假期作业10 三角恒等变换-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

　　假期作业１０　三角恒等变换　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　　＝　　　　＝　　　　; tan２α＝ ２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２,１－sin２α＝(sinα －cosα)２,sinα±cosα＝２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　三角函数式的化简与求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２　　B．２２　　C．－ ２　　D．sin ７π １２ ２．已知α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,２sin２α＝cos２α＋１,则 sinα＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ３ ３ D． ２ ５ ５ ３．(多选题)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－ １ ９ D．－ ７ ９ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα＝ １＋ ５ ４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ６．已知sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,则tan２θ－π４ æ è ç ö ø ÷ ＝　　　　． ◆[考点二]　二角变换的简单应用 ７．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈R) 的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ ８．关于函数y＝sinx(sinx＋cosx)描述正确 的是 (　　) A．最小正周期是２π B．最大值是 ２ C．一条对称轴是x＝π４ D．一个对称中心是 π８ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ ９．(多 选)设 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷,则f(x)＝ (　　) A．是偶函数 B．在区间 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．最大值为２ D．其图象关于点 π４ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 １０．若函数f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ , 则函数f(x)的最小正周期为　　　　;函 数f(x)在 区 间 [－π,０]上 的 最 小 值 是　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA → 􀅰OB → (x∈ R)．求: (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,它的终边过点P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．将 函 数 f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２ x＋π６ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移φ(φ＞０)个单 位长度,得到函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,则φ的最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． ５π ６ ２．若tanα＝－２３ ,则sin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　　． 前进步伐,永不停歇　六点起床很困难, 背单词很困难,静下心很困难􀆺􀆺但是总有一 些人,五点可以起床,一天背六课单词,耐心读 完一本书．谁也没有超能力,但是自己可以决 定一天去做什么事情．你以为没有路,事实上 路可能就在前方一点点．那些比自己强大的人 都在拼命,我们还有什么理由停下脚步． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２ 当a＜０时,f(x)＝－sin －２x＋π３( )＝sin ２x－ π ３( ) 令 π ２＋２kπ≤２x－ π ３≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z,得５π１２＋kπ≤x≤ １１π １２ ＋kπ,k ∈ Z,∴ 当 a ＞ ０ 时,f (x)的 减 区 间 为 －５π１２＋kπ ,π １２＋kπ[ ](k∈Z); 当a＜０时,f(x)的减区间为 ５π１２＋kπ ,１１π １２＋kπ[ ](k∈Z)． １２．解:(１)f(x)＝２cos２ x２＋ ３sinx＋a－１＝cosx＋ ３sinx ＋a＝２sin x＋π６( )＋a． 由f(x)max＝２＋a＝１,解得a＝－１． 又f(x)＝２sin x＋π６( )－１, 则２kπ＋π２≤x＋ π ６≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 解得２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ４π ３ ,k∈Z, 所以函数的单调递减区间为 ２kπ＋π３ ,２kπ＋４π３[ ] ,k∈Z; (２)由 x∈ ０,π２[ ] ,则 x＋ π ６ ∈ π ６ ,２π ３[ ] ,所 以 １ ２ ≤ sin x＋π６( ) ≤１, 所以０≤２sin x＋π６( )－１≤１, 所以函数f(x)的值域为[０,１]． 新题快递 １．D　[由给定区间可知,a＞０． 区间[a,２a]与区间[２a,３a]相邻,且区间长度相同． 取a＝π６ ,则[a,２a]＝ π６ ,π ３[ ] ,区间[２a,３a]＝ π ３ ,π ２[ ] , 可知sa ＞０,ta ＞０,故 A 可 能;取 a＝ ５π １２ ,则 [a,２a]＝ ５π １２ ,５π ６[ ] ,区间[２a,３a]＝ ５π ６ ,５π ４[ ] ,可知sa＞０,ta＜０,故 C 可能;取 a＝７π６ ,则 [a,２a]＝ ７π６ ,７π ３[ ] ,区 间 [２a,３a]＝ ７π ３ ,７π ２[ ] ,可知sa＜０,ta＜０,故B可能．结合选项可得,不可 能的是sa＜０,ta＞０．] ２．B　[由函数的解析式考查函数的最小周期性: A选项中T＝２ππ ２ ＝４,B选项中T＝２ππ ２ ＝４, C选项中T＝２ππ ４ ＝８,D选项中T＝２ππ ４ ＝８,排除选项 CD． 对于 A选项,当x＝２时,函数值sin π２×２( ) ＝０,故(２,０) 是函数的一个对称中心,排除选项 A, 对于B选项,当x＝２时,函数值cos π２×２( )＝－１,故x＝２ 是函数的一条对称轴．] 假期作业１０　三角恒等变换 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　２．B　 ３．ABC　 [对 于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．] ４．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ５．D　 [由 半 角 公 式 可 知sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得sin α２ ＝ ５－１４ ． ] ６．解析:sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２( ) ⇒cosθ＝ １－sin ２θ＝ ５５ ⇒ tanθ＝sinθcosθ＝２ , ∴tan２θ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝ ４１－４＝－ ４ ３ , ∴tan ２θ－π４( ) ＝ tan２θ－tanπ４ １＋tan２θtanπ４ ＝tan２θ－１１＋tan２θ＝ －４３－１ １－４３ ＝７． 答案:７ ７．B　[由题意知f(x)＝３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋２cos x＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈R,所 以f(x)的最大值为９２． ] ８．D　[由题意得: ∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin２x＋１２sin２x＝ １－cos２x ２ ＋ １ ２sin２x＝ ２ ２sin ２x－ π ４( ) ＋ １ ２． 选项 A:函数的最小正周 期为 Tmin ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,故 A 错 误;选 项 B:由 于 －１≤ sin ２x－π４( ) ≤１,函数的最大值为 ２ ２＋ １ ２ ,故B错误;选项C: 函数的对称轴满足２x－π４＝kπ＋ π ２ ,x＝k２π＋ ３π ８ ,当x＝π４ 时,k＝－１４∉Z ,故C错误;选项D:令x＝π８ ,代入函数的f π ８( )＝ ２ ２sin ２× π ８－ π ４( ) ＋ １ ２＝ １ ２ ,故 π ８ ,１ ２( ) 为函数 的一个对称中心,故 D正确．] ９．AD　 [∵ 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４( ) ＋cos ２x＋ π ４( ) ＝ ２sin ２x＋π４( )＋ π ４[ ]＝ ２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x,x∈R, f(－x)＝ ２cos(－２x)＝ ２cos２x＝f(x),∴f(x)为偶函数, 故 A正确． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５８ 令２kπ＋π≤２x≤２π＋２kπ,k∈Z,解得kπ＋π２≤x≤π＋kπ ,k ∈Z,当k＝０时,π２≤x≤π ,则函数f(x)在 π２ ,π( ) 上单调 递增,故 B不正确．f(x)的最大值为 ２,故 C不正确．由２x ＝kπ＋π２ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z,可得当k＝０时,其 图象关于点 π ４ ,０( ) 对称,故 D正确．] １０．解析:因为f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ ＝ ２ ２ (sinx ＋cosx－１)＝sin x＋π４( ) － ２ ２ ,所以函数f(x)的最小正 周期为２π;因为x∈ －π,０[ ] ,所以x＋ π４ ∈ － ３π ４ ,π ４[ ] , 则当x＋π４＝－ π ２ ,即x＝－３π４ 时,函数f(x)在区间[－π, ０]上取最小值－１－ ２２． 答案:２π　－１－ ２２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最小 正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα,所以 cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A 　 [f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３( ) ＋cos ２ x＋π６( ) ＝ ３ ２ sin ２x＋π３( ) ＋ １ ２ １＋cos２x＋ π ３( )[ ] ＝ ３ ２sin ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ cos ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋ π ３＋ π ６( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋π３＋ π ６( )＋ １ ２＝cos２x＋ １ ２ , 所以g(x)＝cos２(x－φ)＋ １ ２＝cos (２x－２φ)＋ １ ２ , 因为函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,所以２×π６－２φ＝kπ (k ∈Z), 所以φ＝ π ６－ kπ ２ (k∈Z),因为φ＞０,所以k＝０时,φ＝ π ６ 最小．] ２．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２ ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２ ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ , 答案:－７ ２２６ 假期作业１１　平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[如图,因为AO→,OC→方向相同,长 度相等,故AO→＝OC→,故 A 正确;因为 AO→,BO→方 向 不 同,故AO→≠BO→,故 B 错误;因为B,O,D 三点共线,所以BO→ ∥DB→,故 C 正 确;因 为 AB∥CD,所 以AB→与CD→共线,故 D正确．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在 A 处 有 两 条 路可 走,在 B 处 有 三 条 路 可 走, 在C处有八条路可走．如图,以B 为起点 作 有 向 线 段 表 示 马 走 了 “一步”的向量,符 合 题 意 的 共３ 个;以C为起点作有向线段表示 马走了“一步”的向量,符合题意的共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．D　 ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] ７．C　[∵AD＝DB,AE＝EC,∴F 是△ABC 的重心,则DF→＝ １ ３DC →,∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋ １３DC →＝AD→＋ １３ (AC →－ AD→)＝２３AD →＋１３AC →＝ １３AB →＋ １３AC →＝ １３a＋ １ ３b ,∴x＝ １ ３ ,y＝１３． ] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中 点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １２ (AD →＋ AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．B　[因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝３a＋６b＝３(a＋２b)＝３AB→, 又AB→,AD→有公共点A,所以A,B,D 三点共线．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６８