假期作业11 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业１１　平面向量的概念与线性运算　　　　　　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向量; 向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:长度等于　　的向量,其方向是任 意的． (３)单位向量:长度等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零向量, 又叫共线向量,规定:０与任一向量共线． (５)相等向量:长度相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:长度相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四边形 法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形法则． (２)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作 λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa与a的方向相同;当 λ＜０时,λa 与a 的方向相反;当λ＝０时, λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ)a; (λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ３．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数λ,使得b＝λa． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等． ②向量a与向量b 平行,则a与b 的方向相 同或相反． ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点 必相同． ④两 个 有 共 同 终 点 的 向 量,一 定 是 共 线 向量． ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点A, B,C,D 必在同一条直线上． ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段． A．２　　B．３　　C．４　　D．５ ２．设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结 论错误的是 (　　) A．AO → ＝OC → B．AO → ＝BO → C．BO → ∥DB → D．AB → 与CD → 共线 ３．若a等于“向东走８km”,b等于“向北走８ km”,则|a＋b|＝　　　　 km,a＋b的方 向是　　　　． ４．中国象棋中规定:马走 “日”字,象走“田”字． 如图,在中国象棋的半 个棋盘(４×８的矩形中 每个小方格都是单位正方形)中,若马在A 处,可跳到A１ 处,也可跳到 A２ 处,用向量 AA１ →,AA２ → 表示马走了“一步”．若马在B 处 或C 处,则表示马走了“一步”的向量共有 　　　　个． ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．如 图,在 正 六 边 形 ABCＧ DEF中,BA → ＋CD → ＋EF → ＝ (　　) A．０　　　　　B．BE → C．AD → 　　　　D．CF → ６．(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则 下列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．如图,在△ABC 中,AD＝ DB,AE＝EC,CD 与BE 交于点F．设AB → ＝a,AC → ＝ b,AF → ＝xa＋yb,则(x,y)为 (　　) A．１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷ D．２３ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC 中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为 线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量的共线及其综合应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R),d＝ a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝a＋２b,BC → ＝－５a＋６b,CD → ＝７a －２b,则下列一定共线的三点是 (　　) A．A,B,C B．A,B,D C．B,C,D D．A,C,D １１．已知AB → ＝１４BC →,且BA → ＝mAC →,求实数m 的值． １２．如图,G 是△OAB 的重心, OG 的 延 长 线 交 AB 于 点 M,P,Q 分别是边OA,OB 上的动点,且 P,G,Q 三点 共线． (１)设PG → ＝λPQ →,将OG → 用λ,OP →,OQ → 表示; (２)设OP → ＝xOA →,OQ → ＝yOB →,证明:１ x＋ １ y 是定值． １．(多选)以下选项中,能使a∥b 成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ２．如 图,在 △ABC 中,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 边 AC 上,且 满 足 ３AE → ＝AC →, BE 交AD 于点F,设BF → ＝λAB → ＋μAC →(λ, μ∈R),求(１)λ＋μ的值;(２) AF AD 的值． 一 男 子 和 老 婆 在 火 锅 店,边 吃 边 聊,正 高 兴 时,有 个 少妇走过来,直视着 他说:“我 怀 孕 了!” 那个男人的老婆先是一愣,紧接着甩手给了他 一耳光,又拉又扯,连哭带闹．全火锅楼的目光 都聚焦在他俩身上,那哥们欲哭无泪! 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦你 把烟掐了,谢谢!” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ #6 快乐期 令2k★十<2<2×+2kx,b2,解得+<<+b.k 2.解析:sn(2c)o{( s 2ot ds$P) Z,当k-0时,<<n,则画数()在”)上单$ 2 2sin acos a+oos'a-sin"a sina+cosa 递增,故B不正确.f(x)的最大值为②,故C不正确.由2x #十+6Z,解得1-哥^ 乙,可得当-0时,共 1 图象关于点(哥,0)对称,故D正确.] 10.解析:因为f(cx)-sino-sin-(sinr 答案:一 假期作业11 平面向量的概 周期为2π;因为xE[-n:0],所以x+ [-3-]. 念与线性运算 则当×十-,即---时,画数(c)在区间[-×, 思维整合室 1.(1)方向 模(2)0(3)1个单位(4)相反 (5)方向(6)方向 技能提升台 素养提升 1.C 2.B [如图,因为AO,OC方向相同,长 度相等,故AO-OC,故A正确;因为 11.解:(1)·/(x)=OA·OB-sinx+sin xcos x+sin x-sinx A0.B方向不同,故AO;B,故B #1(2-)+号.#. 当-2^x+(e 2),即 错误;因为B.O.D三点共线,所以BC -k3(kz)时,#(1)取得最大值l+②(2)的最小 /DB,故C正确;因为AB/CD,所 2 以AB与CD共线,故D正确.] 正周期为π. (2) ()#-n(2x)}# 3.解析;如图所示,设AB=a,BC-b,则AC-a十 b.且△ABC为等腰直角三角形,则lACl- .当 2-<2-<2k+哥6 . 8/②.BAC-45*. 答案:8/2 北偏东45· 即 -吾<<x+k乙时,西数(o)为增画数。 4.解析:此题中,马在A处有两条 路可走,在B处有三条路可走。 ./(2)的单调增区间为[-,3](< 乙). 在C处有八条路可走,如图,以B 12.解(1)由角a的终边过点,P(一-). 为起点作有向线段表示马走了 “一步”的向量,符合题意的共3 个;以C为起点作有向线段表示 得sina-一 . 马走了“一步”的向量,符合题意的共8个,所以共有11个. 所以sin(atx)-sina-4. 答案:11 5.D (2)由角a的终边过点 P(-.-),得 cosa--3# 6.AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m-0,则不能推出a-b,错误;D中,若a-0,则m,n没有 关系,错误。] 7.C ['AD=DB,AE=EC..F是△ABC的重心,则DF : 由=(a+-a得cos ③=cos(a+③)cosa+sin(a+B)sina,所以 #1DC-A+D-A+p-AD+A 新题快递 #AD-AD+A-A+寸A-a+b.- 1. A [#(x)-si(+)+co(+)-# .- sin(2++[+o2-+]1-n(2x++ 8.解析:在△ABC中,乙A=60”,[BC|=1,点D为AB的中 ##(2+t)+-si(2++)+分- 点,点E为CD的中点,AB-a,AC-b,则AE-(AD+ s#(20})#- 2, ##-A+A--a+. 答案:a+ 因为画数g(c)的图象关于x-对称,所以2×吾-2=kr(k$$ 9. D [由c/d,得c=d,,ka+b=ì(a-b) 乙. 10.B [因为AD-AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB 又AB,AD有公共点A.所以A.B.D三点共线.] 86 11解:'B-=-AB--BC=-(BA+A #1_ :BA--AC-A. #- #答案: .m- 12.解:(OG-P+P-oP+P-oP+(o-- 5.D [2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] (1-0P+:0 6.A [设c=+b,则(0.)-(2--y,x+2y), (2)由(1)及O$=OA.0-yOB, OG=(1- $+ 2x-y-0. 一年级得0,-△。 -(1-rOA+xyOB.① 所以 {r+2y=- .G是△OAB的重心, -1. ##7o#0(0#+-4☆+4#② 7.A [根据题意,向量a-(3,1),b-(0,-1),则a-2b (3.3);若(a-2b)/c.且c-(k.3),则有3=3x3,解 由①②得[(1-)x-]o-(-a)oB. 可得-1.] 8.解析:设C(x,y),因为A(0.1),B(3.-2),所以AC=(x,y- 而OA,OB不共线, 1.CB-(3-x.-2-y). (1-3-32 又因为AC-2CB,所以-2(3-)。 . 1_3 ##}# . *y-1-2(-2-)” 解得/=2 ((所以AC_(ny-1)-(2,2). y 答案:(2.-2) 文 新题快递 9.A [如图,以A为原点,AB所在直线为工轴, 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为工、y轴上的单位向量, AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B 满足“la 一b”,满足“a与b都是单位向量”,但是a/b不 点的坐标为(1,0).C点的坐标为(0,2).因为 成立,故A、D错误;对于B:由零向量与任何向量平行,可知 DAB-60{},所以设D点的坐标为(m.3m)(m al=0或lbl-0时,a/b.故B正确;对于C:因为a=-2b, 70). 所以a/b.故C正确.] AD-(m3m)-AB+AC-(1,0)+(0,2)=(,2). 2.解:设AF-mAD,BF-nBE. 则x-n,且-& 根据向量共线定理,得:AF-mAD. ##。_ AF-AE+(1-)AB,3AE-AC. 所以A-AC+(1-n)AB. 10.解析:以点A为坐标原点,AB、AD所在直 又因为AD-(AB+AC), 线分别为工、v轴建立如图所示的平面直 角坐标系, 所以AC+(1-nAB-"(AB+AC). 则点A(0.0)、B(2.0)、C(2,2)、D(0.2). - .”, -(2.1. 解得:{ #7_## 则点P(2.1).i.PD-(-2.1).PB-(0.-1). 因此,PDl=(-2)+1=,PB·PD=0$(-2 代BF-BE-(AE-AB)-3(AC-AB)-A 1×(-1)=-1。 -3. 答案:v-1 11.解:(1)若a,b共线,则存在xR,使a-xb,则e-2e-x(e十 :--一 {=- 2 所以入不 ()#)## 3. 存在,故a与b不共线,可以作为一组基底。 假期作业12 平面向量的基本 (2)设c一ma十nb(m,nR),得 定理及坐标表示 3 -=m(e -2e )十n(e +3e )-(m+n)e +(-2m+3n) 思维整合室 e.所以(n-3. 1.不共线 &e+&基底 2.(1)0<180” (3)由4e-3e-a+b,得 (2)同向 180{(3)90”a1b3.(1)x.+r:·y+y: (2)r 0)。 4e -3e=(e -2e)+(e +3e )=(+)e 十(-2+ -xn·-y(3)r,y 4.(1)a=b →/-3. (2)ry-:y-0 技能提升台 素养提升 故所求入,u的值分别为3和1. 1.B 2.D 12.解:(1)a-2b-(1,2)-2(-4,3)-(1,2)-(-8,6)-(1+ 3.D [由题意,B-A-AB-AD-a-(AB+BD)-a 8,2-6)-(9.-4). (2)由已知两点M(3,-2)和N(-5.-1),可得MN- ##-4- D-1-4×-1 (-5-3.-1+2)-(-4.): -11+.1 设点P的坐标是(x,y),则MP-(r-3,y+2).