第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 2 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 【题型一】解不含参的一元二次不等式 相关知识点讲解 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【典题1】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 【典题2】关于的不等式：的解集为(   ) A． B． C． D． 变式练习 1. (2024·浙江·模拟预测)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3.不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 4.不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 解含参的一元二次不等式 【典题1】 不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【典题2】解关于的不等式 ． 变式练习 1. 若，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 2.不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D．不等式的解集与a有关，要分类讨论 3.若，则不等式的解集是(    )． A． B． C． D． 4.若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5.若，解关于的不等式． 【题型三】 三个“二次”之间的关系 【典题1】 若不等式的解集是 (1)求不等式的解集． (2)已知二次不等式的解集为， 求关于的不等式的解集． 变式练习 1. 一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 2.(2020·山东·高考真题)已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 3.已知关于的方程 求： (1)方程有两个正根的充要条件．(2)方程至少有一个正根的充要条件． 【题型四】 一元二次不等式恒成立与有解问题 【典题1】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【典题2】已知二次函数，当时，；当，． (1)求，的值； (2)解关于的不等式：； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 变式练习 1. 若不等式的解集为，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 2.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 5.已知函数)，若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. (i)对任意的恒成立，求实数的取值范围； (ii)求不等式的解集. 8.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， (i)解关于x的不等式； (i)若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【A组---基础题】 1.已知集合，则(    ) A． B． C． D． 2.(2024·天津·一模)设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 4.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 5.设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.不等式的解集为 . 7.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 8.函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 9.已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【B组---提高题】 1.(2022•潍坊二模)已知正实数满足，则的最大值为( ) A． B． C． D． 2.已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 2 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 【题型一】解不含参的一元二次不等式 相关知识点讲解 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【典题1】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 【解析】 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 或 无解 【典题2】关于的不等式：的解集为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 变式练习 1. (2024·浙江·模拟预测)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【详解】， 所以， 故选：C 2.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 3.不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【详解】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 4.不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【详解】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 【题型二】 解含参的一元二次不等式 【典题1】 不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 【典题2】解关于的不等式 ． 【详解】方程中， ①当即时，不等式的解集是， ②当，即时，不等式的解集是， ③当即时， 由解得：， 时，不等式的解集是， 综上，时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是． 变式练习 1. 若，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 2.不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D．不等式的解集与a有关，要分类讨论 【答案】A 【分析】解含有参数的一元二次不等式，求出解集. 【详解】变形为， 显然，故不等式的解集为. 故选：A 3.若，则不等式的解集是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可. 【详解】由 可得或 则不等式的解集是 故选：D 4.若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解，分三种情况讨论 【详解】因为 所以 (1)当时，不等式的解集为，,若不等式的解集中恰有个整数，则满足； (2)当时，易得解集为，所以不成立； (3)当时，不等式的解集为，若不等式的解集中恰有个整数，则满足. 综上：的范围为 故选：C. 5.若，解关于的不等式． 【详解】当时，． 当时，． 当时，，解得． 当时，． 当时， 当时，，或． 当时，，或． 当时，解集是； 当时，解集是； 当时，解集是； 当时，解集是． 【题型三】 三个“二次”之间的关系 【典题1】 若不等式的解集是 (1)求不等式的解集． (2)已知二次不等式的解集为， 求关于的不等式的解集． 【详解】(1)因为等式的解集是}， 所以和是一元二次方程的两根， ，解得， 不等式可化为，即， ，解得， 所以不等式的解集为； (2)由(1)知，二次不等式的解集为， 和是一元二次方程的两根， ，，解得，， 所以不等式可化为：， 即，解得． 所以关于的不等式的解集为． 变式练习 1. 一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 2.(2020·山东·高考真题)已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 3.已知关于的方程 求： (1)方程有两个正根的充要条件． (2)方程至少有一个正根的充要条件． 【详解】 (1)方程有两个实根的充要条件是：， 即：， 即：或且， 设此时方程两根为 有两正根的充要条件是： 或即为所求． (2)从(1)知或方程有两个正根 当时，方程化为有一个正根 方程有一正、一负根的充要条件是： 综上：方程至少有一正根的充要条件是或． 【题型四】 一元二次不等式恒成立与有解问题 【典题1】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在区间内有解，仅需，利用一元二次函数的图像和性质求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以由一元二次函数的图像和性质的得， 所以， 故选：D 【典题2】已知二次函数，当时，；当，． (1)求，的值； (2)解关于的不等式：； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)解集见详解；(3) 【解析】(1)将和代入方程解得； (2)将值代入不等式求解并讨论大小范围得结果； (3)化简不等式并分离参数，由恒成立问题转为最值问题，再用均值不等式求解. 【详解】解：(1)由题意知是方程的根，所以 解得 (2)由(1)知代入得 即 当时，不等式无解集；当时，不等式解集为 ；当时，不等式解集为； (3)由(1)知 所以，得，在上恒成立， 又因为当且仅当时等号成立，所以 变式练习 1. 若不等式的解集为，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求. 【详解】①当时，成立 ②当 时，若不等式的解集为， 则不等式在恒成立， 则， 解得： 综上，实数的取值范围是 故选：D. 2.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，讨论二次项系数的取值情况，找出满足不等式无解的的取值集合即可. 【详解】解：当时，，此不等式无解； 当，要使原不等式无解，应满足： ， 解得：. 故选：D. 3.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 4.存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可. 【详解】存在，使得不等式成立，等价于． 令，，当时，，所以． 故选：B 5.已知函数)，若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围. 【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个， 所以方程有两个实根，即， 解得或(舍去)， 当时，又 ，， 所以要使集合有且只有一个元素，则有， 解得，故． 故选：． 6.若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值. 令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 7.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. (i)对任意的恒成立，求实数的取值范围； (ii)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)(i)；(ii)答案见解析. 【分析】(1)不等式的解集为，等价于的两根为和，且，根据韦达定理求解； (2)(i)对恒成立 对恒成立，由一次函数的性质即可求解； (ii)分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】(1)由题意可知的两根为和，且， ∴由根与系数的关系得，解得. (2). (i)∵对恒成立 对恒成立 对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得， 故的取值范围为. (ii) ， 当，则，解得； 当，则，解得或； 当，则， 当时，，解，得； 当时，，解，得； 当时，，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8.已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， (i)解关于x的不等式； (i)若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)(i)答案见解析； (i i) 【分析】(1)根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； (2)(i)由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； (i i)由(i)中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【详解】(1)解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. (2)解：(i)由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (i i)由(i)知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 【A组---基础题】 1.已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合和集合即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2.(2024·天津·一模)设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】由，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集求出a、b和c的关系，代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集． 【详解】不等式的解集是，所以方程的解是和，且， 则，解得，， 所以不等式化为，即，解得， 所以，所求不等式的解集是． 故选：A． 4.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论、、求对应解集，根据解集中整数解个数确定a的范围即可. 【详解】由， 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 当时，无解，不合题意； 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 综上，或. 故选：C 5.设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可. 【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则. 故选：A 6.不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由，将原不等式转化为求解. 【详解】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解. 【详解】 由，解得，所以， 对于，即， 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8.函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； (2)讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； (3)利用韦达定理及限制条件可得答案. 【详解】(1)当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. (2)当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. (3)有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 9.已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)分类讨论，结合二次函数性质可得； (2)由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得. 【详解】(1)当时，或. 当时，恒成立； 当时，，解得，不恒成立，舍去. 当时， 解得或. 综上可知，k的取值范围为或. (2)由可得或. 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 所以关于x的方程有两个不相等的负根， 设为，，则， 解得， 综上可知，k的取值范围为. 【B组---提高题】 1.(2022•潍坊二模)已知正实数满足，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】 【详解】设，即代入原式整理得， 因为，所以关于的方程有正根． 即，解得， 所以， 所以的最大值为，即选项正确． 故选：． 2.已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】(1)对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； (2)，对，与分类讨论，可分别求得其解集 (3)，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【详解】(1)根据题意，当，即时，，不合题意； 当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． (2)，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. (3)，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$