假期作业2 常用逻辑用语-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教B版）

　　假期作业２　常用逻辑用语　　　　　　　 １．全称量词与全称量词命题 (１)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“∀”表示． (２)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题． (３)全称量词命题的表述形式:对 M 中任意一 个x,有p(x)成立,可简记为:　　　　, 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”． ２．存在量词与存在量词命题 (１)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“∃”表示． (２)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题． (３)存在量词命题的表述形式:存在 M 中的一 个x０,使p(x０)成立,可简记为:　　　　,读 作“存在M 中的元素x０,使p(x０)成立”． ３．全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 　　　　　　 　　　　　　 结论 全称量词命题的 否定是存在量词 命题 存在量词命题的否 定是全称量词命题 ４．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真 命题 “若p,则q”是假命 题 推出关系 p　　　　q p　　　　q 条件关系 p 是q 的 　　　 条件 q是p 的 　　　 　条件 p不是q 的　　　 条件 q不是p 的　　　 条件 ５．充要条件 一般地,如果既有　　　　,又有　　　　, 就记作　　　　．此时,我们说p是q的充分 必要条件,简称充要条件．显然,如果p是q的 充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果 　　　　,那么p与q互为充要条件． 概括地说, (１)如果　　　　,那么p与q互为充要条件． (２)若　　　　,但　　　　,则称p是q的充 分不必要条件． (３)若　　　　,但　　　　,则称p是q的必 要不充分条件． (４)若　　　　,且　　　　,则称p是q的既 不充分也不必要条件． ◆[考点一]　充分条件与必要条件的判断 １．(２０２３􀅰天津卷)“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab” 的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选)有以下四种说法,其中正确说法为 (　　) A．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充 分条件 B．“a＞b＞０”是“a２＞b２”的充要条件 C．“x＝３”是“x２－２x－３＝０”的充分不必要条件 D．“A∩B＝B”是“A＝⌀”的必要不充分条件 ３．(２０２３􀅰北京卷)若xy≠０,则“x＋y＝０”是 “y x＋ x y＝－２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ４．已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n．“l, m,n共面”是“l,m,n两两相交”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ ５．设集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥a},则“A ∪B＝R”是“a＝１”的　　　 条件,a＝２是 “A∩B＝⌀”的　　　　条件(从如下四个中 选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条 件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件) ６．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑 人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、 丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷 的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁 说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中有 两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这 四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯 是　　　　． ◆[考点二]　全称量词与存在量词 ７．下列全称量词命题中真命题的个数是 (　　) ①末位是０或５的整数,可以被５整除; ②钝角都相等;③三棱锥的底面是三角形． A．０　　B．１　　C．２　　D．３ ８．(多选)下列命题中,为真命题的是 (　　) A．∀x∈R,２x－１＞０ B．∃x∈R,x２＋１＜２x C．∀xy＞０,x＋y≥２ xy D．∃x,y∈R,sin(x＋y)＝sinx＋siny ９．已知命题:p:∃x＞０,２x＞x２,则􀱑p是 (　　) A．∃x＞０,２x≤x２　B．∃x＞０,２x＜x２ C．∀x＞０,２x≥x２ D．∀x＞０,２x＜x２ １０．(多选题)命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０ 是假命题,则实数b的值可能是 (　　) A．－７４　　B．－ ３ ２　　C．２　　D． ５ ２ ◆[考点三]　常用逻辑的综合应用 １１．已知命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假 命题． (１)求实数a的取值集合A; (２)设非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜ ２m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条 件,求实数m 的取值集合． １２．已知集合 M＝{x|x＜－３或x＞５},P＝ {x|(x－a)􀅰(x－８)≤０}． (１)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P ＝{x|５＜x≤８}的充要条件; (２)求实数a的一个值,使它成为 M∩P＝ {x|５＜x≤８}的一个充分不必要条件; (３)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P ＝{x|５＜x≤８}的一个必要不充分条件． １．“|x|＝２”是“xx－２＝ １ ２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选题)下列结论正确的是 (　　) A．“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件 B．“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件 C．“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”的否定是 “∃x∈R,使x２＋x＋１＜０” D．“x＝１是方程ax２＋bx＋c＝０的实数根” 的充要条件是“a＋b＋c＝０” 不爱回信的怀特海德 有一次罗素写了两次信向怀特海德请教 一个数学问题,他都没有回信．于是他又打了 一封付好回资的电报给他,仍然没有回音．最 后只好亲自向他当面请教．假如有人收到了怀 特海德的信,大家便会一起祝贺他,有人问怀 特海德为什么不回信,他说:“假如我经常要给 人写回信,那我就没有时间从事独创性的工 作了．” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４ 参 考 答 案 [第一部分] 假期作业１ 思维整合室 １．(１)确定性　互异性　(２)∈　∉　(３)描述法　维恩图 ２．A⊆B　A⫋B　都相同　A＝B　３．∁UA　{x|x∈A,或x ∈B} 技能提升台　素养提升 １．D　[若集合A 中只有一个元素,则方程ax２－３x＋２＝０只 有一个实根或有两个相等实根． 当a＝０时,x＝２３ ,符合题意; 当a≠０时,由Δ＝(－３)２－８a＝０,得a＝９８ , 所以a的取值为０或９８． ] ２．C　[因为{１,a＋b,a}＝ ０,ba ,b{ },a≠０,所以a＋b＝０,则 b a ＝－１ ,所以a＝－１,b＝１,所以b－a＝２．故选 C．] ３．B　[若a－２＝０,则a＝２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不 满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B＝{１,－１, ０},满足题意．] ４．ABD ５．A　[由题意可得 M∪N＝{x|x＜２},则∁U (M∪N)＝{x|x ≥２},选项 A正确; ∁UM＝{x|x≥１},则 N∪∁UM＝{x|x＞－１},选项 B错 误;M∩N＝{x|－１＜x＜１}, 则∁U(M∩N)＝{x|x≤－１或x≥１},选项 C错误; ∁UN＝{x|x≤－１或x≥２},则 M∪∁UN＝ {x|x＜１或x≥２},选项 D错误．] ６．A　[由题意,M＝{x|x＋２≥０}＝{x|x≥－２},N＝{x|x－１ ＜０}＝{x|x＜１}, 根据交集的运算可知,M∩N＝{x|－２≤x＜１}．] ７．D ８．A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k∈ Z}∪{x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U (M∪N)＝{x|x＝３k,k ∈Z}．] ９．解析:∵A∩B＝{１}, ∴(A∩B)∪C＝{１}∪{３,７,８}＝{１,３,７,８}． 答案:{１}　{１,３,７,８} １０．解析:把学生５４人看成集合U,选择物理的人组成集合A, 选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集合C,选择 物理与化学但未选生物的人组成集合D． 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多,除这三 门课程都不选的８人,则结合维恩图可知,其他区域人数均 为最少,即得到只选物理与只选化学均至少６人,只选生物 的最少２５人,作图,得该班选择物理与化学但未选生物的 学生至多有９人． 答案:９ １１．解:(１)B＝{２,３},C＝ ２,３２{ }, 因为A∩B＝A∪B,所以A＝B, 所以 ４－a２＝－(２＋３) a＋３＝２×３{ ,解得a＝３． (２)因为A∩B＝A∩C≠⌀,所以A∩B＝A∩C＝{２},所以 ２∈A,所以２２＋２(４－a２)＋a＋３＝０,即２a２－a－１５＝０,解 得a＝３或a＝－５２． 当a＝３时,A＝{２,３},此时A∩B≠A∩C舍去; 当a＝－５２ 时,A＝ ２,３４{ },此时满足题意． 综上,a＝－５２． １２．解:(１)A∪B＝{x|２≤x≤８}∪{x|１＜x＜６}＝{x|１＜ x≤８}．∵∁UA＝{x|x＜２或x＞８}, ∴(∁UA)∩B＝{x|１＜x＜２}． (２)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在 ８的左边即可, ∴a＜８． 新题快递 １．D　[由题意,原问题转化为方程ax２－２x＋a＝０至多只有 一个根, 当a＝０时,方程为－２x＝０,解得x＝０,此时方程只有一个 实数根,符合题意; 当a≠０时,方程ax２－２x＋a＝０为一元二次方程, 所以Δ＝４－４a２≤０,解得a≤－１或a≥１． 综上,实数a的取值范围为[１,＋∞)∪(－∞,－１]∪{０}．] ２．A　[设x１、x２、􀆺,xn(n≥４)是集合B 互不相同的元素,若n ＝３,则A１∩A２≠⌀,不合乎题意． ①假设集合B 中含有４个元素,可设A１＝{x１,x２},则A２＝ A４＝A６＝{x３,x４}, A３＝A５＝A７＝{x１,x２},这与A１∩A７＝⌀矛盾; ②假设集合B 中含有５个元素,可设A１＝A６＝{x１,x２},A２ ＝A７＝{x３,x４}, A３＝{x５,x１},A４＝{x２,x３},A５＝{x４,x５},满足题意． 综上所述,集合B 中元素个数最少为５．] 假期作业２ 思维整合室 １．(３)∀x∈M,p(x) ２．(３)∃x０∈M,p(x０) ３．∃x０∈M,􀱑p(x０)　∀x∈M,􀱑p(x) ４．⇒　/⇒　充分　必要　充分　必要 ５．p⇒q　q⇒p　p⇔q　p⇔q　(１)p⇔q　(２)p⇒q q/⇒p　(３)q⇒p　p/⇒q　(４)p/⇒q　q/⇒p 技能提升台　素养提升 １．B　[由a２＝b２,则a＝±b,当a＝－b≠０时,a２＋b２＝２ab不 成立,充分性不成立; 由a２＋b２＝２ab,则(a－b)２＝０,即a＝b,显然a２＝b２ 成立, 必要性成立; 所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] ２．AC ３．C　[因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ , 所以x２＋y２＝－２xy,即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０, 所以x＋y＝０, 所以“x＋y＝０”是“xy ＋ y x ＝－２ ”的充分必要条件．] ４．B　[已知m,n,l不过同一点,若“m,n,l两两相交”则“m,n, l在同一个平面”,反之不成立,故选B．] ５．解析:集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥d}, 当A∪B＝R时,a≤１,∵a≤１不一定得到a＝１,当a＝１时 一定可以得到a≤１, ∵“A∩B＝R”是“a＝１”的必要不充分条件, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０８ 当A∩B＝⌀时,a＞１,∴a＝２是“A∩B＝⌀”的充分不必要 条件． 答案:必要不充分　充分不必要 ６．解析:四人供词中,乙、丁意见一致,或同真或同假,若同真, 即丙偷的,而四人有两人说的是真话,甲、丙说的是假话,甲 说“乙、丙、丁偷的”是假话,即乙、丙、丁没偷,相互矛盾;若同 假,即不是丙偷的,则甲、丙说的是真话,甲说“乙、丙、丁三人 之中”,丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话,可知犯罪 的是乙． 答案:乙 ７．C ８．AD　[对于 A项,∀x∈R,２x－１＞０,A项正确;对于B项, ∵x２＋１－２x＝(x－１)２≥０, ∴x２＋１≥２x,B项错误;对于 C项,当x＜０,y＜０时,x＋y ＜０＜２ xy,C项错误;对于 D 项,取x＝y＝０,则sin(x＋ y)＝sin０＝０＝sin０＋sin０＝sinx＋siny,D项正确．] ９．C　[􀱑p:∀x＞０,２x≤x２．] １０．AB　[因为命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假命题, 所以命题:∀x∈R,x２＋bx＋１＞０是真命题,也即对∀x∈ R,x２＋bx＋１＞０恒成立, 则有Δ＝b２－４＜０,解得:－２＜b＜２,根据选项的值,可判 断选项 AB符合．] １１．解:(１)命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假命题,则命题 􀱑p:∀x∈R,ax２＋２x－１≠０为真命题, 显然a≠０,否则方程有实根x＝１２ ,因此Δ＝４＋４a＜０,解 得a＜－１,A＝{a|a＜－１}, 实数a的取值集合A＝{a|a＜－１}． (２)由非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜２m}知,６m－４＜ ２m,解得m＜１,B＝{x|３m＜x＜m＋２}, 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,因此３m ＜m＋２≤－１,解得m≤－３, 所以实数m 的取值集合是{m|m≤－３}． １２．解:由题意,作图,由图可知 M∩P＝{x|５ ＜x≤８},即a≤８． (１)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是－３≤a≤５． (２)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充 分 不 必 要 条 件,显 然,a 在 [－３,５]中任取一个值都可以． (３)若a＝－５,显然 M∩P＝[－５,－３)∪(５,８]是M∩P＝ {x|５＜x≤８}的必要不充分条件． 故a＜－３时为必要不充分条件． 新题快递 １．B　[由题意可知,|x|＝２可得x＝２或x＝－２; 而 x x－２＝ １ ２ 时,可得x＝－２,所以“|x|＝２”⇒/“xx－２＝ １ ２ ”, 但 x x－２＝ １ ２⇒|x|＝２ ; 因此“|x|＝２”是“xx－２＝ １ ２ ”的必要不充分条件．] ２．ACD　[对于 A,因为|x|＞１,所以x＞１或x＜－１,所以“当 x＞１”时,“|x|＞１”成立,反之不成立, 故“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件,正确; 对于B,“a∈P∩Q”一定有“a∈P”成立,反之不成立, 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件,错误; 对于 C,命题“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”是全称量词命题, 其否定是存 在 量 词 命 题,即“∃x∈R,使x２＋x＋１＜０”, 正确; 对于 D,当a＋b＋c＝０时,１为方程ax２＋bx＋c＝０的一个 根,故充分性成立; 当方程ax２＋bx＋c＝０有一个根为１时,代入得a＋b＋c＝ ０,故必要性成立,正确．] 假期作业３ 思维整合室 １．b＝a　a＝c ２．(１)b＜a　(２)a＞c　(５)a＋c＞b＋d　(６)ac＞bd ３．(１)≥　(２)①a,b均为正实数　②a＝b ４．(１)算术平均值　几何平均值　(２)不小于 ５．{x|x＜x１,或x＞x２}　{x|x≠x１}　{x|x１＜x＜x２}　⌀　⌀ 技能提升台　素养提升 １．D　２．A ３．解析:对于①,根据不等式的基本性质得,如果a＞b,且c＞ d,那么a＋c＞b＋d,命题①正确;对于②,如果a≠b,且c≠ d,那么ac≠bd错误,如a＝１２ ,b＝２,c＝－２,d＝－１２ 时,ac ＝bd＝－１,命题②错误;对于③,如果a＞b＞０,那么 １ab＞０ , 所以１ b＞ １ a＞０ ,即０＜ １a ＜ １ b ,命题③正确;对于④,如果 (a－b)２＋(b－c)２≤０,那么a－b＝b－c＝０,所以a＝b＝c, 命题④正确．所以真命题的序号是①③④． 答案:①③④ ４．D　[由题图形可知,OF＝１２AB＝ １ ２ (a＋b), OC＝１２ (a＋b)－b＝１２ (a－b), 在 Rt△OCF 中,由勾股定理可得, CF＝ a＋b２( ) ２ ＋ a－b２( ) ２ ＝ １２ (a２＋b２), ∵CF≥OF,∴ １２ (a２＋b２)≥１２ (a＋b)(a＞０,b＞０)．] ５．C　[因为０＜x＜ １２ ,所以１－４x２＞０,所以x １－４x２＝ １ ２×２x １－４x ２≤１２× ４x２＋１－４x２ ２ ＝ １ ４ ,当且仅当２x＝ １－４x２,即x＝ ２４ 时等号成立．] ６．BC　[由x２＋y２－xy＝１得 x－y２( ) ２ ＋ ３ ２y æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１, 令 x－y２＝cosθ ３ ２y＝sinθ ì î í ïï ï ⇒ x＝ ３３sinθ＋cosθ , y＝２ ３３ sinθ , ì î í ï ï ïï 故x＋y＝ ３sinθ＋cosθ＝２sin θ＋π６( ) ∈[－２,２],故 A 错,B对;x２＋y２＝ ３３sinθ＋cosθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ３ ３sinθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３３sin２θ － １３ cos２θ＋ ４ ３ ＝ ２ ３ sin (２θ－φ)＋ ４ ３ ∈ ２ ３ ,２[ ] , 其中tanφ＝ ３ ３ æ è ç ö ø ÷,故 C对,D错．] ７．解析:当k＝０时,２＜０不等式无解,满足题意;当k＞０时, Δ＝４k２－８k≤０,解得０＜k≤２; 综上,实数k的取值范围是{k|０≤k≤２}． 答案:{k|０≤k≤２} ８．解析:正实数a、b满足a＋４b＝１,则ab＝１４×a 􀅰４b≤ １４× a＋４b ２( ) ２ ＝１１６ ,当且仅当a＝１２ ,b＝１８ 时等号成立． 答案:１ １６ ９．D　[由题意知 －x２＋４x－３＞０, －x２＋４x－３≠１,{ 即 １＜x＜３, x≠２,{ 故函数f(x)的定义域为(１,２)∪(２,３)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １８