第07讲 基本不等式 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念； 2.理解基本不等式的证明过程； 3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式； 4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题. 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【题型一】对基本不等式的证明 【典题1】 代数法证明：若，则 (当且仅当时，等号成立). 变式练习 1. 几何法证明：若，则 (当且仅当时，等号成立). 【题型二】对基本不等式的理解 相关知识点讲解 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【典题1】 (多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】下列不等式中等号可以取到的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 2.不等式中，等号成立的条件是(    ) A． B． C． D． 3.下列说法正确的是(    ) A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 4.(多选)下列各式中，最小值为2的是(    ) A． B． C． D． 【题型三】基本不等式应用的常见方法 方法1 直接法 【典题1】 当时，函数(    ) A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【典题2】(2024·浙江嘉兴·二模)若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D．2 变式练习 1. (2024·重庆·模拟预测)若实数，满足， 则 的最小值为(    ) A．2 B． C．4 D． 2.(2024·甘肃定西·一模)的最小值为(    ) A． B． C． D． 3.已知，则的最小值为(    ) A．5 B．3 C． D．或3 4.若正数a，b满足，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 5.(2024·全国·模拟预测)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 方法2 凑项法 【典题1】 已知实数x，y满足，且，则的最小值为(     ) A． B．8 C． D． 变式练习 1. 已知，则的最小值为(    ) A． B．2 C． D． 2.函数的最小值为(    ) A．2 B．5 C．6 D．7 3.已知，则的最大值是( ) A． B．3 C．1 D．6 4.已知，，则的最小值为( ) A．8 B．4 C． D． 5.已知，则的最小值是 . 方法3 巧“1”法 【典题1】 若，且，则的最小值是(    ) A． B． C．2 D． 【典题2】若，则的最小值是(    ) A． B．6 C． D．9 变式练习 1. 已知且，则的最小值为(　　) A． B．8 C．9 D．10 2.(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x，y满足，则的最小值为(     ) A．8 B．9 C．10 D．11 3.已知，，，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题 【典题1】 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题2】设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是(    ) A． B．2 C．1 D． 变式练习 1. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 4.(2023·广东湛江·二模)当，时，恒成立，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.已知函数，则当时，有(    ) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2.若正数满足，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.已知正实数满足，则的最小值是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 4.设，若恒成立，则的最大值为(    ) A．16 B．2 C．8 D．1 5.(2024·湖南·模拟预测)(多选)已知，则(    ) A． B． C． D． 6.已知，则的最大值为 ． 7.已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 8.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【B组---提高题】 1.(2024·江西·一模)已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本不等式 1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念； 2.理解基本不等式的证明过程； 3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式； 4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题. 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【题型一】对基本不等式的证明 【典题1】 代数法证明：若，则 (当且仅当时，等号成立). 【解析】， 且当仅当当时，等号成立； 即 (当且仅当时，等号成立). 变式练习 1. 几何法证明：若，则 (当且仅当时，等号成立). 【解析】 如下图，点在以为直径的圆上，且， 设，， 易证，得，即， 又因为，所以，且当即时取到等号. 【题型二】对基本不等式的理解 相关知识点讲解 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【典题1】 (多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式“，当且仅当时等号成立”逐一运算分析判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大(小)值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大(小)值，故D错误； 故选：BC. 【典题2】下列不等式中等号可以取到的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 变式练习 1.下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 【答案】①③④ 【分析】根据基本不等式成立的条件可得同号即可判断. 【详解】要使成立，只需即可，此时，当且仅当等号成立，若，则不等式不成立，即只需同号即可，故选项①③④满足. 故答案为：①③④. 2.不等式中，等号成立的条件是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3.下列说法正确的是(    ) A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 4.(多选)下列各式中，最小值为2的是(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 【题型三】基本不等式应用的常见方法 方法1 直接法 【典题1】 当时，函数(    ) A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 【典题2】(2024·浙江嘉兴·二模)若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 变式练习 1. (2024·重庆·模拟预测)若实数，满足， 则 的最小值为(    ) A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 2.(2024·甘肃定西·一模)的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 3.已知，则的最小值为(    ) A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 4.若正数a，b满足，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 5.(2024·全国·模拟预测)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 方法2 凑项法 【典题1】 已知实数x，y满足，且，则的最小值为(     ) A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 变式练习 1. 已知，则的最小值为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确. 故选：C. 2.函数的最小值为(    ) A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 3.已知，则的最大值是( ) A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】 ，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 4.已知，，则的最小值为( ) A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 5.已知，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是6. 故答案为：6. 方法3 巧“1”法 【典题1】 若，且，则的最小值是(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 故选：A. 【典题2】若，则的最小值是(    ) A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 变式练习 1. 已知且，则的最小值为(　　) A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 2.(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x，y满足，则的最小值为(     ) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】易知，则 ， 当且仅当，即时取得等号. 故选：B 3.已知，，，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题 【典题1】 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 【典题2】设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是(    ) A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】将不等式恒成立转化为,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案. 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 变式练习 1. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 2.已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3.若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【详解】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 4.(2023·广东湛江·二模)当，时，恒成立，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果. 【详解】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即． 故选：A. 【A组---基础题】 1.已知函数，则当时，有(    ) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 2.若正数满足，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知为正数，且， 所以，化简得，解得， 当且仅当时取等号，所以，故A正确. 故选：A. 3.已知正实数满足，则的最小值是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 4.设，若恒成立，则的最大值为(    ) A．16 B．2 C．8 D．1 【答案】C 【分析】根据条件推出，即可将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值，结合不等式恒成立即得答案. 【详解】因为，故， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 由于恒成立，故， 即的最大值为8， 故选：C 5.(2024·湖南·模拟预测)(多选)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式逐一分析各选项即可得解. 【详解】解析：对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 由及，可知，则当， 即时，取得最小值，故D正确． 故选：BD． 6.已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 利用基本不等式求算式的最大值. 【详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值. 故答案为： 7.已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【分析】(1)应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. (2)将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】(1)， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． (2)解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 8.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)长度为4米时，报价最低 (2) 【分析】(1)首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； (2)由(1)可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题. 【详解】(1)设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为)， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； (2)由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 【B组---提高题】 1.(2024·江西·一模)已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 10 学科网（北京）股份有限公司 $$