假期作业15 正弦定理-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业１５　正弦定理　　　　　　　 １．正弦定理 在△ABC中,若角A,B,C 对应的三边分别 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 等,即　　　　　．正弦定理对任意三角形 都成立． ２．解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们 的对边a,b,c叫做三角形的　　　　　　． 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做　　　　　　． ３．正弦定理的常见变形 (１)a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC,其中 R 为△ABC外接圆的半径． (２)sinA＝a２R ,sinB＝ b２R ,sinC＝ c２R (R 为 △ABC外接圆的半径)． (３)三角形的边长之比等于对应角的正弦比, 即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (４) a＋b＋csinA＋sinB＋sinC ＝ a sinA ＝ b sinB ＝ csinC． (５)asinB＝bsinA,asinC＝csinA,bsinC＝ csinB． ◆[考点一]　已知两边及一边的对角解三角形 １．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３　　B． ６ ３　　C． ２ ２　　D． ３ ８ ２．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a＝ ２,B＝４５°,b＝２则A＝ (　　) A．３０°或１５０°　　　　　B．３０° C．１５０° D．４５° ３．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形解的个 数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ４．在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则C等于 (　　) A．π３　　B． ３π ４　　C． π ４　　D． π ６ ◆[考点二]　正弦定理的应用之边角互化 ５．在△ABC中,若acosA＝bcosB,则△ABC为 (　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ６．(多选题)在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA, 则△ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ７．(２０２３􀅰 全国甲卷 (理))已 知 △ABC 中, ∠BAC＝６０°,AB＝２,BC＝ ６,∠BAC的角平 分线交BC于点D,则AD＝　　　　． ８．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b, c．若a＝７,b＝２,A＝６０°,则sinB＝　　　　, c＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２ ◆[考点三]　正弦定理的综合应用 ９．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b, c．若A＝６０°,a＝３,则 a－b－csinA－sinB－sinC＝ (　　) A．１２　　B． ３ ２　　C．３　　D．２ １０．(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c．sinC＋sin(A－B)＝３sin２B,C＝ π ３ ,则a b＝ (　　) A．１３　　B． １ ２　　C．２　　D．３ １１．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中,A ＋B＝３C,２sin(A－C)＝sinB． (１)求sinA; (２)设AB＝５,求AB 边上的高． １２．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的 面积为 ３,D 为BC 的中点,且AD＝１． (１)若∠ADC＝π３ ,求tanB; (２)若b２＋c２＝８,求b,c． １．命题p:“若△ABC 与△DEF 满足:AB＝ DE＝x,BC＝EF＝２,cosA＝cosD＝４５ ,则 △ABC≌△DEF”．已知命题p是真命题, 则x的值不可以是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．１０３　　　D． ７ ３ ２．(多选)若△ABC 的三个内角A,B,C 的正 弦值为sinA,sinB,sinC,则 (　　) A．sinA,sinB,sinC 一定能构成三角形的 三条边 B． １sinA , １ sinB , １ sinC 一定能构成三角形的 三条边 Csin２A,sin２B,sin２C．一定能构成三角形的 三条边 D．sinA,sinB,sinC一定能构成三角形 的三条边 数学魔术家　１９８１年,印度的一位名叫 沙贡塔娜的３７岁妇女,凭借心算与一台先进 的电子计算机展开竞赛．题目是求一个２０１位 数的２３次方根．但令人惊奇的是,沙贡塔娜只 用了５０秒钟就报出了正确的答案．而计算机 得出同样的结果,花费的时间要多得多．这一 奇闻,在国际上引起了轰动,沙贡塔娜被称为 “数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ 由②csinA＝３,解得c＝b＝２ ３,a＝６． 因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c＝２ ３． 方案三:选条件③． 由C＝π６ 和余弦定理得a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ２． 由sinA＝ ３sinB及正弦定理得a＝ ３b． 于是３b ２＋b２－c２ ２ ３b２ ＝ ３２ ,由此可得b＝c． 由③c＝ ３b,与b＝c矛盾． 因此,选条件③时问题中的三角形不存在． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC＝ ９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝３７×５ ＝１５７ , 在△ABD 中,由余弦定理 AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰 cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．解析:由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,即６４＝b２＋４９ －２×b×７×１７＝b ２－２b＋４９, 故b２－２b－１５＝０,解得b＝－３(舍)或b＝５, 因为cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,所以cosC＝６４＋２５－４９２×８×５ ＝ １ ２ ,又C ∈(０,π),故C＝π３． 答案:５　π３ 假期作业１５　正弦定理 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．D　２．B　 ３．C ４．C　[在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则由正弦定理可得 BC sinA＝ AB sinC ,即 ３ sinπ３ ＝ ６sinC , 求得sinC＝ ２２ , C∈(０,π),∴C＝π４ 或C＝３π４． 再由BC＞AB,以及大边对大角可得C＝π４＜A． ] ５．C　[acosA＝bcosB,由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB, 即１ ２sin２A＝ １ ２sin２B ,故sin２A＝sin２B, 因为A,B∈(０,π),且属于三角形内角,所以A＋B＜π, 所以２A＝２B或２A＋２B＝π,解得A＝B或A＋B＝π２ , 所以△ABC为等腰或直角三角形．] ６．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R为△ABC外接圆的半径) 代入 已 知 条 件,得 sin２AtanB＝sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝sinAsin ２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三角形．] ７．解析:如图所示:记 AB＝c,AC＝b, BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得:b＝１＋ ３, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得, １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD×sin３０°＋ １ ２×AD×b×sin３０° , 解得:AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ ８．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 又a２＝b２＋c２－２bccosA,∴c２－２c－３＝０,解得c＝３． 答案: ２１ ７ 　３ ９．D　[在 △ABC 中,由 正 弦 定 理 得 asinA＝ b sinB＝ c sinC＝ ３ sin６０°＝２ , ∴ asinA＝ －b －sinB＝ －c －sinC＝２ , ∴ a－b－csinA－sinB－sinC＝２． ] １０．BD　[因为A＋B＝π－C,所以sinC＝sin(π－C)＝sin(A ＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB． 又sinC＋sin(A－B)＝３sin２B, 所以２sinAcosB＝６sinBcosB, 即２cosB(sinA－３sinB)＝０,解得cosB＝０或sinA＝ ３sinB． 当cosB＝０时,因为B∈(０,π),所以B＝π２． 又C＝π３ ,所 以A＝π６ ,则sinA＝１２ ,sinB＝１,所以由正弦定理得ab ＝ sinA sinB＝ １ ２． 当sinA＝３sinB 时,由正弦定理得a＝３b, 所以a b ＝３． 综上所述,a b ＝３ 或１ ２． ] １１．解:(１)因为A＋B＝３C,所以A＋B＝３(π－A－B),所以A ＋B＝３π４ ,所以C＝π４ , 另外,由题意得:２sin(A－C)＝sin(A＋C), 即２sinAcosC－２cosAsinC ＝sinAcosC＋cosAsinC, 所以sinA＝３cosA,变形得sin２A＝９(１－sin２A)．故sinA ＝３ １０１０ ． (２)由sinA＝３cosA, 得cosA＝１３sinA＝ １０ １０ , 所以sinB＝sin(A＋C)＝３ １０１０ × ２ ２＋ １０ １０ × ２ ２＝ ２ ５ ５ , 由 AC sinB＝ AB sinC ,解得AC＝２ １０, 所以S△ABC＝ １ ２×５×２ １０× ３ １０ １０ ＝１５ , 设AB 边上的高为h,则 １２AB 􀅰h＝１５,解得h＝６．故 AB 边上的高为６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ １２．解:(１)因为S△ABC ＝２S△ADC ＝２× １ ２ × a ２ ×１×sin６０°＝ ３ ４a＝ ３ ,解得a＝４, 在△ADC中由余弦定理得b２＝１２＋２２－２×１×２×cos π３ ＝３, 在△ABD中,c２＝１２＋２２－２×１×２×cos２π３＝７ , 在△ABC中,cosB＝c ２＋a２－b２ ２ca ＝ ７＋１６－３ ２ ７×４ ＝ ５ ２ ７ ,sinB ＝ １－cos２B＝ ３ ２ ７ ,因此tanB＝sinBcosB＝ ３ ５． (２)在 △ABC 中,由 中 线 长 公 式 可 得 (２AD)２ ＋BC２ ＝ ２(AB２＋AC２),即２２＋a２＝２(b２＋c２)＝１６,所以a２＝１２,又 S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ,因而bcsinA＝２ ３,又由余弦定理 得a２＝b２＋c２－２bccosA,即１２＝８－２bccosA,所以bccos A＝－２,故tanA＝－ ３⇒cosA＝－１２ ,所以bc＝４,又b２ ＋c２＋２bc＝８＋８＝１６＝(b＋c)２,b２＋c２－２bc＝８－８＝０＝ (b－c)２,故可得b＝c＝２． 新题快递 １．D　[在△ABC 中,由已知可得,sinA＝ １－cos２A＝３５． 又cosA＝４５＞０ ,所以 A为锐角． 由正弦定理可得,BC sinA＝ AB sinC , 所以,sinC＝ABsinABC ＝ ３ ５x ２ ＝ ３ １０x． 要使命题p是真命题,则C有唯一满足条件的解． 若０＜x＜２,则sinC＜３５ ,显然C有唯一满足条件的解; 若x＝２,则C＝A,满足; 若x＞２,且sinC＜１,即３１０x＜１ , 即２＜x＜１０３ ,此 时 C 有 两 解 满 足 条 件,此 时 命 题 p 是 假 命题; 当x＝１０３ 时,此时有sinC＝１,C＝π２ 有唯一解,满足; 当x＞１０３ 时,此时有sinC＞１,显然C无解,不满足． 综上所述,当０＜x≤２或x＝１０３ 时,命题p是真命题．] ２．AD　[对于 A,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶ c,所以sinA,sinB,sinC 作为三条线段的长一定能构成三 角形,A正确,对于B,由正弦定理得 １sinA∶ １ sinB∶ １ sinC＝ １ a∶ １ b∶ １ c ,例如a＝５,b＝１２,c＝１３,则 １a ＝ １ ５ ,１ b ＝ １ １２ , １ c＝ １ １３ ,由于１ a＝ １ ５＝ ２５ １２５ ,１ c ＋ １ b ＝ １ １２＋ １ １３＝ ２５ １５６ ,１ c ＋ １ b＜ １ a ,故不能构成三角形的三条边长,故B错误, 对于 C,由正弦定理得sin２A∶sin２B∶sin２C＝a２∶b２∶c２, 例如:a＝３、b＝４、c＝５,则a２＝９、b２＝１６、c２＝２５, 则a２＋b２＝２５＝c２,sin２A,sin２B,sin２C作为三条线段的长不 能构成三角形,C不正确; 对于 D,由正弦定理可得 sinA∶ sinB∶ sinC＝ a∶ b∶c,不妨设a＜b＜c,则a＋b＞c,故 a＜b＜c,且(a＋ b)２－(c)２＝a＋b－c＋２ ab＞２ ab＞０,所以(a＋ b) ＞c,故 D正确．] 假期作业１６　余弦定理、 正弦定理的应用 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．B　[如图所示建立平面直角坐标系,假设|OE|＝|OG|＝ ４４１,OF⊥EG, 由题 意 易 知|OF|＝ ２２ ×５８８＝２９４ ２ ,则|GF|＝ |OG|２－|OF|２＝ ２１６０９＝１４７, 所以该基 地 受 热 带 风 暴 中 心 影 响 的 时 长|EG| ２１ ＝ １４７×２ ２１ ＝１４．] ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０°＝ ２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ ５．D　[在△ABC 中,BC＝６０× １２ ＝３０ (km),∠ABC＝７０°－ ４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则∠A＝１８０°－(３０°＋ １０５°)＝４５°,由正弦定理,可得AC＝１５ ２(km)．] ６．A　[如 图 所 示,易 知,在△ABC 中,AB＝ ２０,∠CAB＝３０°,∠ACB＝４５°, 根据正弦定理得 BC sin３０°＝ AB sin４５° ,解得BC ＝１０ ２(海里)．] ７．B 　 [连 接 AC,由 题 意, ∠ABC＝４５°,∠ACD＝７５° －１５°＝６０°,∠BCD＝７５°＋ ４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB＝１０ ３, CD＝４ ２, 在△ABC 中,由 正 弦 定 理 得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由 余 弦 定 理 得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９