第02讲 集合间的基本关系 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 1.能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 3.初步认识图，会用图表示两个集合的关系. 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) 【题型一】判断两个集合的包含关系 相关知识点讲解 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  Eg：；；. 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  Eg：；. ，而是错的。 类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即且. 【典题1】 (2024·云南贵州·二模)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知， ， ，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.设集合，则下列表述正确的是( ) A． B． C． D． 3.已知集合，那么(　　) A． B． C． D． 4.设集合，则正确的是(    ) A． B． C． D． 5.已知集合，，则 (    ) A． B． C． D． 6.(多选)已知集合，，下列说法正确的是(    ) A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 【题型二】求已知集合的子集或真子集个数 相关知识点讲解 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) Eg：集合的子集有，，，，，，，共个， 真子集有除了自身的其他个. 【典题1】 (2024·浙江·二模)已知集合，，若，则满足集合的个数为(    ) A．4 B．6 C．7 D．8 【典题2】(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知集合，则集合的子集个数为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 2.(23-24高一下·广东梅州·阶段练习)集合的子集的个数是(    ) A．16 B．8 C．7 D．4 3.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 4.(2024·重庆·三模)已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【题型三】根据两个集合的包含关系求参数 【典题1】 (2024·陕西西安·三模)设集合，，若，则(    ) A．2 B．3 C．1 D．1或2 【典题2】集合或，，若，则实数的范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.(2023·安徽芜湖·模拟预测)已知集合，，，则实数的值为(    ) A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 2.(2024·四川德阳·三模)已知集合，，若，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3.已知集合，集合，若，则的取值范围为 (    ) A． B． C． D． 4.(2021·陕西西安·模拟预测)已知集合或，，若，则实数的取值范围为(    ) A． B． C．或 D．或 5. (多选)已知集合，若，则实数的值为(    ) A．1 B．2 C． D． 6.(23-24高一上·上海·期中)已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【题型四】 综合应用 【典题1】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【典题2】已知集合. (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)集合,证明：B是A的真子集. 变式练习 1.设集合， (1)当时，求集合的真子集的个数. (2)当，时，求的取值范围. 2.(2023高一·江苏·专题练习)已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 3.(23-24高一上·上海浦东新·阶段练习)设 (1)证明：，(2)证明。 4.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【A组---基础题】 1.(23-24高一上·广东潮州·期中)已知集合，则(   ) A． B． C． D． 2.若，，，则这三个集合间的关系是( ) A． B． C． D． 3.已知集合，则满足⫋的集合的个数为(    ) A．8 B．7 C．4 D．3 4.(2024·辽宁抚顺·三模)设集合，若，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 5.(2024·广西·二模)已知集合，，若，则实数 ． 6.(2024高一上·全国·专题练习)设集合，集合，若且，则实数 . 7.集合，，试证明． 8.集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 【B组---提高题】 1.(2012高一·全国·竞赛)非空集合，满足条件：若，则．这样的M有(    )． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 2.(23-24高三上·北京朝阳·阶段练习)已知全集，非空集合.若在平面直角坐标系中，对中的任意点， 与关于轴、 轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数 ④若，则 其中正确命题的序号为 . 3.已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 1.能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 3.初步认识图，会用图表示两个集合的关系. 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) 【题型一】判断两个集合的包含关系 相关知识点讲解 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  Eg：；；. 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  Eg：；. ，而是错的。 类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即且. 【典题1】 (2024·云南贵州·二模)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以 . 故选：A 【典题2】已知， ， ，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案. 【详解】， ， 故； 当时，，当时，， 则. 故选：B． 变式练习 1.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可. 【详解】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 2.设集合，则下列表述正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 3.已知集合，那么(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 4.设集合，则正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代数式的关系计算判定集合间的关系即可. 【详解】由，可知集合是由所有奇数除以4的商构成的集合， 而，可知集合是由所有整数除以4的商构成的集合， 显然. 故选：B 5.已知集合，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合，元素的特征可判断它们的包含关系. 【详解】因为，， 故， 故选：B 6.(多选)已知集合，，下列说法正确的是(    ) A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 【答案】AD 【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定. 【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确. 选项B：当时，，不满足，故选项B错误. 若，则 ①当时，有，； ②当时，有此方程组无实数解； 所以若，则有，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 【题型二】求已知集合的子集或真子集个数 相关知识点讲解 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) Eg：集合的子集有，，，，，，，共个， 真子集有除了自身的其他个. 【典题1】 (2024·浙江·二模)已知集合，，若，则满足集合的个数为(    ) A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 【典题2】(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解. 【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以. 故选：A． 变式练习 1.已知集合，则集合的子集个数为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 2.(23-24高一下·广东梅州·阶段练习)集合的子集的个数是(    ) A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 3.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 4.(2024·重庆·三模)已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果. 【详解】集合，， 满足B的集合中必有元素2，3， 所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数， 所以满足B的集合的个数为个. 故答案为：7. 【题型三】根据两个集合的包含关系求参数 【典题1】 (2024·陕西西安·三模)设集合，，若，则(    ) A．2 B．3 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 综上可得. 故选：C 【典题2】集合或，，若，则实数的范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 变式练习 1.(2023·安徽芜湖·模拟预测)已知集合，，，则实数的值为(    ) A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 2.(2024·四川德阳·三模)已知集合，，若，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 3.已知集合，集合，若，则的取值范围为 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解. 【详解】集合， 集合， 因为，所以，解得. 故选：A. 4.(2021·陕西西安·模拟预测)已知集合或，，若，则实数的取值范围为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意，则可以分两种情况来讨论当时，即无解，当时，根据包含关系即可列出不等式组，从而即可求解. 【详解】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 5. (多选)已知集合，若，则实数的值为(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可. 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 6.(23-24高一上·上海·期中)已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 【题型四】 综合应用 【典题1】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】(1)分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； (2)分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； (3)分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】(1)若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. (2)若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由(1)可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . (3)因为，则有： 若，由(2)可知：； 若，则有： 若时，由(1)可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【典题2】已知集合. (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)集合,证明：B是A的真子集. 【答案】(1)，，. (2)证明见解析 【分析】(1)根据集合的定义即可判断； (2)由即可证明. 【详解】(1)∵，，∴，， 假设，m，， 则，且， ∵，或， 显然均无整数解，∴， ∴，，. (2)∵集合， 则恒有，∴， ∴即一切奇数都属于A，故B是A的子集. 又∵，， 所以B是A的真子集. 变式练习 1.设集合， (1)当时，求集合的真子集的个数. (2)当，时，求的取值范围. 【答案】(1)31个；(2) 【分析】(1)结合得到集合中的元素，则的子集的个数可求； (2)根据，可讨论B是否为空集，分别列出关于的不等式解出即可. 【详解】(1)∵， ∴， ∴集合的真子集的个数为个. (2))∵； ∴①时，，解得； ②时，，解得， 综上可得的取值范围为. 2.(2023高一·江苏·专题练习)已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1),(2)62. 【分析】(1)依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； (2)当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】(1)， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. (2) ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 3.(23-24高一上·上海浦东新·阶段练习)设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； (2)由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】(1)令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. (2)由(1)知， 又， 所以. 4.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)确定，并求出集合，写出的真子集即得； (2)分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】(1)当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. (2)当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 【A组---基础题】 1.(23-24高一上·广东潮州·期中)已知集合，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合包含关系判断即可. 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 2.若，，，则这三个集合间的关系是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 3.已知集合，则满足⫋的集合的个数为(    ) A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案. 【详解】由题意得， 又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集， 所以集合的个数为， 故选：B. 4.(2024·辽宁抚顺·三模)设集合，若，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由集合， 因为，所以或，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选：C． 5.(2024·广西·二模)已知集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 6.(2024高一上·全国·专题练习)设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【分析】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是. 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 7.集合，，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】设，利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，再设，再次利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，综合即可证明. 【详解】(1)设，则，且． ①若是偶数，可设，，则，，∴； ②若是奇数，可设，，则，，∴． ∴不论是奇数还是偶数，都有．∴． (2)设，则，或，． ∵，或，，，， ∴，则． 由(1)(2)，得． 8.集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为 【分析】(1)根据真子集的性质进行求解即可； (2)根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】(1)若，， 因为， 所以； (2)方程的判别式为， 当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集， 当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集， 当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集， 综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为. 【B组---提高题】 1.(2012高一·全国·竞赛)非空集合，满足条件：若，则．这样的M有(    )． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】C 【分析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，列出所有结果即可得答案. 【详解】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空， 则可以为：，，，，，，， ，，，，，， ， 所以共有(个)． 故选：C. 2.(23-24高三上·北京朝阳·阶段练习)已知全集，非空集合.若在平面直角坐标系中，对中的任意点， 与关于轴、 轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数 ④若，则 其中正确命题的序号为 . 【答案】①③④ 【分析】根据给定定义，求出中的点的对称点判断①②③；求出关于轴，轴，和轴对称图形判断④. 【详解】依题意，中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称， 则当时，，，， 进而， 若，则，①正确； 若，则，，，中有4个元素，②不正确； 当，若，，中有4个元素；当，，中有个元素， 若，，中有8个元素；若，，中有4个元素；若，中有1个元素， 因此，中元素的个数为奇数，③正确； 若，由中的点在直角坐标系内形成的图形关于轴轴和直线均对称知， 则，， ，即， 即，④正确， 所以正确命题的序号为①③④. 故答案为：①③④ 3.已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出(1)(2)中所有满足条件的；对(3)，分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【详解】(1)所有可能的集合为：，，，. (2)不妨设：，由于，且 ， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. (3)(1)当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在， 使得. 又因，故. 则，则，结论成立. (2)当时，不妨设， 则)，在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$