假期作业17 函数y=Asin(ωx+φ)三角函数的应用-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教B版）

　　 假期作业１７　函数y＝Asin(ωx＋φ)、 三角函数的应用 　　　　　　　　　　 １．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０) 的简图 (１)定点:如表所示． x 　　 　　 　　 　　 　　 ωx＋φ 　　 　　 　　 　　 　　 y＝Asin (ωx＋φ) ０ A ０ －A ０ (２)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平 滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ) 在一个周期内的图像． (３)扩展:将所得图像,按周期向两侧扩展可得 y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图像． ２．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０),x∈ [０,＋∞)表示简谐振动时,几个相关的概念 如下表: 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞０,ω＞０), x∈[０,＋∞) A T＝　　f＝１T 　　　 　　 ３．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝ Asin(ωx＋φ)的图像的两种途径 １．把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩 短到原来的１ ２ 倍,纵坐标不变,再把所得曲 线向 右 平 移 π ３ 个 单 位 长 度,得 到 函 数 y＝sinx－π４ æ è ç ö ø ÷的图像,则f(x)＝ (　　) A．sinx２－ ７π １２ æ è ç ö ø ÷　　　B．sinx２＋ π １２ æ è ç ö ø ÷ C．sin２x－７π１２ æ è ç ö ø ÷ D．sin２x＋π１２ æ è ç ö ø ÷ ２．已知函数f(x)＝sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(x∈R,ω＞０) 的最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图 像,只需将函数g(x)＝sinωx的图像 (　　) A．向左平移π８ 个单位长度 B．向右平移π８ 个单位长度 C．向左平移π４ 个单位长度 D．向右平移π４ 个单位长度 ３．已知函数f(x)＝ ３cos２x－π２ æ è ç ö ø ÷－cos２x, 若要得到一个奇函数的图像,则可以将函数 f(x)的图像 (　　) A．向左平移π６ 个单位长度 B．向右平移π６ 个单位长度 C．向左平移π１２ 个单位长度 D．向右平移π１２ 个单位长度 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ ４．要得到函数y＝cosx２－ π ４ æ è ç ö ø ÷的图像,只需将 y＝cosx２ 的图像 (　　) A．向右平移π４ 个单位长度 B．向左平移π４ 个单位长度 C．向右平移π２ 个单位长度 D．向左平移π２ 个单位长度 ５．人的心脏跳动时,血压在增加或减少,血压 的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张 压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压, 读数１２０/８０mmHg为标准值．设某人的血 压满足函数式p(t)＝１０２＋２４sin１６０πt,其 中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单 位:min),则下列说法正确的是 (　　) A．此人的收缩压和舒张压均高于相应的标 准值 B．此人的收缩压和舒张压均低于相应的标 准值 C．此人的收缩压高于标准值,舒张压低于 标准值 D．此人的收缩压低于标准值,舒张压高于 标准值 ６．如图所示的是一质点做简谐运动的图像,则 下列结论正确的是 (　　) A．该质点的运动周期为０．７s B．该质点的振幅为５cm C．该质点在０．１s和０．５s时运动速度为零 D．该质点在０．３s和０．７s时运动速度为零 ７．(多选)将函数f(x)的图像向右平移π６ 个单 位长度,再将所得函数图像上的所有点的横 坐标缩短到原来的２ ３ ,得到函数g(x)＝ Asin(ωx＋φ)A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的 图 像,已知函数g(x)的部分图像如图所示,则 下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　) A．f(x)的最小正周期为π,最大值为２ B．f(x)的图像关于点 π６ ,０ æ è ç ö ø ÷中心对称 C．f(x)的图像关于直线x＝π６ 对称 D．f(x)在区间 π６ ,π ３ é ë êê ù û úú上单调递减 ８．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,０＜φ＜π) 的部分图像如图所示,则φ的值为　　　　． ９．某城市一年中１２个月的平均气温与月份的 关系 可 近 似 地 用 三 角 函 数 y ＝a ＋ Acos π６ (x－６)é ë êê ù û úú (x＝１,２,３,􀆺,１２)来表 示,已 知 ６ 月 份 的 月 平 均 气 温 最 高,为 ２８℃,１２月份的月平均气温最低,为１８℃, 则１０月份的平均气温值为　　　　 ℃． １０．(２０２３􀅰新课标Ⅱ 卷)已知函数f(x) ＝sin(ωx＋φ),如 图,A,B是直线y＝ １ ２ 与曲线y＝f(x) 的两个交点,若|AB|＝π６ ,则f(π)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ １１．已 知 函 数 f (x)＝ Asin (ωx ＋φ) A＞０,ω＞０,－π２＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷在一个周期内 的图像如图所示． (１)求函数f(x)的 最小正周期 T 及 最大值,最小值; (２)求函数f(x)的 解析式及单调递增区间． １２．如图所示,某小区为美化 环境,准备在小区内草坪 的 一 侧 修 建 一 条 直 路 OC,另一侧修建一条休闲大道,它的前一 段OD 是函数y＝k x(k＞０)图像的一部 分,后一段DBC 是函数y＝Asinωx＋φ( ), A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ ,x∈[４,８]的图像,图像 的最高点为 B ５,８ ３３ æ è ç ö ø ÷,DF⊥OC,垂足 为F． (１)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式; (２)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐 园,即矩形 PMFE,问点 P 落在曲线OD 上何处时,儿童游乐园的面积最大? １．(２０２３􀅰全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷单调递增,直线x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图像的两条对 称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２　　B．－ １ ２　　C． １ ２　　D． ３ ２ ２．(２０２３􀅰全国甲卷)已知f(x)为函数y＝ cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得函数,则 y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ 过几天 就 要 高 考 了, 回想当年我差５分就考上 了 清 华,往 事 不 敢 回 首􀆺􀆺 说多了都是泪􀆺􀆺 那年 清 华 的 录 取 线 是 ６９５ 分,我 考 了 ６９分． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４ 快乐假期 990= 又x)=2sim(+）-1 向左单移号个单位长度 所以y=加红一晋)的图缘 则2+<x+吾<2x+要eZ。 )=加（十臣）的图缘所有点的横业标扩大到原来的2修 解得2x+号<<2x+号k∈ 3 fx)=in(告十)的图缘.] 所以高数的单调递减区间为[2x+号2x+]∈ 2.A[由f(x)的最小正周期是元，得a=2,即f(x)= 2)由xe[登]则x+吾∈[后]，所以≤ m(2+晋）=m[2(+音)小调光它的图像可由g) sin2x的国像向左平移君个单位长度得到，故选A.] i加(r+）1, 3.C[易得f(x)=5sin2x-cos2x=2sim(2x-看）小设将 所以0c2sim(r+晋）1长1 f(x)的图像向左(0>0)或向右(0<0)平移川个单位长度， 所以函数f(x)的值域为[0,1]. 得到寺画鼓)的图像，故gx)=2sm(2红+20-看又 新题快递 1.D[由给定区间可知，a>0. g)为寺画数，所以20-晋-，∈2，即0-十受∈乙 区间[a,2a]与区间[2a,3a]相邻，且区间长度相同. 结合选项可知，当=0时，0=亚，故选C.] 7π 4.c[ry=(告-)=m[2(-受)月： 25π34 “要得到画数y=0(告一季)的圈像，只需将 2 y=0营的圈像向右平移受个单位长度，故选C.] 5.C[由此人的血压满足函数式p(t)=102+24sin160πt,得 取a=石，则[a2a]-[君，5]区间[2u3a]-[,] 此人的收缩压为p(t)m=102十24-126：舒张压为 可知气>0>0，故A可能：取a=登，则[a,2a] p(t)m=102一24=78，所以此人的收缩压高于标准值，舒张 压低于标准值，故选C.] [悟]区同2a3a-[晋]可知>04<0.故C 6.BC[由题图可知，运动周期为2×(0.7一0,3)=0.8s,放A 错误：该质点的振幅为5Cm,B正确：由简谐运动的特点知， 质点在0.3s和0.7s时运动速率最大，在0.1s和0.5s时 可能：取a-，则[a,2a]-[]区间[2a,3a]= 运动连度为零，故C正确，D错误.故选BC.] []可知气<04<0，故B可能结合选项可得，不可 7.ACD[由题图可知，A=2.T=4X(昏-后)经， 能的是5<0,1>0.] 2.B[由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中T=2红=4，B选项中T=2红=4， 又由g(图）厂2可得g=-音+2x∈D,且<受， 2 2 6 C选项中T=2红=8，D选项中T=2红=8，排除选 g(x)=2sin(3x-吾）fx)=2sin(2x+若） ∴f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确，对于选 项CD. 项B,合2x+吾-kx∈D,得x-管-是k∈D函 对于A选项，当x=2时，函数值si加（受×2）=0，故(2,0） 数)因像的对格中心为（停-音0小k∈Z,由些 是函数的一个对称中心，排除选项A, 音-吾，得=名，不特合发∈Z.B错误：对于选项C.令 对于B选项，当r-2时，函数值co(受×2）-1，故r=2 2x+吾-受+r(kEZ),得x=吾+经k∈D, 是函数的一条对称轴.] 假期作业17 “函数)国像的对称轴为直线x一晋+经（∈》，当大 思维整合室 =0时r-音，故C正确.当x∈[后，]时，2x+音∈ 3π L.(1)-2 3 [受])在区间[后，晋]上单调递减选项D 2 正确，故选ACD.] 2x2.g x十p9 8.解析：由题图可得f0=sin=2 技能提升台素养提升 50<9<9=爱我9=吾 1.B[较题意，将y=i加（一晋）的图像向左平移答个单位 由于r=0在函数f(x)的单调递减区间内，所以取9= 5π 长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍， 得到f(x)的图像， 答案： 94 三0022 一教 9.解析：依题意知a=2818=23A=28,18-=5y=23+ 2 不封取=0，则x)=i(2一)】 5cos[晋(r-6小当=10时y=23+5cs(若×4）=20.5. 则()如() 答案：20.5 10,解折：设A)小B(则十华=音十9 2.C[国为y=o(2:+晋)向左平移若个单位所得画数为 =o[(+若)十晋] (肾0）将以4×要+g=2m,即= 2,所以f(x) cos(2r+）=-n2r,所以fu)=-m2, i(r-）)=i(4x-) 而y=7-呈然过(0，-号)与1,0)两点： 作出f)与y=名一专的大致国像如下 1 管案：一号 1.解：1)由题图知}T=音-（吾）平 fx) ∴函数f(x)的最小正周期T=元. 由题图知f(x)的最大值为1，最小值为一1. 考虑2x=-8，2x=3,2x 3元 (2)由1知m-票=2.由题意得2×（音）十g=2kx, 2 7，即x ∈.解得g=2张x+.又-<9<受9= 处)与y-一的大小关系， 则f)=m(2r+晋令2x-受≤2x+号≤2x+受 (∈Z),得x 晋≤<k红+登∈D,就高教 ×(7）8-1 8 代)的单调适增区同是[k红-登：x+]∈D, 3x一4<1： 12.解：1)对于画教y=Asim(ox十g),由因像可知，A=8y 8 ,cd 3 =学=可=吾特(8）入y-8。 7r一41: 8 sim(告x十9)中，可得sin(晋+9）=1，故晋+g=2x+ 所以由图可知)与y=立一号的交点个数为3.] 受∈D,9=2x-吾（∈.因为g<受，所以9 假期作业18 思维整合室 -景故y8gm(告-吾）[4.. 1.al1 blcos902.(1)b·a(3)a·b+a·c 3.a·a√+y7 allblcos0x1+y为 a·b (②在y一8（晋一香）中，个=4得y=4,故D4. ab x1e十y1y 从而得OD对应的函数为y=2VF(0≤x≤4)，设点 √+·+ 。x十My=0 P(行小0≤≤，则矩形PMFE的西积S=（-专)/ 技能提升台素养提升 0<1≤4.周为S=4-买，由S=0,得1=45，当1 1.C[因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,所以6m十24= 3 0,解得：m=-4,a·b-18-8m=-18-8×(-4)=50.] （o,）时，S>0s单洞递培：当(g,4小时，<05 2.B[以(AB,AD为基底向量，可知AB=1AD1=2,AB· AD-0 单调适减。所以当1=4时，S最大，此时点P的坐标 3 剥C-E品+BC-号AB+D.ED=E+D=-号A店 +AD. 新题快递 所以E成.成=（合AB+AD)·（AB+AD)=-青 1.D[因为a)=sin(ar十p)在区间（任，）单调递增， AB+AD=-1+4=3.] 所以号---且。>0，T= 2x=2 3.解析：因为BC-AC-A店=(-3,2)，所以(aA店+AC)1B →(AAB+AC)·BC-=0→xAB·BC+AC·BC=0,即-6x 当r-吾时，f)取得最小值，则2：吾十g=2张x一受k∈ 十7=0，解得以-名 7.则=2x-晋，∈五. 答案：日 95