假期作业18 向量的数量积-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教B版）

　　　　假期作业１８　向量的数量积　　　　　　　 １．向量的数量积 定义:当a与b都是非零向量时,称　　　　 为向量a与b 的数量积(或内积)．规定:零 向量与任一向量的数量积为　　　　． ２．向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰(λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．向量数量积的坐标运算 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),‹a,b› ＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线向 量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０(b ≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．已知向量a＝(６,－８),b＝(３,m),a∥b,则 a􀅰b＝ (　　) A．１４　　B．－１４　　C．５０　　D．－５０ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文))正方形ABCD 的边长 是２,E是AB的中点,则EC → 􀅰ED → ＝ (　　) A．５ B．３ C．２ ５ D．５ ３．已知向量AB → ＝(２,０),AC → ＝(－１,２),且满足(λ AB → ＋AC →)⊥BC →,则λ的值为　　　　　． ◆[考点二]　利用向量数量积求向量的夹角 和模 ４．(２０２３􀅰北京卷)已知向量a、b满足a＋b＝ (２,３),a－b＝(－２,１),则|a|２－|b|２＝ (　　) A．－２ B．－１ C．０ D．１ ５．(２０２３􀅰全国甲卷(理))向量|a|＝|b|＝１, |c|＝ ２,且a＋b＋c＝０,则cos‹a－c,b－c› ＝ (　　) A．－１５ B．－ ２ ５ C． ２ ５ D． ４ ５ ６．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－ b|＝３,|a＋b|＝|２a－b|,则|b|＝　　　　． ◆[考点三]　平面向量的垂直及应用 ７．(多选)已知a,b 为非零向量,且a＝(x１, y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等 价的有 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a－b)２ ８．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(１,１),b ＝(１,－１),若(a＋λb)⊥(a＋μb),则 (　　) A．λ＋μ＝１ B．λ＋μ＝－１ C．λμ＝１ D．λμ＝－１ ９．已知向量a,b的夹角为π３ ,(a－b)⊥b,则 |a| |b|＝　　　 ,a＋b a－b ＝　　　． ◆[考点四]　平面向量数量积的综合应用 １０．(多选)若向量a＝(３,３),b＝(n,３),下 列结论正确的有 (　　) A．若a,b同向,则n＝１ B．与a垂直的单位向量一定是 － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ C．若b在a 上的投影向量为３e(e是与向 量a同向的单位向量),则n＝３ D．若a与b 的夹角为钝角,则n的取值范 围是(－３,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４ １１．如图所示,ABCD 是正方 形,M 是BC 的中点,将 正方形折起使点A 与 M 重合,设折痕为EF,若正 方形面积为６４,求△AEM 的面积． １２．在 △ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l与 BC交于点D,E为l上异于D的任意一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断AE →􀅰CB → 的值是否为一个常数, 并说明理由． １．已知向量a,b是非零向量,设甲:向量a,b 共线;乙:关于x的方程a２x２＋２a􀅰bx＋b２ ＝０有实数根;则 (　　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ２．(多选)如图,以 AB 为直径 在正方形内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的 一动点,下面关于|PA → ＋PB → ＋PC → ＋PD → |的说法正确的是 (　　) A．无最大值,但有最小值 B．既有最大值,又有最小值 C．有最大值,但无最小值 D．既无最大值,又无最小值 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖———菲尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数学家 大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以加拿大 数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名,授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在４０岁以下 的数学家．该奖由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定,每４年颁发一次,每次获奖者不超 过４人,每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金．奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像,还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限,做宇 宙主人”的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４ 9.解析:依题意知·a-28+18-23.A-28-185.v.y23+ 不妨取大-0,则(x)-sin(2x-) 5cos (c-6).当x-10时,y-23+5co(×4)=20.5. 则/(-)-sin(-) 答案:20.5 2.C [因为y-cos 2x+向左平移-个单位所得函数为 10.解析:设A()B()#则++ =cos[2(x+)+]- os 2x+)--sin2x,所以f(x)=-sin 2r, (2 ),所以4 ×2+-2”,即-2-所以(x) #显然过(0一)与(10)#两点, sin(4r-2-)/(x)-sin(42-2m) 2 -21-1 11.解:(1)题图知--(-). '.函数f(x)的最小正周期T一π. 由题图知f(x)的最大值为1,最小值为-1. 考虑2-,23-2即x-3- (2)由(1)知2-2.由题意得2×(-+-2^, 2 ##(1)##的天小系# 2 ##Z,解得=2kr十7.又-<p# 当3-时:/(--)-n(一---1. 则(x)-sin(2+)2k-<2x+<2k-+= ##(-3) ()) 8 (2)的单调增区间是^,k+](kez). 3n-41; 12.解:(1)对于画数y-Asin(onx+e),由图像可知,A-83 出-时:()--1.△-- #-第-8-)-{8)-8# -41; sin(+)中,可得sin()-1,故 2k+ ##(E )-2kx-(kE2).,因为 <,所以- 假期作业18 _故8().[4A8. 思维整合室 1. lal lblcosθ 0 2.(1)b·a (3)a·b+a·c (2)在-8n(吾)中,令a-4,得y-4,故D(4.4), 3. a·a +y allblcos θx:+yy a.b alb 从而得OD对应的函数为y=2(0 x<4).设点 x+y1y-0 P()(0<(<4),则矩形 PMFE的面积5-(4-); 技能提升台 素养提升 (0<(<4).因为s'-4-由S'-0,得1-43当 1.C [因为向量a-(6,-8),b-(3,m),a/b,所以6m+24 0,解得;m--4,a·b-18-8m-18-8x(-4)-50.] (6.$43③}时,5→0.$羊调树,当1(44)时:5~o. 2.B [以AB,AD)为基底向量,可知]AB|= AD =2,AB· AD-0 单调减,所以当1-4时:S最大,此时点P的坐标 则EC-EB+BC-AB+AD.ED-EA+AD--AB _。 ##44#}).# 十AD. 所以EC·D-(AB+AD)·(-AB+AD)-- 新题快递 1.D[因为f(c)-sin(ax十+)在区间(吾,2=)单调递增, AB+AD*--1+4-3.] 3.解析:因为BC-AC-AB-(-3.2),所以(aAB+AC)1BC →AB+A)·BC=0→AB·BC+AC·BC-0.即-6 当时:f(x)取得最小值,则2·吾+&-2kx-.^# +7-0,解得-7. 6 答案:7 95 4.B [向量a,b满足a十b-(2,3), 由AMIEN得AM·EN-0,即(8,4)·(4-e.2)=0,解得 a-b-(-2.1). =5,即AE-5. 所以lal*-b*}-(a+b)·(a-b)-2x(-2)+3x1 所以$s-AEl1BMl-×5$4-10. -1.] 5.D[由a+b十c=o得a十b=-c,所以(a+b)}-(- ){}, 12.解:(1):AB·AC-0.AB1AC 即a{}+2a·b+b=c^,又lal=l$bl=1,lcl= 又AB]-12.BC-15...1AC-9. 所以a·b-0,所以ab. 由己知可得AD-(AB+AC).CB-AB-AC. 如图所示:a-c-CA,b-c=CB,由 余弦定理得CA =CB-5,所以 .A.CB-(AB+AC).(AB-AC) 即cos(a-c. b-e-.# (2)AE·CB的值为一个常数. 理由:·'I为线段BC的垂直平分线,/与BC交于点D.E 6.解析:由la+bl-l2a-bl,得a^{}-2a·b; 为/上异于D的任意一点...DE·CB-0. 由l$a-bl-3,得a-2a·b+ -3,即^-3 故A·CB-(AD+D).C-A.C+D.C b-③. .C-0(常数). 答案:③ 7.ABCD[la+bl-a-bl-|a+bl-a-bl-a^}+2a·b 新题快递 +b-a$-2a·b+b-a·b-0,a}+b-$(a-b)*}-a$+$$ 1.C [关于x的方程ax{+2a·br十b一0有实数根,则△- -a-2a·b+b-a·b-0.] 4(a·b)-4ab二0. 8.D[(a+b)·(a十b)=a十(十)(a·b)十b 故(a·b)ab,即la·bl→allb, -2(1+)-0,所以--1.] 又la·b alb,所以a·b=allb,即向量a,b共线, 9.解析:由向量a,b的夹角为吾,且(a-b)lb. 反之也成立,因此两者应为充要条件.] 2.A [设正方形的边长为2,如图 建立平面直角坐标系, 则A(-1.0),B(1,0).C(1,2). D(-1,2),P(cosθ.sinθ)(其中0 <n). 因为a+b=(a+b)}-a+2a·b+b PA+PB+PC+PD-(-1 -、4b+2b+b-7|b. cos6.-sin0+(1-cosθ.-sin)) a-bl-v(a-b)=a-2a·b+b{ +(1-cos0.2-sin)+(-1一 = 4b-2b+b-③b|, cos0,2-sin0)-(-4cos0,4-4sin9) 所以PA+PB+PC+PD-(-4cos 0)*+(4-4sin 0) 所以{ a-b3: -32-32sin0. 21 答案:2 因为0(0.n),所以sine(o.1],所以|PA+PB+PC+ PD[o,4v2). 10. AC [设a-hb(^→0),所以{.解得{一. 1-1. 13-3. 故PA+PB+PC+PD有最小值为0.无最大值.] 即a一③b,故A正确; 假期作业19 设c-(x,y)是与a垂直的单位向量,则有3x十3y=0,r”+y 思维整合室 -1,所以。-(#。)-一()#,故B错误;# 1. sin acos 3士 cos asin③ cos acos 3士 sin asin tana士tan{ 1干tanatanB 因为b在a上的投影向量为3e.所以.b-3.所以 2. 2sin acos a cos*a-sina 2cos{a-1 1-2sina 技能提升台 素养提升 3n+33-3,解得n-3,故C正确; 1.A 2.B 23 3. ABC [对于A, tan 25{+tan35*+3tan25{tan 35*- 因为a与b的夫角为钝角,所以a·b<0且a,b不共线,所 tan(25'+35*)(1-tan 25{tan35”)+3tan 25{tan35*-3- 以430解得!-3-即n<-3.所以(-00. 3tan 25{*tan35*+3tan 25*tan 35*-3; 3-3n0. f71. 对于B.2(sin 35*cos 25{+cos 35}cos 65*)-2(sin 35{cos 25+ -3),故D错误,故选AC.] 对Ctan0_) cos 35”sin 25°)-2sin 60*-3: 11.解:如图所示,建立直角坐标系,显然EF , 是AM的中垂线,设AM与EF交于点 N,则N是AM的中点,又正方形边长为 8.所以M(8,4).N(4,2). 设点E(e,0),则AM-(8,4).AN-(4.2),p 对于D- “11-lan2 1-tan AE-(e0).E-(4-e.2), 综上,式子的运算结果为3的选项为ABC.故选ABC. 06