假期作业8 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 　　　　　　　 １．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:sin２α＋cos２α＝１． (２)商数关系:tanα＝ sinα cosαα≠ π ２＋kπ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２－α π ２＋α 正弦 sinα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 正切 tanα 　　　 　　　 　　　 口诀 函数名不变　符号看象限 函数名改变 符号看象限 ◆[考点一]　同角三角函数的基本关系 １．已知α∈ －π,－π４ æ è ç ö ø ÷,且sinα＝－１３ ,则cosα＝ (　　) A．－２ ２３ 　B． ２ ２ ３ 　C．± ２ ２ ３ 　D． ２ ３ ２．已知cosα＝１π ,且３π ２ ＜α＜２π ,则tanα的 值为 (　　) A．－ π２－１ B．π２－１ C．－ π ２－１ π D． π２－１ π ３．若sinθ,cosθ是方程４x２＋２mx＋m＝０的 两根,则m 的值为 (　　) A．１＋ ５ B．１－ ５ C．１± ５ D．－１－ ５ ４．已知－π２＜x＜０ ,sinx＋cosx＝１５ ,则sinx －cosx＝　　　　．tanx＝　　　　． ◆[考点二]　三角函数的诱导公式 ５．若角６００°的终边上有一点(－４,a),则a的值是 (　　) A．４　　　　　　　　B．－４ ３ C．４ ３３ D．－ ４ ３ ３ ６．已知sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷＝１２１３ ,则cos π６－α æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．５１３ B． １２ １３ C．－５１３ D．－ １２ １３ ７．下列化简正确的是 (　　) A．tan(π＋１)＝－tan１ B． sin (－α) tan(３６０°－α)＝cosα C．sin (π－α) cos(π＋α)＝tanα D．cos (π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝１ ８．若点P(cosθ,sinθ)与点 Q cos θ＋π６ æ è ç ö ø ÷,sin θ＋π６ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷关于y轴对称, 写出一个符合题意的θ　　　　． ◆[考点三]　诱导公式、同角三角函数关系的 综合应用 ９．若sinθ􀅰 sinθ( )２－cosθ􀅰|cosθ|＝－１恒 成立,则θ的取值范围是 (　　) A．－π２＋２kπ＜θ≤２kπ ,k∈Z B．－π２＋２kπ≤θ≤２kπ ,k∈Z C．π２＋２kπ＜θ＜π＋２kπ ,k∈Z D．π２＋２kπ≤θ≤π＋２kπ ,k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ １０．已知θ是第四象限角,且sin θ＋π４ æ è ç ö ø ÷＝３５ , 则tan θ－π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． １１．已知cos π２＋θ æ è ç ö ø ÷＝１２ ,求 cos(３π＋θ) cosθ[cos(π＋θ)－１]＋ cos(θ－４π) cos(θ＋２π)cos(３π＋θ)＋cos(－θ) 的值． １２．已知sin α－２n＋１２ π æ è ç ö ø ÷＝３５ ,α∈(０,π),求 tanα的值． １．(多选)已知下列等式的左右两边都有意义, 则能够恒成立的是 (　　) A．sin π３＋α æ è ç ö ø ÷＝sin２π３－α æ è ç ö ø ÷ B．sin π４＋α æ è ç ö ø ÷＝－cos５π４－α æ è ç ö ø ÷ C．tan π３－α æ è ç ö ø ÷＝tan π３＋α æ è ç ö ø ÷ D．tan２αsin２α＝tan２α－sin２α ２．(多选)已知sinθ＋cosθ＝１５ ,θ∈(０,π),则 下列等式正确的是 (　　) A．sinθcosθ＝－１２２５ B．sinθ－cosθ＝７５ C．tanθ＝－３４ D．sin３θ＋cos３θ＝３７１２５ 顽强的华罗庚　华罗庚是我国著名的数 学家,为我国数学事业做出突出贡献,而在他 因病左腿残疾后,走路不得不左腿先画一个大 圆圈,右腿再迈上一小步．对于这种奇特而费 力的步履,他曾幽默地戏称为“圆与切线的运 动”．在逆境中,他顽强地与命运抗争,誓言: “我要用健全的头脑,代替不健全的双腿!” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ ２．解析:(１)当x２－ax＋１≥０时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a－ ２)x－１＝０, 即[(a－１)x－１](x＋１)＝０, 若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立; 若a≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１, 若方程有一根为x＝－１,则１＋a＋１≥０,即a≥－２且a ≠１; 若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 １ a－１( ) ２ －a× １a－１＋１≥０ ,解 得a≤２且a≠１; 若x＝ １a－１＝－１ 时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x＋１ ＝０, 即[(a＋１)x－１](x－１)＝０, 若a＝－１时,x＝１,显然x２－ax＋１＜０不成立; 若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ , 若方程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２; 若方程有一根为x＝ １a＋１ ,则 １ a＋１( ) ２ －a× １a＋１＋１＜０ ,解 得a＜－２; 若x＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立; 综上可知,当a＜－２时,零点为 １a＋１ ,１ a－１ ; 当－２≤a＜０时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝０时,只有一个零点－１; 当０＜a＜１时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝１时,只有一个零点－１; 当１＜a≤２时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＞２时,零点为１,－１． 所以当函数有两个零点时,a≠０且a≠１． 点睛:本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方程的 根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根据范围讨 论根(或零点)的个数,从而得解． 答案:(－∞,０)∪(０,１)∪(１,＋∞) 假期作业７　任意角的三角函数与弧度制 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)半径长　(３)r|α| ３．y　x 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A　３．C　 ４．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ５．A ６．解析:∵l＝３π,α＝１３５°＝３π４ , ∴r＝lα ＝４ ,S＝１２lr＝ １ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角 为α, 则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７． ] １０．A 　 [因 为 角 α 的 终 边 过 点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点 M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２ ＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ ,tanα ＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如 图 示:记 从 表 盘 中 心(圆 心)O 到１２点方向的半径为OA, ８:２０时 分 针 方 向 为 OB,时 针 方 向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所 以 ∠BOC＝ ∠AOC－ ∠AOB ＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２８ 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] ３．B　[由题意知sinθ＋cosθ＝－m２ ,sinθ􀅰cosθ＝m４． 又(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴m ２ ４＝１＋ m ２ ,解得m＝１± ５． 又Δ＝４m２－１６m≥０,∴m≤０或m≥４,∴m＝１－ ５．] ４．解析:由sinx＋cosx＝１５① ,平方得sin２x＋２sinxcosx＋ cos２x＝１２５ ,即２sinxcosx＝－２４２５ ,所以(sinx－cosx)２＝１－ ２sinx􀅰cosx＝４９２５ , 又因为－π２＜x＜０ ,所以sinx＜０,cosx＞０,sinx－cosx＜ ０,所以sinx－cosx＝－７５②． 由①②解得sinx＝－３５ ,cosx＝４５ ∴tanx＝－ ３ ４． 答案:－７５　－ ３ ４ ５．B　６．B ７．B　[对于 A,由诱导公式得,tan(π＋１)＝tan１,故 A 错误; 对于B, sin (－α) tan(３６０°－α)＝ －sinα －tanα＝ sinα sinα cosα ＝cosα,故B正确;对 于 C,sin (π－α) cos(π＋α)＝ sinα －cosα＝－tanα ,故 C 错 误;对 于 D, cos(π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝ (－cosα)(－tanα) －sinα ＝－ cosα􀅰sinαcosα sinα ＝－１ ,故 D错误．] ８．解 析:点 P、Q 都 在 单 位 圆 上,θ 可 取 π２ － π ６ ２ ＝ ５π １２ 满足θ＝５π１２＋kπ ,k∈Z( ) 答案:５π １２ ９．B　[由题设有sinθ􀅰|sinθ|－cosθ􀅰|cosθ|＝－１, ∴－sinθ􀅰|sinθ|＋cosθ􀅰|cosθ|＝１．∵sin２θ＋cos２θ＝１恒成 立．∴ sinθ≤０cosθ≥０{ ∴θ的终边在第四象限或x轴的正半轴、y轴的负半轴上．] １０．解析:因为θ是第四象限角,且sin θ＋π４( )＝ ３ ５ , 所以θ＋π４ 是第一象限角,所以cos θ＋π４( )＝ ４ ５ , 所以sin θ－π４( )＝sin － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ]＝ －sin π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝－cos θ＋ π ４( )＝－ ４ ５ , cos θ－π４( )＝cos － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ] ＝cos π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝sin θ＋ π ４( )＝ ３ ５ 所以tan θ－π４( )＝ sin θ－π４( ) cos θ－π４( ) ＝－４３． 答案:－４３ １１．解:因为cos π２＋θ( )＝－sinθ,所以sinθ＝－ １ ２． 原式＝ －cosθcosθ(－cosθ－１)＋ cosθ cosθ(－cosθ)＋cosθ ＝ １１＋cosθ＋ １ １－cosθ＝ ２ １－cos２θ ＝ ２ sin２θ ＝８． １２．解:sinα－nπ－１２π[ ]＝sin －nπ－ π ２－α( )[ ] ＝－sinnπ＋ π２－α( )[ ]． 当n为偶数时,sinnπ＋ π２－α( )[ ]＝sin π ２－α( )＝cosα, ∴－cosα＝３５ ,即cosα＝－３５． ∵α∈(０,π),∴sinα＝４５ ,∴tanα＝sinαcosα＝－ ４ ３． 当 n 为 奇 数 时,sin nπ＋ π２－α( )[ ] ＝sin ３π ２－α( ) ＝ －cosα,∴cosα＝３５ ,∵α∈(０,π),∴sinα＝４５ ,∴tanα＝ sinα cosα＝ ４ ３． 新题快递 １．ABD 　 [对 于 A,sin π３＋α( ) ＝sin π－ π ３＋α( )[ ] ＝ sin ２π３－α( ) ,正确;对于B,sin π ４＋α( )＝cos π ２－ π ４＋α( )[ ] ＝cos π４－α( )＝－cos π＋ π ４－α( )[ ]＝－cos ５π ４－α( ) ,正 确;对 于 C,tan π３－α( ) ＝ － tan π－ π ３－α( )[ ] ＝ －tan ２π３＋α( ) ,错 误;对 于 D,tan ２αsin２α＝sin ２α cos２α sin２α＝ １－cos２α cos２α( ) 􀅰sin ２α＝sin ２α cos２α －sin２α＝tan２α－sin２α,正确．] ２．ABD　[因为θ∈(０,π),则sinθ＞０． 对于 A选项,(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ＝１２５ , 可得sinθcosθ＝－１２２５ ,A对; 对于B选项,由 A选项可知,cosθ＜０,则sinθ－cosθ＞０, 所以,(sinθ－cosθ)２＝１－２sinθcosθ＝４９２５ ,则sinθ－cosθ＝ ７ ５ ,B对; 对于C选项, sinθ＋cosθ＝１５ sinθ－cosθ＝７５ ì î í ïï ï ,可得 sinθ＝４５ cosθ＝－３５ ì î í ïï ï ,则tanθ ＝sinθcosθ＝－ ４ ３ ,C错;对于 D 选项,sin３θ＋cos３θ＝ ４５( ) ３ ＋ －３５( ) ３ ＝３７１２５ ,D对．] 假期作业９　三角函数的图象与性质 思维整合室 １．x＝２kπ＋π２ ,k∈Z　x＝２kπ－π２ ,k∈Z　x＝２kπ,k∈Z x＝ ２kπ－ π,k ∈ Z 　 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ](k ∈ Z)　 ２kπ＋π２ ,２kπ＋３π２[ ](k∈Z)　 ２kπ－π,２kπ[ ] (k∈Z)　[２kπ,２kπ＋π](k∈Z)　 kπ－π２ ,kπ＋π２( )(k∈Z)　 ２π　２π　π　(kπ,０),k∈Z　 kπ＋π２ ,０( ) ,k∈Z　 kπ２,０( ) ,k∈Z 　x＝kπ＋π２ ,k∈Z　x＝kπ,k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８