当，即时，无最小值. 函数的值域为. 【题型五】 求函数的解析式 【典题1】 求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【答案】(1)； (2)或. 【分析】(1)利用换元法即可得函数解析式. (2)利用待定系数法即可得到结论. 【详解】(1)令，则,, ， 所以. (2)由是一次函数，设，， 则， 则，，解得，，或，， 所以或. 变式练习 1. 已知是二次函数且，，求. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设，所以， 而， 所以， 由待定系数法可知，解得， 所以. 2.已知函数，求函数的解析式. 【答案】 【分析】用换元法，令代入计算即可. 【详解】令 ，则 ， 所以， 所以的解析式为. 3.已知一次函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)直接由待定系数法列出方程组即可求解. (2)所求式子为对称结构，通过验证发现，由此通过分组求和即可求解. 【详解】(1)设. 则， 于是有，解得， . (2)由(1)知，则，. ，， . 4.已知定义在R上的函数，满足. (1)求的解析式； (2)若点在图像上自由运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)用替换已知中的，然后解方程； (2)利用基本不等式求最值. 【详解】(1)因为，① 所以，② 由①②可解得：. (2)由题知：， ∴ (当且仅当，即时取“＝”). ∴的最小值为8. 【题型六】 与分段函数有关的问题 相关知识点讲解 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【典题1】 已知函数，则(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义代入运算. 【详解】由题，. 故选：D. 【典题2】已知函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 变式练习 1. 已知函数，则(    ) A．14 B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量代入相应的解析式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：B 2.设函数，则方程的实根个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则方程即，结合函数解析式分段求得t的值，继而再解，即可求得的解，即得答案. 【详解】令，则方程即， 当时，；当时，； 当时，若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 当时，若，则，符合题意； 若，则，符合题意， 即方程的实根个数为3， 故选：B 3.函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果. 【详解】当时，， 则当时，，当时，，则； 当时，； 综上所述，. 故选：C 4.已知函数，若，且，设，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助分段函数图象得出的范围，由的关系，化为关于的二次函数，由此可得最大值． 【详解】作出函数的图象如下图， ，令，解得或， 若，且，即有，， 可得，可得， 则，， 对称轴为， 当时，取最大值． 故选：C． 5.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】 【详解】函数的图象，如图， 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足； 则的取值范围是：； 即． 故选：． 【A组---基础题】 1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 2.若函数f(x)满足，则是(　　) A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】令，则，所以． 所以． 故选：． 3.已知函数，函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 4.已知函数，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答. 【详解】函数，则不等式等价于或者， 解得：，解得：或，于是得或， 所以不等式的解集是. 故选：A 5.函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 6.函数的定义域为 . 【答案】或 【详解】要使函数的解析式有意义， 自变量须满足： ，解得或 故函数的定义域为或 7.给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 (写出所有正确的序号) 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 8.已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 【答案】 【分析】依题设出函数解析式，根据条件代入化简，得到方程组，解之即得. 【详解】设一次函数， 由，可得， 整理得，由于的任意性， 所以，解得， 故的解析式为. 9.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品(百台)，其总成本为(万元)，其中固定成本为万元，且每生产百台的生产成本为万元(总成本固定成本生产成本)．销售收入(万元)满足假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述规律，完成下列问题： (1)写出利润函数的解析式(利润销售收入总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量的范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【答案】(1) , (2) 当产量大于台，小于台时，能使工厂有盈利, (3) 当工厂生产台时，可使盈利最大为万元． 【分析】依题设出函数解析式，根据条件代入化简，得到方程组，解之即得. 【详解】(1)由题意得． ． (2)①当时，由得：，解得． 所以． ②当时，由解得．所以． 综上得当时有． 所以当产量大于台，小于台时，能使工厂有盈利． (3)当时，函数递减， (万元)． 当时，函数， 当时，有最大值为(万元)． 所以，当工厂生产台时，可使盈利最大为万元． 【B组---提高题】 1.函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】，画出函数图像，如图所示：    根据图像知，函数值域为. 故选：B 2.已知二次函数，如果存在实数，使得的定义域和值域分别是和，则　 　． 【答案】 【详解】根据题意，二次函数的对称轴为，最大值为； 分种情况讨论： ①当时，在上递增，则有， 解可得，，此时； ②当时，f(x)的最小值为，解可得， 与矛盾，不符合题意； ③当时，在上递减， 若的值域分别是，必有，则有不符合题意； 故； 3.已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】(1)根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； (2)①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】(1)因为，所以，则， 又 ， 当时，， 所以，又， 所以； (2)依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则 . 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则 ； 当，即，对称轴，开口向下， 则 ， 当，即时，开口向下， ； 综上，. ②当时，，则，解得或(舍去)； 当时，，则，解得(舍去)； 当时，，则，解得(舍去)； 当时，，则； 当时，，则，解得(舍去)； 当时，，则，解得(舍去)； 综上，或，即. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$