第06讲 等式性质与不等式性质 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’ 2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。 1等式的性质 (1)如果，那么； (2)如果，，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么； (5)如果，，那么. 2 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 3 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【题型一】利用不等式的性质判断命题的真假 相关知识点讲解 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 解释 加法法则中，但不能得到； 倒数法则中不能得到，要注意的限制； 乘方法则：中，要注意均为正数的限制. 【典题1】 (多选)若，，则( ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·北京丰台·二模)若，且，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 2.(多选)若，则下列命题中为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.(多选)已知，则下列不等式中恒成立的是(    ) A． B． C． D． 4.(2024·广西·二模)(多选)已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 相关知识点讲解 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【典题1】 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【典题2】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 变式练习 1.设a，b，m都是正数，且，记，则(    ) A． B． C． D．与的大小与的取值有关 2.设，则“”是“”成立的(    ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(    ) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 4.(多选)已知，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5. (1)若，试比较和的大小； (2)若，试比较和的大小； 【题型三】求代数式的取值范围 【典题1】 (多选)已知，，则以下正确的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知，，则的取值范围为 . 2.已知且，则的取值范围是 . 3.(多选)已知，，某同学求出了如下结论，则下列判断中正确的是(   ) A． B． C． D． 4.(2024·河北石家庄·二模)若实数，且，则的取值范围是 . 【题型四】由不等式的性质证明不等式 【典题1】 (1)设a，b为正实数，求证：． (2)设a，b，c为正实数，求证：． 【典题2】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 变式练习 1. 已知，求证：． 2.已知为正实数．求证：. 3.设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 4.已知，求证：的充要条件是． 【A组---基础题】 1.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( ) A、 B、 C、 D、 2.已知，那么下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 3.(2022•安徽模拟)已知，且，则以下不正确的是( ) A． B． C． D． 4.若，，则P，Q的大小关系是(　　) 由的取值确定 5.(多选)若，则下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.设，则的大小关系为 ． 7.已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 8.(1)，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； (2)证明：已知，且，求证： 9.证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 10.已知：a，b，c为的三边长， (1)当时，试判断的形状，并证明你的结论； (2)判断代数式值的符号. 【B组---提高题】 1.已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 2.，，，，设，证明：. 3.给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 1.理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；’ 2.掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。 1等式的性质 (1)如果，那么； (2)如果，，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么； (5)如果，，那么. 2 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 3 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【题型一】利用不等式的性质判断命题的真假 相关知识点讲解 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. 解释 加法法则中，但不能得到； 倒数法则中不能得到，要注意的限制； 乘方法则：中，要注意均为正数的限制. 【典题1】 (多选)若，，则( ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 【典题2】(2024·北京丰台·二模)若，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 变式练习 1.下列命题为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可，再利用不等式的运算法则与同向可加性的性质即可判断B. 【详解】对于A：当，，故A错误； 对于B： ，，因为，所以，故B正确； 对于C：当，时，则，，， 则，故C错误； 对于D：当时，，，则，故D错误； 故选：B. 2.(多选)若，则下列命题中为真命题的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 3.(多选)已知，则下列不等式中恒成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断；由特值法可判断. 【详解】由，得. 对于A，由，，得成立，该选项正确； 对于B，取，，，得，， 此时，该选项错误； 对于C，由，，得，所以成立，该选项正确； 对于D，取，，，得，，此时，该选项错误. 故选：AC. 4.(2024·广西·二模)(多选)已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 【题型二】 比较两个数(或式)的大小 相关知识点讲解 比较两个实数(或代数式)大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) (3)中间值法，若要证明，只需要在中间找一个数，即证明且. 其实质是不等式的传递性:若，，则. 【典题1】 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差即可判断. 【详解】时，， ， 故. 故选：B. 【典题2】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】(1)解：，， 因为， 所以， 即； (2)解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； (3)方法一(作差法) ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二(作商法) 因为，所以，，， 所以， 所以． 变式练习 1.设a，b，m都是正数，且，记，则(    ) A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 2.设，则“”是“”成立的(    ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件. 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 3.已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(    ) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 4.(多选)已知，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得. 【详解】选项A，若，由， 则有，故A正确； 选项B，法一：当时， ，故B错误； 法二：由，则， 由， 则，故B错误； 选项C，当时， ，，故C错误； 选项D，由，得， 则，故D正确. 故选：AD. 5. (1)若，试比较和的大小； (2)若，试比较和的大小； 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)两式作差整理，分别讨论，，三种情况，即可得出结果； (2)两式作商，根据题中条件，即可证明结论成立. 【详解】(1)作差得：； 所以当时，； 当时，； 当时，； (2)作商得：， ∵，∴，且， ∴，因此. 【题型三】求代数式的取值范围 【典题1】 (多选)已知，，则以下正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断ABC，利用特殊值排除D，从而得解. 【详解】因为，，所以， 对于A，当，时，； 当，时，，则，即； 当，时，，则，即； 当，时，，，则； 综上，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误， 故选：ABC. 变式练习 1.已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 2.已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 3.(多选)已知，，某同学求出了如下结论，则下列判断中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质进行逐个判断即可 【详解】对于A，因为, 所以由 可得,, 则，故正确； 对于B，因为 ，，即， 所以，故正确； 对于C，因为，，， 所以，故不正确； 对于D，因为，，，所以，故正确， 故选：ABD 4.(2024·河北石家庄·二模)若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 【题型四】由不等式的性质证明不等式 【典题1】 (1)设a，b为正实数，求证：． (2)设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】(1)证明见解析 ；(2)证明见解析 ． 【分析】(1)(2)根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明. 【详解】(1)因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． (2)由(1)，得． 同理，得， 所以 ， 当且仅当时，取等号． 【典题2】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)用作差比较法即可； (2)结合(1)的结论即可证明. 【详解】(1)若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. (2)在锐角三角形中，由(1)得， 同理， . 以上式子相加得. 变式练习 1. 已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用作商法得到等式，再判断，，得到证明. 【详解】． ，，，，，，． ，同理得，，． 又，． 2.已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 3.设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)先根据表示出，结合的符号可证结论； (2)利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】(1)证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； (2). ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 4.已知，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由不等式的性质及充要条件的含义证明． 【详解】证明：充分性(条件结论) 因为，所以， 又，所以， 所以充分性成立； 必要性(结论条件) 因为， 而，所以， 所以，所以必要性成立． 综上，的充要条件是． 【A组---基础题】 1.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( ) A、 B、 C、 D、 【答案】C. 【详解】若，不成立； 若不成立；若，， 则，所以不成立 ，故选. 2.已知，那么下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特值或不等式的性质可得答案. 【详解】对于A， ，而，A不成立； 对于B，，而，B不成立； 对于C，，因为，所以，，即，C不成立； 对于D，，因为，所以，即，D成立. 故选：D 3.(2022•安徽模拟)已知，且，则以下不正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，； 即选项正确； ，， 即，即， 故选项正确； ，， 即选项错误； 故选：． 4.若，，则P，Q的大小关系是(　　) 由的取值确定 【答案】B 【详解】，，， ， ， ，且，， ． 故选． 5.(多选)若，则下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例判断A；作差法判断BCD. 【详解】对于A：，当时，，A错误； 对于B：，由得，所以，即，B正确； 对于C：，由得，所以，即，C正确； 对于D：， 由得，所以，即，D正确. 故选：BCD. 6.设，则的大小关系为 ． 【答案】 ， ． 7.已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 又， 所以， 所以， 即的取值范围是. 因为所以， 即， 所以的取值范围是 答案：, 8.(1)，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； (2)证明：已知，且，求证： 【答案】(1) ；(2)证明见解析 ． 【分析】(1)利用作差法判断即可； (2)根据不等式的性质证明即可． 【详解】(1)因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； (2)因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 9.证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】(1)证明：因为， 又因为，所以，所以． (2)证明：由， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 10.已知：a，b，c为的三边长， (1)当时，试判断的形状，并证明你的结论； (2)判断代数式值的符号. 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2)符号为负 【分析】借助完全平方公式整理可得，进而得到，从而求解； 借助完全平方公式和平方差公式整理可得，进而结合三角形三边关系求解即可. 【详解】(1)为等边三角形，证明如下： 因为， 所以， 即， 即， 所以，，，即， 所以为等边三角形． (2)由， 因为在中，，， 所以， 所以， 即代数式值的符号为负. 【B组---提高题】 1.已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可. 【详解】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 2.，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】 因为，故，，，. 故有； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 3.给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)作差法比较大小； (2)利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【详解】(1)由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； (2)证明：由(1) ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$