假期作业26 平面的基本事实与推论-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教B版）

假期作业２６　平面的基本事实与推论　　　　　　　 １．三个基本事实 基本事实１:经过　　　　　　　的３个 点,有且只有一个平面． 基本事实２:如果一条直线上的　　　　在 一个平面内,那么这条直线在此平面内． 基本事实３:如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们　　　　　　　过该点的 公共直线． ２．三个推论 推论１:经过一条直线与直线外一点,有且 只有一个平面; 推论２:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论３:经过两条平行直线,有且只有一个平面． ３．空间直线的位置关系 共面直线 　　　　　 　　　　{ 异面直线:不同在　　　　一个平面内 ì î í ï ï ï ï ４．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 　　个 平行 a∥α 　　个 在平 面内 a⊂α 　　个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 　　个 相交 α∩β＝l 　　个 ◆[考点一]　平面的基本性质 １．下列两个相交平面的画法中正确的是 (　　) ２．下列命题中正确的个数为 (　　) ①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直 线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线; ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直 线l于A,B,C三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面五个点一定能确定１０个 平面． A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ３．下列四个命题中的真命题是 (　　) A．如果一条直线与另两条直线都相交,那 么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交,那么它们能 确定一个平面 C．如果三条直线相互平行,那么这三条直 线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么这三条直线确定一个平面 ４．若空间４个点不共面,则到这４个点距离都 相等的平面的个数为　　　　． ◆[考点二]　空间两直线的位置关系 ５．若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６ ６．(多选)如图所示,在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,M,N 分别是棱C１D１,C１C 的中点, 给出以下结论,其中正确的结 论为 (　　) A．直线AM 与直线C１C相交 B．直线AM 与直线BN 平行 C．直线AM 与直线DD１ 异面 D．直线BN 与直线MB１ 异面 ７．(２０２３􀅰上海卷)如图所示,在 正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中, 点P 为边A１C１ 上的动点,则 下列直线中,始终与直线BP 异面的是 (　　) A．DD１ B．AC C．AD１ D．B１C ８．如下图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点 或所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是 异面直线的图形有　　　　． ◆[考点三]　异面直线所成的角 ９．在正四面体PＧABC 中,D 为 PC 的中点,则直线 PB 与 AD 所成角的余弦值为 (　　) A．３３ B． ３ ２ C． ３ ６ D． ２ ３ ３ １０．如图,M 是正方体 ABCD－ A１B１C１D１ 的棱CD的中点,则 异面直线AM 与BC１ 所成的 角的余弦值是 (　　) A．１０５ 　B． ２ ５ ５ 　C． ５ ５　D． １０ １０ １１．(２０２３􀅰全国甲卷(理))在正方体ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分别为CD,A１B１ 的中 点,则以EF 为直径的球面与正方体每条 棱的交点总数为　　　　　． １２．如图,在三棱锥PＧABC中,PA＝４,BC＝６． (１)该棱锥的６条棱中,共有多少对异面直 线? 请一一列出． (２)若 PB 中点为 M,AC 中点为N,MN＝４,求异 面直线PA 与BC 所成角 的余弦值． １．若m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间 两个不同的平面,那么下列命题成立的是 (　　) A．若α∥m,β∥m,那么α∥β B．若m∥α,n⊂α,那么m∥n C．若m∥n,n∥α,那么m∥α D．若α∥β,m⊂α,那么m∥β ２．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２,E,F 分别是BC,CC１ 的中点,则平面AEF 截该 正方体所得的截面面积为 (　　) A．９８ B． ３ ２ C． ９ ４ D． ９ ２ 踏上幽径,追逐星光 人有两条路要走,一条是必须走的,一条是 想走的,你必须把必须走的路走漂亮才可以走想 走的路,有些路,你不走下去,就不会知道那边的 风景有多美,所以内心难过也不要把自己丢在黑 暗中．按时睡觉,好好吃饭,洗个热乎的澡,喝甜 甜的奶茶．看看长河落日,花朵树木,驱逐丧气再 努力奔跑,生活到处是发光的星星． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４６ 新题快递 １．C　[如 图 将 正 方 体 还 原 可 得 如 下 图形: 则VAＧA１MN ＝ １ ３ × １ ２ ×１×１×２＝ １ ３ ,VDＧND１C１＝ １ ３× １ ２×１×２×２＝ ２ ３ ,VABCDＧA１B１C１D１＝２ ３＝８,所以该几 何体的体积V＝８－１３－ ２ ３＝７． ] ２．解析:四 面 体 的 体 积 最 大 时 即 面SAB⊥面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB,BC＝ ５,AC＝ ３,所以∠ACB＝９０°, 取 AB 的 中 点 H, 连 接 CH,SH, SH ⊥AB,平 面 SAB∩ 平 面 ABC＝AB,SH 在 平 面 SAB 内,而SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２ 所以SH⊥平面ABC,所以VSＧABC＝ １ ３×S△ABC 􀅰SH ＝１３× １ ２× ５× ３× ２＝ ３０ ６ ; 则外接 球 的 球 心 在 SH 上,设 球 心 为 O,连 接 OC,CH＝ １ ２×AB＝ １ ２× ２×SA＝ ２ ,因为SH＝１２× ２×SA＝ ２ , 所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期作业２６ 思维整合室 １．不在一条直线上　两点　有且只有一条 ３．平行　相交　任何　４．１　０　无数　０　无数 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．C　[在①中,因为P,Q,R 三点既在平面ABC 上,又在平面 α上,所以这三点必在平面 ABC 与α 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a与b 确定一 个平面α,而l上有A,B 两点在该平面上,所以l⊂α,即a,b, l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β 有两条公共的直线a,l,所以α与β 重合,故这些直线共面, 故②正确;在③中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确 定７个平面,故③错．] ３．D　[对于 A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交,比如棱柱共点三条棱,这三条直线就不共面,也 不一定能确定一个平面,故 A、B错,对于 C,若三条直线相 互平行,其中两条可以确定一个平面,另一条可以与已知平 面平行,故 C错误,对于 D,一条直线与两条平行直线都相 交,这三条直线能确定一个平面．] ４．解析:当一个点在平面一侧,另三个点在平面另一侧时,这种 平面有４个;当平面两侧各有两个点时,这种平面有３个．故 共有７个． 答案:７ ５．C　[由 于a∥b,a,c 异面,此时,b和c 可 能相交,也即共面,如 图所示b与c 相交;b 和c 也 可 能 异 面,如 图所示b′与c异面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ６．CD　[AM 与C１C 异面,故 A 错;AM 与BN 异面,故B错． 易知 C、D正确．] ７．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交直 线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面直线; 对于 C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直线;对于 D,当点P 与C１ 重合时,BP 与B１C是相交直线．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且GM≠HN,所以直 线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．C　[取BC的中点为E,连接DE,AE,则DE∥PB, 所以∠ADE 为AD 与PB 所成的角(或其补角)． 设正四面体的棱长为２a, 则DE＝a,AD＝ ３a,AE＝ ３a, 所以在△ADE 中,cos∠ADE＝ (３a)２＋a２－(３a)２ ２× ３a􀅰a ＝ ３６． ] １０．A　[连接AD１,D１M(图略)．∵AB＝C１D１,AB∥C１D１, ∴四 边 形 ABC１D１ 为 平 行 四 边 形,则 AD１ ∥BC１,则 ∠D１AM(或其补角)为异面直线AM 与BC１ 所成的角．设 正方体的棱长为２,则AD１＝２ ２,AM＝D１M＝ ５, ∴cos∠D１AM＝ (２ ２)２＋(５)２－(５)２ ２×２ ２× ５ ＝ １０５ ,即异面直 线AM 与BC１ 所成角的余弦值是 １０ ５ ． 故选 A．] １１．解 析:在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为CD,A１B１ 的中点, 设 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中 棱 长 为 ２, EF 中点为O, 取AB,BB１ 中点G,M,侧 面BB１C１C的中心为N, 连 接 FG,EG,OM,ON, MN,如图, 由题意得O 为球心,在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,EF＝ FG２＋EG２＝ ４＋４＝２ ２, ∴R＝ ２, 则球心O 到BB１ 的距离为OM＝ ON２＋MN２＝ １＋１ ＝ ２, ∴球O 与棱BB１ 相切,球面与棱BB１ 只有一个交点, 同理,根据正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的对称性可知,其余 各棱和球面也只有一个交点, ∴以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为１２． 答案:１２ １２．解:(１)６条棱中,PC,AB 成异面 直线,PB,AC 成 异 面 直 线,PA, BC成异面直线,共３对． (２)如 图,取 AB 的 中 点Z,连 接 MZ,NZ,因为 M 是PB 中点, Z是AB 中点, 所以 MZ∥PA,MZ＝１２PA＝２． 同理,NZ∥BC,NZ＝１２BC＝３． 所以异面直线PA 与BC 所成角为∠MZN(或其补角), 在△MZN 中,由余弦定理可得cos∠MZN＝２ ２＋３２－４２ ２×２×３ ＝－１４ ,故异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为１４． 新题快递 １．D　[当α∥m,β∥m 时,α,β可以相交,故选项 A 不正确;当 m∥α,n⊂α时,m,n可以是异面直线,因此选项B不正确;当 m∥n,n∥α时,存在m⊂α这一情况,所以选项 C不正确;根 据面面平行的性质可知选项 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１ ２．D　[连接 AD１,则 AD１∥EF, 连接FD１,则平面AEF 截正方 体 所 得 截 面 多 边 形 为 梯 形AD１FE, ∵正 方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝ ２ ２,EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业２７ 思维整合室 １．这个平面内　交线　２．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．A　[五棱台中,AB∥A１B１,∴四边形AA１B１B 是梯形, ∵AFFA１ ＝BGGB１ ,∴FG∥AB．而FG⊄平面 ABCDE,AB⊂平 面ABCDE．∴FG∥平面ABCDE．] ３．D　[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确,B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D１B１∥l,l与 B１C１ 所成角是４５°．] ４．解析:由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故EF∥ 平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D 四点共面,所以 AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案:平行　AD ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、平 行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥ β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥α,b∥β,且a ∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂α,a∥β,α∩β＝b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] ７．C　[由E,F 分别是AB,AC的中点可知EF∥BC,EFBC＝ １ ２． 在三棱柱ABC－A１B１C１ 中,平面A１B１C１∥平面ABC,由两 个平面平行的性质可得GH∥BC,而GH 经过△A１B１C１ 的 重心,所以GH BC＝ ２ ３ ,所以GH EF＝ ４ ３ ,且EF∥GH,GH⊄平面 A１EF,EF⊂平面A１EF,所以GH∥平面A１EF．因为A１B１ ∥BE 且BE＜A１B１,所以直线A１E 与BB１ 有交点,所以平 面A１EF 与平面BCC１B１ 相 交．故①②③正 确,④错 误．故 选 C．] ８．解析:由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知:平 面 AA１D１D ∥ 平 面 BB１C１C,平 面 ABCD ∥ 平 面 A１B１C１D１;∵正方体的侧棱相互平行,∴AA１∥BB１∥CC１, ∴CC１∥平面BDD１B１,AA１∥平面BDD１B１． 答案:平面BB１C１C;平面ABCD;AA１,CC１ ９．D　[如图,任取线段 A１B 上一点 M, 过 M 作MH∥AA１,交AB 于H,过 H 作 HG∥AC 交BC 于G,过G 作CC１ 的平 行 线,与 CB１ 一 定 有 交 点 N,连 接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所 以 MN∥ 平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:连接 HN,FH,FN(图略),则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN⊂ 平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的 中点, 所以 MN∥BD．又因为BB１􀱀DD１, 所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１,从而 MN∥B１D１． (２)连接A１C１,交B１D１ 于点O,连接OE． 因为四边形A１B１C１D１ 为平行四边形,则O 点是A１C１ 的 中点．因为E 是AA１ 的中点,所以EO 是△AA１C１ 的中位 线,所以EO∥AC１． 又AC１⊄平面EB１D１,EO⊂平面EB１D１, 所以AC１∥平面EB１D１． (３)连接GH,因为EA􀱀B１H,则四边形EAHB１ 是平行四 边形,所以EB１∥AH．因为AD􀱀HG,则四边形ADGH 是 平行四边形,所以DG∥AH,所以EB１∥DG． 又因为BB１􀱀DD１,所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１．因为BD∩DG＝D, 所以平面EB１D１∥平面BDG． １２．证明:(１)连接AE,则AE 必过DF 与GN 的交点O,连接 MO,则 MO 为△ABE 的 中位线,所以BE∥MO． 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF, 所以BE∥平面DMF． (２)因为N,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD,EF 的中 点,所以DE∥GN, 又DE⊄平面 MNG,GN⊂平面 MNG, 所以DE∥平面 MNG． 又 M 为AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线,所以BD∥MN, 又 MN⊂平面 MNG,BD⊄平面 MNG, 所以BD∥平面 MNG, 又DE,BD⊂平面BDE,DE∩BD＝D, 所以平面BDE∥平面 MNG． 新题快递 １．解析:(１)由平面与平面平行的判定可知,若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面β,则α∥β,故(１)错误; (２)由平面与平面平行的定义可知,若平面α内任意一条直 线与平面β平行,则α∥β,故(２)正确; (３)当平面外的一条直线与平面相交时,过已知平面外一条 直线,不能作出一个平面与已知平面平行,故(３)错误; (４)不重合的平面α,β,γ,若α∥γ,β∥γ,由平面与平面平行 的传递性可得α∥β,故(４)正确． 答案:(２)(４) ２．解:(１)证明:因为 M、N、Q 分别为PC、CD、AB 的中点, 底面ABCD 为平行四边形,所以 MN∥PD,NQ∥AD, 又 MN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, 则 MN∥平面PAD, 同理可得 NQ∥平面PAD, 又 MN∩NQ＝N,MN,NQ⊂平面 MNQ 所以平面 MNQ∥平面PAD． (２)证明:因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD＝l, 所以BC∥l． 假期作业２８ 思维整合室 １．两条相交直线　平行　２．垂线　交线　３．(１)锐角(或直角) 　４．(１)锐角　∠PAO ５．(１)半平面　棱　(２)０°≤θ≤１８０°　(３)０°＜θ≤９０° 技能提升台　素养提升 １．D　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５０１