假期作业9 三角函数的图象与性质-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业９　三角函数的图象与性质　　　　　　　 １．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定 义 域 R R {x|x≠kπ＋ π ２ ,k∈Z} 值域 [－１,１] [－１,１] R 函 数 的 最 值 最大值１,当且仅 当　　　　　,最 小值－１,当且仅 当　　　　　 最大值１,当且仅 当　　　　　　 　　　　　 最小值－１,当且 仅当　　　　　 无 最 大 值 和 最小值 单 调 性 增区间　　　　 减区间　　　　 增区间　　　　 　　　 减区间　　　　 　　 增区间 　 　 　　　　　 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期 为 ２kπ,k≠ ０,k∈Z,最 小 正 周期为　　 周期 为 ２kπ,k≠ ０,k∈Z,最 小 正 周期为　　 周期为kπ,k ≠０,k∈Z, 最 小 正 周 期 为　　 对 称 性 对 称 中 心 　　　　　 　　　　 　　　　 对 称 轴 　　　　 　　　　 无对称轴 零点 kπ,k∈Z kπ＋ π ２ , k∈Z kπ,k∈Z ２．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内 的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内 的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x －φω π ２ω－ φ ω π－φ ω ３π ２ω－ φ ω ２π－φ ω ωx＋φ ０ π ２ π ３π ２ ２π y＝ Asin(ωx＋φ) ０ A ０ －A ０ ３．三角函数图象变换的两种方法(ω＞０) ◆[考点一]　正弦、余弦、正切函数的图象与 性质 １．函数y＝sin ２x＋５π２ æ è ç ö ø ÷是 (　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为π２ 的奇函数 D．周期为π２ 的偶函数 ２．已知函数f(x)＝sinx＋ １sinx ,则 (　　) A．f(x)的最小值为２ B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称 ３．函数f(x)＝２sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷,x∈[０,π]的单调 减区间是 (　　) A．０,π６ é ë êê ù û úú　　　　　　　　B．０, π ２ é ë êê ù û úú C．π６ ,２π ３ é ë êê ù û úú D． π ６ ,πé ë êê ù û úú ４．(２０２３􀅰全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷单调递增,直线x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图像的两条对 称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２　　B．－ １ ２　　C． １ ２　　D． ３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ ５．(多选题)如图是函数y＝ sin(ωx＋φ)的部分图象,则 sin(ωx＋φ)＝ (　　) A．sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷　　　 　　B．sin π３－２x æ è ç ö ø ÷ C．cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ D．cos５π６－２x æ è ç ö ø ÷ ６．(２０２３􀅰全国甲卷)已知f(x)为函数y＝cos ２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得函数,则y ＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ７．已知tan(π－x)＝－tanx,则tan１,tan２, tan３的大小关系是　　　　　． ◆[考点二]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ８．若将函数y＝tanωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的图象向 右 平 移 π ６ 个 单 位 长 度 后,与 函 数 y＝ tanωx＋π６ æ è ç ö ø ÷的图象重合,则ω 的最小值为 　　　　． ◆[考点三]　三角函数图象与性质的综合 问题 ９．(多选题)已知f(x)＝１－２cos２ ωx＋π３ æ è ç ö ø ÷(ω＞０), 下面结论正确的是 (　　) A．若f(x１)＝１,f(x２)＝－１,且|x１－x２|的 最小值为π,则ω＝２ B．存在ω∈(１,３),使得f(x)的图象向右平 移π ６ 个单位长度后得到的图象关于y轴 对称 C．若f(x)在[０,２π]上恰有７个零点,则ω 的取值范围是 ４１ ２４ ,４７ ２４ é ë êê ö ø ÷ D．若f(x)在 －π６ ,π ４ é ë êê ù û úú上单调递增,则ω的 取值范围是 ０,２３ æ è ç ù û úú １０．(２０２３􀅰新课标Ⅱ 卷)已知函数f(x) ＝sin(ωx＋φ),如 图,A,B是直线y＝ １ ２ 与曲线y＝f(x) 的两个交点,若|AB|＝π６ ,则f(π)＝　　　　． １１．已知函数y＝acosx＋b的最大值为１,最小值 为－３,试确定f(x)＝bsin ax＋π３ æ è ç ö ø ÷的单调 减区间． １２．已知函数f(x)＝２cos２x２＋ ３sinx＋a－１ 的最大值为１． (１)求函数f(x)的单调递减区间; (２)若x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú,求函数f(x)的值域． １．(２０２３􀅰上海卷)已知a∈R,记y＝sinx在 [a,２a]的最小值为sa,在[２a,３a]的最小值 为ta,则下列情况不可能的是 (　　) A．sa＞０,ta＞０ B．sa＜０,ta＜０ C．sa＞０,ta＜０ D．sa＜０,ta＞０ ２．(２０２３􀅰天津卷)已知函数f(x)图象的一条 对称轴为直线x＝２,f(x)的一个周期为４, 则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷ B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ 李嘉诚说:“当我骑自行车时,别人说路途 太远,根本不可能到达目的地,我没理,半道上 我换成小轿车;当我开小轿车时,别人说,小伙 子,再往前开就是悬崖峭壁,没路了,我没理, 继续往前开,开到悬崖峭壁我换飞机了,结果 我去到了任何我想去的地方．” 不要让梦想毁在别人的嘴里,因为别人不 会为你的梦想负责．所以,请相信自己􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 三0022 高一教 技能提升台素养提升 1.A 山.解：周为co(受+0） =-sin0,所以$in0= 2.A[由cosa= 1 ,且3<a<2x,得ina=-√/-cosa= 原式= -cos 0 cos 0 2 cos 0(-cos 0-1)cos 0(-cos 0)+cos 0 -()=- 1 1 2 2 1+cos I-cos0I-cos 0 sin 08. 所以ama=加g=一√-1] cos a 12.解：n[e-x一之小=sn一a-(受-】 3B[由题意知in叶o0s0=-受sin0:cos=受 4 [w+(受-小 (sin 0+cos 0)=1+2sin 0cos 0. ∴受-=1+受解得m=1士5 当n为偶鼓时，m[m+(登-)门如（经-）-ma: 又=4m-16m≥0，.m≤0或m≥4，.m=1-5.] .-cos a= 4解桥：南smx十cosx=号0，半方释snx+2s如x0sx叶 a∈(0，x),.sina= ，tana=g= cos a =若中2如ms- ，所以(mx一c0sx)广-1- 25 当m为寺数时，m[x+(受-门=m(竖-a） 20=号 --是：a∈0，xna-青tma 又国为-受<r<0,所以simx<0,c0s>0,simx一c0sx< cos a 0,所以sinr-cosr=-2@. 新题快递 5 由①@新得nr=-号os= 方六tanx=-3 4 1.ABD [对于A,m(答+e)-m【-(骨+] 答案：-一 4 sm(学-a）正确：对于B.m(径+a）co[受-（至+a)门 5.B6.B 7.B[对于A.由诱导公式得，tan(x十1)=tan1,故A错误： =o(7-）F-o[+(径-a门-co(贤-a小正 对于Bsin(一a) tan(360°-a) =二m2-mg=0oa,故B正确：对 -tan a sin a 境：对于c,am(后-）=-am[(后-门 cos a 于C,m二=a=-ana,故C错误：对于D. an(管+a小错误：对于D.tanesina=C8ma cos'a co8(π十a) 一c08a. cos(-a)tan(-xa)(-cos a)(-tan a) (g）a名snia=ma一o在痛] cos'a sin(2r一a) -sin a 2.ABD[因为0∈(0，r),则sin0>0. cosa·sina 1 osg=-1,故D错误.] 对于A选项，(sin0+c0s》=1+2 esin os0=25 sin a 可得no0-一是A对： 8.解析：点P、Q都在单位国上，0可取 2 对于B速项，由A选项可知，cos<0,则sin日-cos>0, (满足0=晋+：∈Z列 所以，(sin0-cos0=1-2 ino=铝剥m0-cos0= 答案 方B对： 9.B[由题设有sin8·sim8一cos0·|cos9引=-1， sin0+cos0= ∴.-sin0·|sin9+cosl·|cos9=1,:sin0+cos0=1恒成 5 对于C选项， sin ,则tan 立./sin0 sin -cos0= ·可得 1cos0≥0 5 cos 0=-3 .0的终边在第四象限或x轴的正半轴、y轴的负半抽上.] sin 0 10,解析：国为9是第四象限角，且sm(0+)=号 cos 0 音C错：对于D选项，sin0+cos0=(告)厂十 ()广=D对] 所以0叶受是第一象限角，所以0s(0叶）音 假期作业9三角函数的图象与性质 所以sim(0-)）m[-登+(0+晋)门 思维整合室 [受-(+)门-o(0+)- 1x=2km+受，k∈7x=2km-交k∈7=2kx,k∈Z os(0）=o[-受+(+)川 x=2kx-,k∈Z[2kx-受，2kx+]k∈Z) o[受(（0+)小m(+) [2kx+受，2kx+]e【2kx-,2a (k∈)[2,2kx+](e∈)(km-吾，kx+受)∈D 2x2xx,0.kez(（kx+受0）k∈z(管0）小k∈Z 答案：- =x十受，∈7x=x,k∈7 83 【壑快乐假期 990= 技能提升台素养提升 1.B2.D 8.解析：将画数y=tan(or+干）m>0)的图象向右平移看个 3D[个受+2<r+号<经+2，k∈五.所以晋+2x≤ 单位长度后，得到画教y=(m+子一罗)w>0)的因 <g+2,∈z. 象，与西数y=a(u+吾)的图象重合，所以子一管-音 当=0，音<<得由于[后]后]就D正， 十红∈D.所以=0时四的最小值为子 ABC均错误.] 答案： 4.D[因为x)-sin(ar十g)在区同（答，）单调递增， 9BCD[依题意x)=-os(2mr+号)>0，-1≤f 所以-经-吾-受且>0，T==2 ≤1. 对于A选项，若f(x1)=1,f()=一1，且x1-x的最小 当r=吾时，f(x)取得最小值，剩2·百十g=2x-受，k∈ 值为π， 1.期g=2k一要k∈乙 则号-口高一元一。一名武八选项错民， 不妨取k=0:则)=im(2x-号） 对于B选项，当。=2时，x)=-cos(r+） ()m(要)] 向右平移答个单位长度后得到y= 5.BC -of[-吾)+] =-cos 4r, 6.C[固为y=c0(2红+晋）向左平移若个单位所得函数为 其为偶函数，图象关于y轴对称.故B选项正确 y=os[(+)+] 对于C选项，0<<2，则学≤2a+晋<4x+号 若了)在[0,2]上有格有7个零点，则受≤m+号 o(2红+受）--im2,所以=-m2如， 1 而y=号x-专显然过(0，-)）与10)两点， 2 解得费<<费故C选项正确 作出)与y一的大图像如下 对于D越项，-吾≤r≤开，则-管+智≤2ar+彩≤罗 3 + 若心)在[一吾，]上递增，测 +>≥2 k∈Z, f)4 ≤-6k+2 考虑2x=一 经2x=经2x=，即x= 3 .=3 ≤+号由于∈Zw>0,故=0,0w<号 即》 4 华处)与y=名1-号的大小关系. 1 所以D选项正确，] 4 10,解析：设A(白号）B(,安)则am十g=吾a十 -号×(）-<- 警又一=吾，所以=4，由线y=f)过 当=时时(）-m=1y=×-= (0）所以4×号+=2，即=-要，所以f) 3x-4<1: u一）=n(x-) 当-时，（图）-n受-1y=×项-号 1x-4>1 8 容案：一9 所以由图可知，)与y=之一吉的交点个载为3] 1据：”-1长as1个公-将之释公二子 7.解析：，tan(m一x)=一nnx,又：tanx是奇函数， 即/a=士2 1b=-1 ∴，tan(一x)=一tan,∴.tanx=-tan(πx)=tan(x一π). ,∴.tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). 当u>0时，fx)=-in(2x+行） ”-交<2-x<3-x<1<受，且y=nx在 im[x+(2x+景)门-sm(2+智）◆受+2x<2x+ (受受)上是增画数.an2-x)<m8-<anl 即tan2<tn3<tan1. 答案：tan2<tan3<tan1 得-语+x≤x≤音十∈乙 84 三0002 当a<o时：fe)=-m(2x+青)=im(2x-晋) 技能提升台素养提升 1.A2.B 个受+2张≤2晋<+2kxZ.得+k<r< 3.ABC[对于A.tan25+tan35°+√3tan251an35°= 十元，k∈Z,.当a>0时，f(x)的减区间为 tan(25°+35)(1-tan25an35)+√3tan25"tan35"=√3 [一登+，音+小eD: √3tan25°tan35°+√3tan25tan35°=√3： 对于B,2(sin35°cos25°+cos35cs65)=2(sin35cos25°+ 当a<0时，)的减区间为[臣+，晋+]∈D, cos35sin25)=2sin60°=√/5： 对于C,}+n15-an45°+an15 12.解：1)/x)=2cos专+3sin+a-1=cosx+5inx 1-tan 15 -tan46an15=tan60°=3， +a=2sin(e+晋）+a. 1 2am 对于D,一 m ×m- 2 由f(x)m.=2+a=1,解得a=-1. -tae1-tm吾 又fm)=2sin(r+）-1 踪上，式子的运算结果为√的选项为ABC,] 1 则2x+受<x+吾≤2x+受k∈Z. 4.B[因为sin(a-B)=sin acos B-cossn=3· 1 1 解得2x+<<2x+，7。 cos osin sin acos B. 所以高数的单调适减区间为[2x+号，2x+智]，k∈☑： 故a+=mea计oain=号+日-号 2)由x∈[受」则x+音∈[后]所以 申m(2a+2p》=1-2im(a+)=1-2x(号）=分] 6.D[由半角公式可知m号=四，解得m受 所以0<2sim(x+吾）-1长1. 所以函数f(x)的值域为[0,1]. 6解折：m9=5.0(,)Pm0=m西- 5 新题快递 1.D[由给定区间可知，a>0. tan =sin cs02, 区间[4,2a]与区间[24,3a]相邻，且区间长度相同. 4 '.ld20 2tan 3 3π 7π 2 tan(29-) tan 20-tan tan 20-1 3 2π5π3、}/4π 1+tan 20tan 1+tan 20 1一3 2 =7. 取a=晋则[u.2a]=[后，]区间[2a.3a1=[管受] 答案：7 可知>0>0，故Λ可能：取a-登则[a,2a] B[由题意知x)=受mx十4X1中g=号。 2 sinx+2cos x+2= 受m(x+p+2(共中amg=号)又因为x∈R,所 [语]区间[2aa1-[晋]可知>0<0，故C 以)的最大值为号.] 可能取a-吾则[a…2a]-[语，]区间[24,3a]- 8.D[由题意得： [管，]可知<0，<0，故B可能，结合选项可得，不可 “y=n(inx+cos）=mr+名in2z=1g2红+ 2 能的是s<0,t>0.] 2.B[由函数的解析式考查函数的最小周期性： 言如2-号如(：一)十子：适项A:西载份爱小运周 A选项中T=红=4，B选项中T=2红=4， 期为T==经=，故A错误：选项B:由于-1< 2 2 2 C选项中T=红=8，D选项中T=2红=8，排除选项CD. n(仁：一吾)1，画数的旅大位为号+号就B特误：选项心 4 函数的对称船满足2红一晋=红十受一气十警当=开 对于A选项，当上-2时，画数位m(受×2）-0，故2,0) 时，=一号E,故C错误：选项D:令=晋，代入函教的 是函数的一个对称中心，排除选项A, 对于B选项，当x=2时，画数值c0(受×2）-1，故=2 爱)号如(x景-)十日-名收（信）为品数 的一个对称中心，故D正确.] 是函数的一条对称轴.] 假期作业10三角恒等变换 9.AD[:函数f(x)=in(2r+）+co(2x+) 思维整合室 Esim[(2x+)+]=isim(2x+受）=Eos2reR, 1.sin acos肚cosasin cos acos月壮sin asin B干tan etan月 tana士tan3 f-x)=V2cos(-2.x)=V2cos2.x=f(.x),∴.f(x)为偶离教， 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1-2sin'a 故A正确. 85