假期作业19 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业１９　简单几何体的表面积与体积　　　　　　　 １．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 圆柱 圆锥 圆台 侧 面 展 开 图 侧 面 积 公 式 S圆柱侧＝　　　 S圆锥侧＝　　　 S圆台侧＝　　　 ２．空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝ S侧＋２S底 V＝　　　　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝ S侧＋S底 V＝　　　　 台体(棱台和圆台) S表面积＝ S侧＋S上＋S下 V＝１３ (S上＋S下＋ S上S下 )h 球 S＝　　　　 V＝４３πR ３ ◆[考点一]　空间几何体的表面积与侧面积 １．如图所示,圆锥的底面半径为 １,高为 ３,则该圆锥的表面 积为 (　　) A．π　　　　　　　B．２π C．３π D．４π ２．已知△ABC是面积为９ ３４ 的等边三角形,且其 顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为 １６π,则O到平面ABC的距离为 (　　) A．３　　B．３２　　C．１　　D． ３ ２ ３．若圆柱的底面半径为１,其侧面展开图是一 个正方形,则这个圆柱的侧面积是 (　　) A．４π２　　B．３π２　　C．２π２　　D．π２ ４．已知一个圆台的上、下底面半径分别为２, ４,它的侧面展开图扇环的圆心角为９０°,则 这个圆台的侧面积为 (　　) A．３２π　　B．４８π　　C．６４π　　D．８０π ５．已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点, ☉O１ 为△ABC的外接圆．若☉O１ 的面积为 ４π,AB＝BC＝AC＝OO１,则球 O 的表面 积为 (　　) A．６４π　　B．４８π　　C．３６π　　D．３２π ６．(多选题)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知圆锥的 顶点为P,底面圆心为O,AB 为底面直径, ∠APB＝１２０°,PA＝２,点C在底面圆周上, 且二面角PＧACＧO 为４５°,则 (　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为４ ３π C．AC＝２ ２ D．△PAC的面积为 ３ ◆[考点二]　空间几何体的体积 ７．«九章算术»中记载,四个面 都为直角三角形的四面体称 之为鳖臑．现有一个“鳖臑”, PA⊥底面 ABC,AC⊥BC, 且PA＝３,AC＝BC＝２,则 该四面体的体积为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．４　　　D．８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ ８．(２０２３􀅰天津卷)在三棱锥P－ABC 中,线 段PC上的点M 满足PM＝１３PC ,线段PB 上的点 N 满足PN＝２３PB ,则三棱锥 P－ AMN 和三棱锥P－ABC的体积之比为 (　　) A．１９ B． ２ ９ C． １ ３ D． ４ ９ ９．(２０２３􀅰全国乙卷(理))已知圆锥PO 的底 面半径为 ３,O为底面圆心,PA,PB 为圆锥 的母线,∠AOB＝１２０°,若△PAB 的面积等 于９ ３ ４ ,则该圆锥的体积为 (　　) A．π B．６π C．３π D．３ ６π １０．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)底面边长为４的正四 棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一 个底面边长为２,高为３的正四棱锥,所得 棱台的体积为　　　　． １１．如 图,在 四 边 形 ABCD 中, ∠DAB ＝ ９０°, ∠ADC＝１３５°,AB＝５, CD＝２ ２,AD＝２,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的体积． １２．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切 球,若圆锥的底面半径为 １cm,求球的 体积． １．如图是一个棱长为２的正 方体被过棱 A１B１、A１D１ 的中点 M、N,顶点 A 和 过点N 顶点D、C１ 的两个 截面截去两个角后所得的 几何体,则该几何体的体积为 (　　) A．５　　B．６　　C．７　　D．８ ２．在四面体SＧABC 中,SA＝SB＝２,且SA⊥ SB,BC＝ ５,AC＝ ３,则该四面体体积的最 大值为　　　　　,该四面体外接球的表面 积为　　　　　． 今天做数学题．十个人 排队,甲不能站中间,不能站 两端,还得和乙挨着,还得和 丙隔两个人,还得站丁后面． 经过激烈的讨论,大家一致 认为,让甲滚􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３ １０．解析:圆锥底面半径为１cm,母线长为２cm,则它的侧面展 开图扇形的圆心角所对的弧长为２π×１＝２π(cm); 所以扇形的圆心角为θ＝２π２＝π． 答案:π １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台上、 下底面半径分别为xcm,３xcm,延 长 AA１ 交 OO１ 的 延 长 线 于 S,在 Rt △SOA 中,∠ASO ＝ ４５°,则 ∠SAO ＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台的高OO１＝１４(cm),母线长l＝２OO１＝１４２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得 AC１ 的长分别 为 ９０、 ７４、 ８０,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫 可以 先 在 长 方 形 ABB１A１ 内 由 A 到 E,再 在 长 方 形 BCC１B１ 内由E 到C１,也可以先在长方形AA１D１D 内由A 到F,再 在 长 方 形 DCC１D１ 内 由 F 到 C１,其 最 短 路 程 为 ７４． 新题快递 图① １．解析:正 三 棱 柱 ABCＧA′B′C′如 图 ① 所示． 当按照图②所示展开,过 P 作PP′⊥A′ C′于P′,可知PP′＝１,A′P′＝３, 由勾 股 定 理 可 得 AP＝ PP′２＋A′P′２ ＝ １０; 图② 当按照图③所示展开,连接A′P 交B′C′于点O,可知OP＝ １,A′O＝ ３, 所以A′P＝ ３＋１． 图③ 因为 ３＋１＜ １０,点A′到点P 的路程最小值为 ３＋１． 答案:３＋１ ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的高为h,截得棱台的原棱锥的高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和 ９, 故EM AN＝ ２ ３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN ＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１ －２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱 锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业１９　简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l ２．S底 􀅰h　１３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　　２．C　 ３．A　[依题意,圆柱的母线长l＝２πr,故S侧 ＝(２πr)２＝４π２r２ ＝４π２．] ４．B　[圆台的上底面圆半径２,下底面圆半径４, 设圆台的母线长为l,扇环所在的小圆的半径为x, 由题意可得: １ ４×２π 􀅰(l＋x)＝２π×４ １ ４×２π 􀅰x＝２π×２ ì î í ïï ï ,解得 x＝８ l＝８{ , 所以圆台的侧面积π×(２＋４)×８＝４８π．] ５．A　[由题意知☉O１ 的半径r为２,由正弦定理知 AB sinC＝２r , 则 OO１ ＝AB＝２rsin６０°＝２ ３,所 以 球 O 的 半 径 R ＝ r２＋OO２１＝４,所以球O 的表面积为４πR２＝６４π．] ６．AC　[如图,由∠APB＝ １２０°,AP＝２ 可 知,底 面 直径AB＝２ ３,高PO＝１, 故该圆 锥 的 体 积 为 π,故 A对;该圆锥的侧面积为２ ３π,故 B错;连接CB,取 AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P－AC－O 的平面 角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１,PQ＝ ２,所以BC＝２, 所以AC＝２ ２,故 C对;S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故 D错．] ７．B　[由题意可知:三棱锥PＧABC 的高为PA＝３,所以该四 面体的体积为１ ３×３× １ ２×２×２＝２． ] ８．B　[如图,分别过 M,C 作 MM′ ⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分 别 为 M′,C′．过B 作BB′⊥平面PAC, 垂足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作 NN′⊥PB′,垂足为 N′． 因为BB′⊥平面 PAC,BB′⊂平 面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′⊂平 面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４９ 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ９．B　[在△AOB 中,∠AOB＝１２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝２BC＝３,由△PAB 的 面 积 为 ９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解 得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６＝ ６π．] １０．解析:由 题 意 易 求 正 四 棱 锥 的 高 为 ６,V棱台 ＝V大四棱锥 － V小四棱锥 ＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ １１．解:如图,过C作CE 垂直于AD,交AD 延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝ V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋５×２＋２２)×４－ １３π×２ ２×２＝ １４８ ３π． １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心,与 边BC,AC相切于点D,E．连接AD,OE, 因 为 △ABC 是 正 三 角 形,所 以 CD＝ １ ２AC． 因 为 Rt△AOE∽ Rt△ACD,所 以OEAO ＝CDAC． 因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．C　[如 图 将 正 方 体 还 原 可 得 如 下 图形: 则VAＧA１MN ＝ １ ３ × １ ２ ×１×１×２＝ １ ３ ,VDＧND１C１＝ １ ３× １ ２×１×２×２＝ ２ ３ ,VABCDＧA１B１C１D１＝２ ３＝８,所以该几 何体的体积V＝８－１３－ ２ ３＝７． ] ２．解析:四 面 体 的 体 积 最 大 时 即 面SAB⊥面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB,BC＝ ５,AC＝ ３,所以∠ACB＝９０°, 取 AB 的 中 点 H, 连 接 CH,SH, SH ⊥AB,平 面 SAB∩ 平 面 ABC＝AB,SH 在 平 面 SAB 内,而SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２ 所以SH⊥平面ABC,所以VSＧABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰SH＝ １ ３ 􀅰 １ ２ 􀅰 ５􀅰 ３􀅰 ２＝ ３０６ ; 则外接球的球心在SH 上,设球心为O,连接OC,CH＝ １２ 􀅰AB＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,因为SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,所 以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期作业２０　空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．C　[在①中,因为P,Q,R 三点既在平面ABC 上,又在平面 α上,所以这三点必在平面 ABC 与α 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a与b 确定一 个平面α,而l上有A,B 两点在该平面上,所以l⊂α,即a,b, l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β 有两条公共的直线a,l,所以α与β 重合,故这些直线共面, 故②正确;在③中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确 定７个平面,故③错．] ３．D　[对于 A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交,比如棱柱共点三条棱,这三条直线就不共面,也 不一定能确定一个平面,故 A、B错,对于 C,若三条直线相 互平行,其中两条可以确定一个平面,另一条可以与已知平 面平行,故 C错误,对于 D,一条直线与两条平行直线都相 交,这三条直线能确定一个平面．] ４．解析:当一个点在平面一侧,另三个点在平面另一侧时,这种 平面有４个;当平面两侧各有两个点时,这种平面有３个．故 共有７个． 答案:７ ５．C　[由 于a∥b,a,c 异面,此时,b和c 可 能相交,也即共面,如 图所示b与c 相交;b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９