假期作业5 指数与指数函数-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教B版）

假期作业５　指数与指数函数　　　　　　　 １．根式 (１)概念:式子na叫做　　　,其中n叫做根指 数,a叫做被开方数． (２)性质:(na)n＝　　(a使na有意义);当n 为奇数时,nan＝　　,当n为偶数时, n an ＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０．{ ２．分数指数幂 (１)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝ 　　(a＞０,m,n∈N∗ ,且n＞１);正数的负 分数指数幂的意义是a－ m n ＝　　(a＞０,m, n∈N∗ ,且n＞１);０的正分数指数幂等于 ０;０的负分数指数幂　　　　． (２)有理指数幂的运算性质:aras＝　　;(ar)s ＝　　;(ab)r＝　　,其中a＞０,b＞０,r, s∈Q． ３．指数函数的性质与图像 (１)概念:函数　　　　　叫做指数函数,其中 指数x是自变量,函数的定义域是 R,a是 底数． (２)指数函数的图像与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图像 定义域 R 值域 　　　　 性质 过定点　　　,即x＝０时,y＝１ 当x＞０时,　　　; 当x＜０时,　　　 当x＜０时,　　　; 当x＞０时,　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　　　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　　　　　 ◆[考点一]　有理数指数幂的运算 １．化简[ ３(－５)２] ３ ４ 的结果为 (　　) A．５ B．５ C．－５ D．－５ ２．已知x６＝６,则x等于 (　　) A．６ B． ６ ６ C．－６６ D．± ６ ６ ３．(多选)下列运算结果中,一定正确的是 (　　) A．a３􀅰a４＝a７ B．(－a２)３＝a６ C． ８ a８＝a D． ５(－π)５＝－π ４．化简:１４ æ è ç ö ø ÷ －１２ 􀅰 (４ab －１)３ (０．１)－１􀅰(a３􀅰b－３) １ ２ (a＞０, b＞０)＝　　　　． ◆[考点二]　指数函数的图像及应用 ５．函数f(x)＝(２a－３)ax 是指数函数,则 f(１)＝ (　　) A．８ B．３２ C．４ D．２ ６．函数f(x)＝ex＋x－１x＋１ 的图像大致是(　　) ７．(多选)某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝ ２|x－１|的图像与性质进行了探究,得到的下 列四个结论中正确的有 (　　) A．该函数的值域为(０,＋∞) B．该函数在区间[０,＋∞)上单调递增 C．该函数的图像关于直线x＝１对称 D．该函数的图像与直线y＝－a２(a∈R)不 可能有交点 ８．已知函数f(x)是指数函数,如果f(３)＝ ９f(１),那么f(８)　　　　f(４)(请在横线 上填写“＞”“＝”或“＜”)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ ◆[考点三]　指数函数的性质 ９．(多选)下列函数中,最小值为２的是(　　) A．f(x)＝x２＋２x＋３ B．g(x)＝ex＋e－x C．h(x)＝３x＋２ D．m(x)＝２|x|＋１ １０．函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ８－２x－x２ 的单调递增区间为 　　　　． １１．已知函数f(x)＝ax(a＞０且a≠１)的图像 经过点(－２,１６)． (１)求a,并比较f m２＋７４ æ è ç ö ø ÷与f m－１４ æ è ç ö ø ÷的 大小; (２)求函数g(x)＝a－x ２ ＋２x－４的值域． １２．已知函数f(x)＝a－ ２３x＋１ (a∈R)． (１)当a＝１２ 时,求函数g(x)＝ f(x)的定 义域; (２)判断函数f(x)的单调性,并用单调性 的定义证明你的结论． １．计算:１２ æ è ç ö ø ÷ －１ ＋８ ２ ３ ＋(２０２４)０＝ (　　) A．６　　　B．７　　　C．８　　　D．３２ ２．已 知 函 数 f(x)＝ ax,x≤１ １－２a x ,x＞１ ì î í ïï ï ,① 如 果 f(－２)＝９,则a 的 值 等 于 　 　 　 　 　; ②若满足对任意x１≠x２,都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０成立,则实数a 的取值范围是　　　 　　． 竹子用了４年的时间,仅仅长了３cm,在 第五年开始,以每天３０cm 的速度疯狂的生 长,仅仅用了六周的时间就长到了１５米． 其实,在前面的四年,竹子将根在土壤里 延伸了数百平米． 做人做事亦是如此,不要担心你此时此刻 的付出得不到回报,因为这些付出都是为了 扎根． 人 生 需 要 储 备! 多 少 人,没 熬 过 那 三 厘米! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ 三0022 高一教学) 12.解：(1)周为f(x-1)=u(x-1)+b,f(x十1)=a(x十1)+ b,所以3f(x-1)-2f(x+1)=3[a(x-1)+b] 6D[)=t+号〔+1-品易知西数的定又城为 2[a(x+1)+b]=a.x-5a+b=2.x-6, {xx≠一1}，当x<一1时，f(x)>1,排徐A和B:当x无限 所以a=2, 增大时，∫(x)无限趋近于e十1，呈指数增长，排除C,故 选D.] (2)由(1)可知：f(x)=2x十4. 7.CD[画出f(x=2-的图像 所以g(x)=x[f(x)-6]=x(2x+4-6)=2(x2-x) 如图所示。 =[-)-]小2(-）)- 对于A由f(x)的图像可知，函 数f(x)的值减为[1，+o∞)，A错 误：对于B,由f(x)的图像可知， 函数f(x)在[0.1)上单调递减 1234 g(x)取最小值-2 在[1，十∞)上单调递增，B错误： C正确：对于D.因为y=一a 当x=2时， 0,所以D正确.故选CD.] g(.x)取最大值4， 8.解析：函数f(x)是指数函数，故设f(x)=a(a>0,且a≠ 新题快递 1),依题意得：f(3)=a3=9a=9f(1),又a>0,所以a=3, 1.ABD[对于A,设F(x)=f(x)+g(x),设x<, 所以f(x)=3,因此f(4)=3,f(8)=3=3×3>3= 则F(x1)-F(x2)=f(x1)十g(x1)-∫(x)-g(x2)= f(4),所以f(8)>f(4). [f(.x)-f(x)门+[g(.x,)-g(x2)] 答案：> 又由f(x),g(x)都是定义在R上的增函数，则f(x) 9.ABD[对于A.f(x)=x+2.x十3=(x+1)+2≥2.当x= f(x)<0且g(x1)-g(x)<0, 一1时，等号成立，故A正确；对于B,g(x)=e十e=e十 所以F(x1)一F(x）<0,故西数y=f(x)十g(x)一定是增 函数，A正确： 2当且仅当=0时，等号成立，故B正确：交 对于B,设f(x)=x,g(x)=2x,光时y=f(x）一g(x)=-x h(x)=3十2，由于3>0，所以h(x)>2,故C错误：对于D, 为减函数，B正骑： m(x)=2+1≥2°+1=2，当且仅当x=0时，等号成立，故 对于C,设f（x)=x,g(x)=2.x,此时y=f(x)g(x)=2x, D正确.故选ABD.] 在（一0,0）上为减函致，C错误： 对于D,当x)=e,g()=e2时，画数y==上为减 10,解折：设1=8-2-2,则y-(侵)，易知y-(合）在R g(x）e 上单调递减，又知1=8-2x-x在（一∞，一1]上单调道 函数，D正确.] 2.C[因为定义在R的奇函数f(.x)在（一∞，0）单调递减，且 增，在[一1，+∞)上单调递减，所以由y一（侵）与1=8- f(1)=0, 所以f(x)在(0，十○)单调递减，且f(一1)=0， 2x-x复合而成的函数y=（2)】 的单调递增区间 所以当(-∞，-1)U(0,1),f(x)>0, 为[-1，十0∞). 当(-1.0)U(1.+∞)，f(x)<0, 答案：[-1，十∞) 所以若xf(r-1)≤0，则<0 x-1≤-1 或 0≤x<1 -1≤x-1<0或 1.解：1)由已知得a2-16,解得a=子 1,或x=0或x=1 0x-1≥1 所以✉)-(）)广 解得x≤1或x≥2， 所以x的取值范围是（一o∞，1U[2,十∞）.] 国为画数)-（仔）广在R上单调递减， 假期作业5 (m+星）厂(m-子）=m-m+2 思维整合室 1.1)根式(2aa2.(1)a 没有意义 a (m-)广+子>0 (2)aaab3.(1)y=a(a>0且u≠1) 所以(m+子)(m-）》 (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增 (2)因为y=-x2+2x-4=-(x-1)-3≤-3， 函数减函数 技能提升台素养提升 所以()》 ()】 =64 1.B[原式=(52)×号=52号=5=5.] 故g(x)的值域是[64，+∞)， 2.D[6是偶数，故当x=6时，x=士6，故选D.] 12.解：)当a=之时，画数g)=西√侵3千 2 3.AD[a3·d=a2+4=a,故A正确：(-a2)2=-a,故B不 正确；a=al,故C不正确：/(-)=-π，故D正确. 故选AD.] 委伙根式，合石有意义，只6日一异0， 4.解析：原式=2X2·a子·6道 1 x0:6-2×101-g 所以宁化简得≥8=8，屏释≥ 所以函数g(x)的定义域为[1，+∞). 答案：号 (2)函数f(x)在定义城R上为增函数。 5.D[,函数f(x)=(2a-3)a是指数函数，∴.2a-3=1,解 证明如下：在R上任取1，且，<x, 得a=2.∴.f(x)=2,.f1)=2.] -)-（是）厂（是) 83 快乐假期 SE 2(31-3) 7.A[作直线y=1(图略)，则1=1ogx1,1=logx2,1= (31+1)(39+1)1 logx,1=logx1,解得x1=a,c2=h,x=c:x=d由图可 由x,<L,可知0<31<35，则31-39<0， 知x>x,>1>x>x1,即c<d<1<a<b,故选A.] 又因为31+1>0,31+1>0. 8.解析：：y=og.工是定义战内的减西数，.oga.,(m一1)> 所以f(x1)-f(x)<0,即f(,)<f(),所以f(x)在定 m-1>0, m>1, 义城R上为增函数。 1og.s(3-m)台3-m>0, 即m<3, [新题快递] m一1<3-m,m<2, 1.B[(2) +87+(2023)°=2+(2)号+1=2+22+1= .1<m<2, 即m的取值范国是(1,2). 7.故选B.] 答案：(1,2) a'x≤1 2.解析：①因函数f(x) 1一24.x>1又f代-2)=9，于是得 9.A[:a=2024>2024"=1,0=loge1<b=log2z2023 1 x <10ge2024=1.c=l0g:a202<1og影a1=0.a>b> 4=9,而a>0,解得a=3 c.故选A.] 所以口的值等于号 10,A[由2->0， R2≥o释o ②因对任意工，≠，都有)-儿)<0成主，则画数 解得一8≤x<2,所以函数f(x)=√一1g(2一x可的定义城 x1-x: 为[一8,2)，故选A.门 f(x)在R上单调递减， 11.解：(1)证明：任取x1x2∈(a,十∞)， 0<a<1 国此12>0，解得号<a< 1 不坊令0<a<x1<2,g(x)=1-4 2… a≥1-2a 则g()一g(x2) 所以实数a的取值范国是号<a< (0-)(-） ? 答案：①号@}<a< .g(x1)<g(xe）. 又0<a<1,∴.f(1)>f(x2), 假期作业6 .f(x)是(a,十o)上的减函数 思维整合室 1.(1)r=log,N (2)10 lg N e In N 2.(1)0 1 N b 2:log(-兰)P>1.且0<a<1. (2)log.M+log.N log,M-log.N nlog.M (3)log,N= 0<1-g<1-a<4<1. 无 x log.N log.d3.(2)(0,+∞)R(1,0)y>0y<0y ,0<4<1,∴.1-a>0, log b <0y>0增函数减函数 从而a心<已。 技能提升台素养提升 2 1 1.B [log,2-log,6-logs6=log3 =-1,故选B.] r的取值花国是(a,产a） 12.解：(1)当m=1时，f(x)=log(x2-2x+3) 2B0g6-9-k岁3-片之] =1og[(x-1)+2],故f(x)的值域为[1，十∞). 3.解析：根据题意有f(3)=log(9十a)=1,可得9十a=2,所 (2)由f(1)<f(2),得 log(4-2m）<1og2(7-4m), 以a=一7. 答案：一7 1-2m>0, 所以7一4m>0, 4.解析：原式= √0g3-2g3+(侵g3+3g2-号 (4-2n<7-4m, (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 1-lg3)·2(g3+21g2-1D 解程m<号 3 (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 2 即实数m的取值范国为(，) 答案：-是 (3)f(x)=1og2(x2-2mx+3) =1og[(x-m)2+3-m] 5.B[国为y=2的图像为过点(0,1)的递增的指数函数图 若f(x)在区间(2，十∞)上单调递增， 像，故排除选项C,D:y=log(一x)的图像为过点（一1,0）的 递减的对数型函数图像，故排除选项A,故选B.] 则m≤2且7一 ≥0，所以m≤子 6.BCD[作出函数f(x)=log(x+2)(0<a<1)的大致图像 如图所示，则函数f(x)的图像过第二、三、四象限.] 中实载m的取维范国为（四，] 新题快递 L.C[将log3=b转化为指数，得到8=3.再结合指数的运 4 2 年性质8=2y=2=3:周北2-系=音所以 4-329l 12345 -要故本题选C] 2.解析：当x≥0时，g(.x)=2=log:(x十1)=2，解得x=3: 当x<0时，g(x)=f(一x)一2+1=2，解得x=0(舍)： y=Ing(x+2) 所以g(x)=2的解为：x=3. x=-2-5引 答案：x=3 84