假期作业12 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业１２　平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　．不 共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面内所有 向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝ b,则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如 图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　　 　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则称 a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基底,则 下列四组向量中,不能作为基底的是(　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 是半圆弧AB︵的两个三 等分点,AB → ＝a,AC → ＝b,则 AD → ＝ (　　) A．a－１２b　　　　B． １ ２a－b C．a＋１２b D． １ ２a＋b ３．如图,在△ABC中,设AB → ＝a,AC → ＝b,BD → ＝ ２DC →,AE → ＝４ED →,则BE → ＝ (　　) A．１１５a－ ８ １５b　　　　B． ２ ３a－ ８ １５b C．－２３a＋ ８ １５b D．－ １１ １５a＋ ８ １５b ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝２e１ ＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下可以表 示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则λ＝ 　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),则２a＋b 等于 (　　) A．(５,７) B．(５,９) C．(３,７) D．(３,９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２ ６．若向量a＝(２,１),b＝(－１,２),c＝ ０,５２ æ è ç ö ø ÷, 则c可用向量a,b表示为 (　　) A．１２a＋b B．－ １ ２a－b C．３２a＋ １ ２b D． ３ ２a－ １ ２b ７．已知向量a＝(３,１),b＝(０,－１),c＝(k, ３),若(a－２b)∥c,则实数k的值为 (　　) A．１　　B．－１　　C．３　　D．－ ３ ８．已知A(０,１),B(３,－２),且AC → ＝２CB →,则 AC → 的坐标为　　　　　． ◆[考点三]　平面向量基本定理的综合应用 ９．已知在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝１, AC＝２,D 是 △ABC 内一点,且 ∠DAB＝ ６０°,设AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R),则 λ μ ＝ (　　) A．２ ３３ 　　B． ３ ３　　C．３　　D．２ ３ １０．已知正方形ABCD 的边长为２,点P 满足 AP → ＝１２ (AB → ＋AC → ),则|PD → |＝　　　;PB → 􀅰 PD → ＝　　　　． １１．设e１,e２ 是不共线的非零向量,且a＝e１－ ２e２,b＝e１＋３e２． (１)证明:a,b可以作为一组基底; (２)以a,b为基底,求向量c＝３e１－e２ 的分 解式; (３)若４e１－３e２＝λa＋μb,求λ,μ的值． １２．解答下列各题: (１)设向量a＝(１,２),b＝(－４,３),求a －２b; (２)已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１), 点P 满足MP → ＝１２MN →,求点P 的坐标． １．设向量a＝(－１,１),b＝(０,２),则 (　　) A．|a|＝|b| B．(a－b)⊥a C．(a－b)∥a D．a􀅰b＝－２ ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μAD →, 则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字,忍不住凑上去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚”字． 大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又看大妈 一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住了,上去一 脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察来了问咋回事,老头委屈地说:“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两个字,就 被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４２ 三0002 一学 1.解：BA==-A店=-BC=-(Bi+AC, 七解折：由条件可和任子部得 λ=2 ∴.m= 答案：2 一2 12.解：(1)O元=O币+P元=O币+P成=O币+A(00-O) 5.D[2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] (1-)OP+AOQ 6.A[设c=a+b,则(0，号)） =(2x-yx+2y). (2)由(1)及OP=x0A.0反=y0B.得0G=(1-)Op+x 2x-y=0, O0=(1-A)xOA+yOB.① 所以 解得r=2‘则c= :G是△OAB的重心， x+2y=2· 2a+b.] (y=1, 0元=号oi=号×号o+0成)=号o+0成.@ 7.A[根据题意，向量a=(5,1),b=(0,一1)，则a-2b= (3,3):若(a-2b)∥c,且c=(k,3),则有3k=3×3,解 由①@得[1-0r-号]oi=(信-)o成， 可得k=1.] 8.解析：设C(x,y),因为A(0,1),B(3,-2),所以AC=(xy 而OA,OB不共线， 1),CB=(3-x,-2-y). (1一入)x一3解得】 1=3-3 又周为AC=2C成.所以=2(3-) {y-1=2(-2-y) y= 1 =3 y 解每{仁21所以-一=2,2 +=3即+号是定值 答案：(2，-2) y 新题快递 9.A[如图，以A为原，点，AB所在直线为x轴， 1.BC[对于A,D:不妨取a,b分别为xy轴上的单位向量， AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B D 满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为 ∠DAB=60°，所以设D点的坐标为(m√3m)(m A 成立，故A,D错误：对于B:由零向量与任何向量平行，可知 a=0或|b=0时，a∥b.故B正确：对于C:因为a=一2b, ≠0). 所以a∥b.故C正确.] AD=(m,N3m)=AAB+uAC=A(1,0)+u(0,2)=(x,2), 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD, 到且=号 AF=AE+(1-)AB.3 AE-AC, 所以2-] 所以A萨=号A花+1-)A店， 10.解析：以点A为坐标原点，AB、AD所在直 线分别为y轴建立如图所示的平面直 又国为A市-专(+心， 角坐标系， 则点A(0,0),B(2.0)、C(2,2)、D(0,2), 所以号AC+1-)A店=受(A店+AC, AP-B+A0=2,2)+22.0 -1 m=2 =(2,1), 解得： ,即 3 则点P(2,1)..PD=(-2.1),PB=(0,-1), n= 因光，PD1=√(-2)+1下=5，PB·PD=0×(-2)+ 代入萨=n舵=（症-A)=是(}花-）=}Ad 1×(-1)=-1. 诚 答案：5-1 11.解：(1)若a,b共线，则存在a∈R,使a=,则e-2e=入(e,十 3 1 解得A=一子= 3e入由6不共线得，1，。即 =1, 3x=-2, =一2.所以A不 aa+-言e能-合 3 存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. 假期作业12平面向量的基本 (2)设c=0十b(m,n∈R),得 定理及坐标表示 3e,-e=m(e-2e)+u(e+3e)=(m+n)e+(-2m+3m) 思维整合室 {2训=-1解之得{m所以c=2a+6 6.所以m十n=3, 1n=1. 1.不共线Ae十入e基底2.(1)0°≤0≤180 (3)由4e-3e2=a十b.得 (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+x:y1+(2)x 4e,-3e2=A(e1-2e,)+u(e+3e2)=(X+u)e,+(-2λ+ -xy-2(3),Ay4.(1)a=b (2)x1y一x:y1=0 3e.所以+=4， →=3， {-2λ+3=-3，{4=1. 技能提升台素养提升 故所求入，以的值分别为3和1. 1.B2.D 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+ 3.D[由题意成=证-A店=专心-。=青店+励-。 8,2-6)=(9,-4). (2)南已知两点M3,-2)和N(-5,-1,可得2M =-a+] 2(-5-3,-1+2=（42)片 设点P的坐标是(x,y),则MP=(.x-3y十2). 87 快乐假期 SE 由已知N=号M.可得-3y+2)=（4,号） 4.B[向量a,b满足a+b=(2,3), a-b=(-2,1), x-3=一4， x=一1， 所以a2-1b=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= 少+2=1.解得 -1.] 2 y=-2 5.D[由a十b+c=0得a十b=-c,所以(a+b)=(-c), 六点P的坐标是(1一受 即a+2a·b+b=c,又la=b=1.lc=2, 所以a·b=0,所以a⊥b. 新题快递 如图所示：a一c=CA,b-c=CB,由 1.B[对于A:因为|a=√(-1)+1下=2，|b1=√0+2 余弦定理得CA=|CB引=√5，所以 =2,所以，a≠b. 对于B:a-b=(-1,1)-(0,2)=(-1,-1), cos∠ACB=5+5-2=4. 25×w55' a 因为(a-b)·a=(-1,-1)·(-1,1)=(-1)×(-1)+ 即cos(a一c (-1)×1=0,所以(a-b)⊥a. 对于C:由B可知(a一b)⊥a,所以C不正确. 对于D:因为a·b=(-1,1)·(0,2)=2≠-2，所以D不 6.解析：由a+b=2a一b,得a2=2a·b: 正确.] 由a-b=√5，符a2-2a·b+6=3,即b=3, 2.解析：建立如下图的平面直角坐 1b=3. 标系， 答案：3 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3 7.ABCD [la+b=la-bla+b=la-bl'a+2a.b 4).EB=(3,-4), +b=a-2a·b+b台a·b=0,a2+b=(a-b)2曰a2+b 由萨=3F店得E序=子成 =a2-2a·b十b=a·b=0.] 8.D[(a+b)·(a十b)=a2十(a+)(a·b)十b =(- =2(1十入：)=0，所以入=一1. 9解析：由向量a,b的夫角为号，且(a一b)⊥b: 设F0,期-3y0=(径，-3 可#一=号降释县所以F(件小正 得(a-b·b=a·b-F=号ab-b=0 (y-4=-3 (y=1 所以1a-2b号-2 ( 因为a+bl=√/(a+b)=√a+2a·b+b =√4b+21b+bP=√71b, 又图为AF=AAB+:AD=X(6,0)十(0,4)=(6,4n), 1a-b=(a-b)=√a-2a·b+b 4=1 所以】 .7 成=2到解得1=骨以=子则计=号 1 =√4b-2b+b下=51b1, 4 所以a十。@ Ta-b 3 答案 答案：2红 3 假期作业13平面向量的数量积 思维整合室 10.AC[设a=h（>0),所以kn=3·解得k=5。 1.(1)al blcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c 3k=3. a·b 即a=√3b,故A正确 3.wa·a√+allblcos0+yy ab 设e=(xy)是与a垂直的单位向量，则有5.x十3y=0,x2+y x1xg十y1y为 x1x2十y1y2=0 =1,所以c= +·:+ 技能提升台素养提升 国为6在。上的授影向量为30，所以后=3，所以 1.C[因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,所以6m十24= 0,解得：m=-4,0·b=18-8m=18-8×(一4)=50.] 3m+35=3,解得m=3,故C正确 2V3 2.B[以{AB,AD)为基底向量，可知AB=|AD=2,AB· 因为a与b的夹角为镜角，所以a·b<0且a,b不共线，所 AD=0 以(5n+33<0·解得"，3即n<-3.所以n(-0, 剩E配=E成+BC-号AB+ADED=EA+AD=-AB 3-3n≠0， n≠1， -3),故D错误.] +AD. 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 所以.币=（合AB+AD)·(A店+A可）=- N,则N是AM的中点，又正方形边长为 A店+AD=-1+4=3.] 8,所以M(8,4),N(4,2). 设点E(e,0),则AM=(8,4).AN=(4, 3.解析：因为BC-AC-AB=(-3,2),所以(aAB+AC)⊥Bd →(aAB+AC)·BC=0→AAB.BC+AC.BC=0,即-6a 2),AE=(e,0),EV=(4-e,2), 由AM⊥E得AM·E=0.即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 +7=0,解得入- e=5,即AE=5. 答案： 所以5aa=号1EBi=专×5X4=10. 88