第03讲 集合的基本运算-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集和并集，会求给定集合的补集； 3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4.通过图描述几何的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用. 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 2 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 3 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 4 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 5 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【例】将下列集合用区间表示出来． (1)；(2)；(3)；(4)或． 【题型一】求集合的并集 相关知识点讲解 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 解释 1生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的小明由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. Eg：，， . 2 并集的性质，可以用图进行理解. 【典题1】 (2024·四川南充·二模)设集合，，则等于(    ) A． B． C． D． 【典题2】(2024·全国·模拟预测)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【典题3】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合，若，则(    ) A．3 B．2 C．1 D．1或3 变式练习 1. (2023·福建泉州·三模)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 2.设集合，则(    ) A． B． C． D． 3.已知集合，，且，则实数n的值为(     ) A．0 B．1 C．0或 D． 4.(2024·全国·模拟预测)设集合．若，则(    ) A． B．2 C．3 D．4 5.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为(    ) A． B． C． D． 6.(2024·安徽阜阳·一模)设集合或，集合，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【题型二】求集合的交集 相关知识点讲解 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 解释 1交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的小明虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. 2当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． Eg：，， . 3交集的性质，可以用图进行理解. 【典题1】(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知集合，且，则(     ) A． B． C．或 D． 【典题2】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合..若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【典题3】已知集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. (2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2.若集合，，则(   ) A． B． C． D． 3.(2024·重庆·模拟预测)设集合，，若， 则(    ) A．1 B． C．2 D． 4.已知集合，则(    ) A． B． C． D． 5.设集合，．若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.已知集合，，记.则下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【题型三】求集合的补集 相关知识点讲解 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ；，； ；； 解释 1 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． Eg：，，，则，； ，则. 【典题1】 (2024·北京海淀·一模)已知全集，集合，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】设全集，集合，则(    ) A．3 B． C．4 D．2 变式练习 1. 设集合，则(    ) A． B． C． D． 2.(2024·四川攀枝花·三模)已知全集，则=(    ) A． B． C． D． 3.(2024·四川成都·三模)设全集，若集合满足，则(    ) A． B． C． D． 4.设全集，集合，，则(   ) A． B． C． D． 5.已知集合，集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 6.(2023·河南驻马店·一模)已知全集，若，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四】根据图求集合的运算 【典题1】 (2024高三·全国·专题练习)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 变式练习 1. (2024·北京东城·一模)如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是(    )    A． B． C． D． 2.(2024·陕西西安·二模)已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【题型五】集合运算的综合问题 【典题1】 已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 变式练习 1.已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 2.设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 3.集合，，其中，且，又知，，中所有元素和是，求集合. 【A组---基础题】 1.(2024·天津红桥·一模)已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 2.已知集合，，则(   ) A． B． C． D． 3.(2023·河南信阳·三模)设集合，集合为20以内的质数，则集合的元素个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 4.设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是(    )    A． B． C． D． 5.(2024·河北邢台·二模)下列集合关系不成立的是(    ) A． B． C． D． 6.(2023·河南驻马店·一模)设全集，集合，则 . 7.(23-24高一上·湖南长沙·期末)已知集合或． (1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围． 8.已知全集，集合，，. (1)求，；(2)若，求实数的取值范围. 9.设集合， (1)若，求；(2)若，求实数的取值范围. 【B组---提高题】 1.(多选)如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(    ) A． B． C． D． 2.对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω. (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω. (2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且，使. (3)若存在A､B具有性质Ω，且，使，求n的最大值. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集和并集，会求给定集合的补集； 3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4.通过图描述几何的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用. 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 2 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 3 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 4 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 5 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【例】将下列集合用区间表示出来． (1)；(2)；(3)；(4)或． 解析 (1) ；(2) ；(3) ；(4)． 【题型一】求集合的并集 相关知识点讲解 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 解释 1生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的小明由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. Eg：，， . 2 并集的性质，可以用图进行理解. 【典题1】 (2024·四川南充·二模)设集合，，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据并集的定义写出. 【详解】 ， . 故选：D. 【典题2】(2024·全国·模拟预测)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 【典题3】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合，若，则(    ) A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】C 【分析】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案. 【详解】由题意知：对于集合B，当时，；当时，； 当时，； 又，故，则， 若，则，此时， 不满足； 若，此时，满足， 故， 故选：C 变式练习 1. (2023·福建泉州·三模)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，且， 所以 . 故选：A 2.设集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】由，可知，. 故选：D 3.已知集合，，且，则实数n的值为(     ) A．0 B．1 C．0或 D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解. 【详解】由题意，所以，而，即， 所以或，解得或满足题意. 故选：C. 4.(2024·全国·模拟预测)设集合．若，则(    ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，以及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 由，得或； 由得，所以．此时符合题意， 故选：B． 5.(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或(舍去)或. 故选：D． 6.(2024·安徽阜阳·一模)设集合或，集合，且，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案. 【详解】 因为或，，且， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B． 【题型二】求集合的交集 相关知识点讲解 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 解释 1交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的小明虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. 2当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． Eg：，， . 3交集的性质，可以用图进行理解. 【典题1】(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知集合，且，则(     ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【典题2】(2024·辽宁·模拟预测)已知集合..若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可. 【详解】集合.. ， . 故选：C 【典题3】已知集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集结果得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由可得，所以且，解得. 故选：B． 变式练习 1. (2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2.若集合，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3.(2024·重庆·模拟预测)设集合，，若， 则(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】借助集合交集的定义计算即可得. 【详解】当时，，则， 即此时，，不符合要求； 当时，，则， 即此时，，符合要求； 故. 故选：B. 4.已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为 ， 所以. 故选：C. 5.设集合，．若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接得到的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 即实数的取值范围是. 故选：D 6.已知集合，，记.则下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 【题型三】求集合的补集 相关知识点讲解 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 解释 1 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． Eg：，，，则，； ，则. 【典题1】 (2024·北京海淀·一模)已知全集，集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 【典题2】设全集，集合，则(    ) A．3 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】由全集与补集的概念可得. 【详解】已知，由补集概念知，， 由集合中元素的互异性知，， 又全集，因为，且 所以， 则解得． 故选：D. 变式练习 1. 设集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集、并集和补集运算即可得解. 【详解】由题意可知. 故选：C． 2.(2024·四川攀枝花·三模)已知全集，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故 ，所以 . 故选：D. 3.(2024·四川成都·三模)设全集，若集合满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得. 【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确； 不能判断，也不能判断，CD错误. 故选：B 4.设全集，集合，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集、补集的定义求解即可 【详解】， 又，所以，又， 故选：B 5.已知集合，集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集和补集的运算得出即可. 【详解】由，所以， 故选：A． 6.(2023·河南驻马店·一模)已知全集，若，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 【题型四】根据图求集合的运算 【典题1】 (2024高三·全国·专题练习)已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为， 因为，，， 所以，则. 故选：A． 变式练习 1. (2024·北京东城·一模)如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 2.(2024·陕西西安·二模)已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析Venn图，图中的阴影部分为属于集合B且不属于集合A中的元素构成的集合，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，分析Venn图，可知阴影部分为， ，则， 故选：A. 【题型五】集合运算的综合问题 【典题1】 已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】(1)根据集合的并集定义求解即可； (2)由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】(1)当时，，则； (2)因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 变式练习 1. 已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】(1)根据补集和并集概念计算出答案； (2)分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】(1)时，，或， ； (2)，当时，，解得， 当时，，解得， 故实数的取值范围是. 2.设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】(1)由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； (2)由题意得出，求得值后，再代入检验． 【详解】(1)由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. (2)因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 3.集合，，其中，且，又知，，中所有元素和是，求集合. 【答案】. 【分析】本题首先可根据和得出、以及和中有一个等于，然后根据中所有元素和是得出，通过当时等式不成立得出，最后分类讨论、两种情况，即可得出结果. 【详解】因为，，即两个整数的平方之和为，且， 所以，，和中有一个等于， 因为中所有元素和是，， 所以， 若，此时，等式一定不成立， 因为，所以，， 若，则，解得； 若，则，解得，不满足题意， 综上所述，，，，，，. 【A组---基础题】 1.(2024·天津红桥·一模)已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故选：B. 2.已知集合，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的运算，分别求得集合，结合并集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，所以集合， 又由集合，所以. 故选：D. 3.(2023·河南信阳·三模)设集合，集合为20以内的质数，则集合的元素个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求出集合的元素，即可求得，从而求得答案. 【详解】由题意得， 为20以内的质数， 故，即的元素个数是3， 故选：B 4.设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解. 【详解】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是. 故选：C. 5.(2024·河北邢台·二模)下列集合关系不成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算，空集的概念可判断ABD，由韦恩图可判断C. 【详解】A：因为，故A正确； B：由空集的定义可知，故B正确； C：由图可知C正确；    D：因为空集中不包含任何元素，故D错误； 故选：D. 6.(2023·河南驻马店·一模)设全集，集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合集合的交集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，全集， 因为，可得，所以. 故答案为：. 7.(23-24高一上·湖南长沙·期末)已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由补集、并集的概念即可求解. (2)由包含关系分类讨论即可求解. 【详解】(1)当时，，或， 所以，因此，. (2)当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由，可得，解得，此时． 综上，，即实数的取值范围是. 8.已知全集，集合，，. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】(1)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案. (2)根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】(1)∵集合，，∴. 或，或， ∴或. (2)， 当时，即时，，此时，满足题意； 当时，即时，， 若，则或， 即或，∴. 综上，实数的取值范围为. 9.设集合， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】(1)把代入，利用并集、补集的定义求解即得. (2)利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】(1)当时，，而，因此， 所以或. (2)由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【B组---提高题】 1.(多选)如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴ 也符合题意． 故选：AC 2.对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω. (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω. (2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且，使. (3)若存在A､B具有性质Ω，且，使，求n的最大值. 【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质． (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质． (2)假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． (3)当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14． 【详解】(1)解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，； 当时，，集合，中的元素个数分别为9，， 集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 不具有性质． (2)证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，． 因为，所以， 不妨设．因为，所以，． 同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． (3)解：因为当时，，由(2)知，不存在，具有性质，且，使． 若，当时，， 取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集中除整数外，其余的数组成集合， 令，． 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且． 综上，所求的最大值为14． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$