假期作业6 函数的应用-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业６　函数的应用　　　　　　　 １．函数的零点 (１)函数零点的定义 对于函数y＝f(x),我们把使　　　　的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (２)几个等价关系 方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的 图象与　　　　有交点⇔函数y＝f(x)有 　　　　． (３)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有　　　　, 那么,函数y＝f(x)在区间　　　　内有 零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这 个　　也就是方程f(x)＝０的根． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与零 点的关系 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 图象 与x轴 的交点 　　　　 　　　　 无交点 零点个数 　　 　　 　　 ３．函数的实际应用 (１)常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f (x)＝ax＋b(a,b 为常 数,a≠０) 二次函数型 f(x)＝ax ２＋bx＋c(a,b,c 为常数,a≠０) 指数函数型 f(x)＝ba x＋c(a,b,c为常 数,a＞０且a≠１,b≠０) 对数函数型 f (x)＝blogax＋c(a,b,c为 常数,a＞０且a≠１,b≠０) 幂函数型 f(x)＝ax n＋b(a,b为常 数,a≠０) (２)解决应用问题的基本步骤 ①审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺 数量关系,恰当选择模型; ②建模:将文字语言、图形(或数表)等转化 为数学语言,利用数学知识建立相应的数 学模型,将实际问题化为数学问题; ③求解:求解数学问题,得出数学结论; ④还原:将利用数学知识和方法得出的结 论,还原为实际问题的答案． ◆[考点一]　函数的零点 １．(多选题)下列函数中,在(－１,１)内有零点 且单调递增的是 (　　) A．y＝log１２x　　　　B．y＝２ x－１ C．y＝x２－１２ D．y＝x ３ ２．函数f(x)＝(x－２)(x－５)－１有两个零点 x１,x２,且x１＜x２,则 (　　) A．x１＜２,２＜x２＜５　　B．x１＞２且x２＞５ C．x１＜２,x２＞５ D．２＜x１＜５,x２＞５ ３．设函数f(x)＝x＋log２x－m,若函数f(x) 在 １ ４ ,８ æ è ç ö ø ÷上存在零点,则m 的取值范围是 (　　) A．－７４ ,５ æ è ç ö ø ÷ B．－７４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ C．９４ ,５ æ è ç ö ø ÷ D．９４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ ４．函数f(x)＝lg|x|－|x２－２|的零点个数为 (　　) A．２　　B．３　　C．４　　D．５ ５．函数f(x)＝ x,x≤２ log２(x－２),x＞２{ ,则函数y＝ f(f(x))的所有零点之和为　　　　　． ６．已知定义域为R的函数f(x)满足f(２＋x) ＝－f(－x),且曲线y＝f(x)与曲线y＝ － １x－１ 有且只有两个交点,则函数g(x)＝ f(x)＋ １x－１ 的零点之和是　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ ◆[考点二]　函数的实际应用 ７．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用 于流行病学领域．有学者根据公布数据建立 了某地区新冠病毒累计确诊病例数I(t)(t 的 单 位:天 )的 Logistic 模 型:I(t)＝ K １＋e－０．２３(t－５３) ,其中 K 为最大确诊病例数． 当I(t∗)＝０．９５K 时,标志着已初步遏制疫 情,则t∗ 约为(ln１９≈３) (　　) A．６０　　B．６３　　C．６６　　D．６９ ８．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或 亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足 m２ －m１＝ ５ ２lg E１ E２ ,其中星等为mk 的星的亮度 为Ek(k＝１,２)．已知太阳的星等是－２６．７,天 狼星的星等是－１．４５,则太阳与天狼星的亮 度的比值为 (　　) A．１０１０．１ B．１０．１ C．lg１０．１ D．１０－１０．１ ９．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)噪声污染问题 越来越受到重视．用声压级来度量声音的强 弱,定义声压级Lp＝２０×lgpp０ ,其中常数 p０(p０＞０)是听觉下限阈值,p是实际声压． 下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的 距离/m 声压级/dB 燃油汽车 １０ ６０~９０ 混合动力汽车 １０ ５０~６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车１０m 处测得实际声压分别为p１,p２, p３,则 (　　) A．p１≥p２ B．p２＞１０p３ C．p３＝１００p０ D．p１≤１００p２ １０．某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质 含量不超过０．１,若初始时含杂质２,每过 滤一次可使杂质含量减少１ ３ ,至少应过滤 　　 　 　 次才能达到市场要求? (已知 lg２＝０．３０１０,lg３＝０．４７７１) １１．在如图所示的锐角三角 形空地中,欲建一个面积 最大的内接矩形花园(阴 影 部 分),则 其 边 长 x 为　　　　(m)． １２．某省两重要城市之间人员交流频繁,为了 缓解交通压力,特修一条时速３５０公里的 城际高铁,已知该车每次拖４节车厢,一天 能来回１６次,如果每次拖７节车厢,则每 天能来回１０次． (１)若每天来回的次数是车头每次拖挂车 厢节数的一次函数,求此一次函数解析式; (２)在(１)的条件下,每节车厢能载乘客 １１０人．问这列火车每天来回多少次才能 使运营人数最多? 并求出每天最多运营 人数． １．已 知 函 数 f(x)＝|２x －１|,g(x)＝ |log３x|,０＜x≤３ ４－x,x＞３{ ,且方程f(x)＝m 有两 个不 同 的 解,则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 　　　　　,方程g[f(x)]＝m 解的个数 为　　　　　． ２．(２０２３􀅰天津卷)若函数f(x)＝ax２－２x－ |x２－ax＋１|有且仅有两个零点,则a的取 值范围为　　　　． 一个姑 娘 上 了 高 铁, 见自己的座位上坐着一男 士．她 核 对 自 己 的 票,客 气地说:“先生,您坐错位 置了吧?”男士拿出票,嚷 嚷着:“看清楚点,这是我的座,你瞎了?”女孩 仔细看了他的票,不再作声,默默地站在他的 身旁．一会儿高铁开动了,女孩低头轻松对男 士说:“先生,您没坐错位,您坐错车了!” 有一种忍让,叫做让你后悔都来不及,如 果嚎叫能解决问题,驴早就统治了世界! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ ２．C　[因为定义在 R的奇函数f(x)在(－∞,０)单调递减,且 f(１)＝０, 所以f(x)在(０,＋∞)单调递减,且f(－１)＝０, 所以当(－∞,－１)∪(０,１),f(x)＞０, 当(－１,０)∪(１,＋∞),f(x)＜０, 所以若xf(x－１)≤０,则 x＜０ x－１≤－１{ 或 ０≤x＜１ －１≤x－１＜０{ 或 x＞１ x－１≥１{ 或x＝０或x＝１ 解得x≤１或x≥２, 所以x的取值范围是(－∞,１]∪[２,＋∞)．] 假期作业５　基本初等函数(Ⅰ) 思维整合室 １．(０,＋∞)　(０,１)　y＞１　０＜y＜１　０＜y＜１　y＞１ 增函数　减函数　２．(０,＋∞)　(１,０)　１　０　y＞０　y＜０ 　y＜０　y＞０　增　减 ３．(２)[０,＋∞)　[０,＋∞)　{y|y≠０}　奇　奇　在(－∞,０] 上单调递减,在[０,＋∞)上单调递增　在 R上单调递增　在 [０,＋∞)上单调递增　在(－∞,０)和(０,＋∞)上单调递减　 (１,１) 技能提升台　素养提升 １．C　[令f(x)＝xα,则４α＝２,∴α＝１２ ,∴f(x)＝x １ ２ ．] ２．B　[∵幂函数f(x)＝(n２＋２n－２)xn ２－３n在(０,＋∞)上是减 函数, ∴ n２＋２n－２＝１, n２－３n＜０,{ ∴n＝１, 又n＝１时,f(x)＝x－２的图象关于y轴对称,故n＝１．] ３．D ４．A　[∵y＝ １２( ) x ＝２－x, ∴它与函数y＝２x 的图象关于y 轴对称．] ５．D　[由题意易得,a２≥１ ,所以a的取值范围是[２,＋∞)．] ６．D　[由题意得 x＞０２x－１≠０{ , 解得x∈ ０,１２( ) ∪ １ ２ ,＋∞( )．] ７．A　[a＝２－ １ ３ ＜２０＝１,所以０＜a＜１,c＝log１ ２ １ ３＞log １ ２ １ ２＝ １,所以c＞１, b＝log２ １ ３＜log２１＝０ ,所以b＜０,故c＞a＞b．] ８．D ９．AC　[f(x)的定义域为(０,２)．由于f(x)＝lnx＋ln(２－x) ＝ln(２x－x２),从 而 对f(x)的 研 究 可 转 化 为 对 二 次 函 数 g(x)＝２x－x２(x∈(０,２))的研究．因为g(x)＝２x－x２＝－ (x－１)２＋１,所以g(x)在(０,１)上单调递增,在(１,２)上单调 递减,直线x＝１是y＝g(x)的 图 象 的 对 称 轴．从 而 排 除 B,D．] １０．解析:当x≥０时,g(x)＝２⇔log２(x＋１)＝２,解得x＝３; 当x＜０时,g(x)＝f(－x)＝２x＋１＝２,解得x＝０(舍); 所以g(x)＝２的解为:x＝３． 答案:x＝３ １１．解:(１)当a＝２时,g(x)＝log２(１－x),在[－１５,－１]为减 函数,因 此 当 x＝ －１５ 时,g(x)的 最 大 值 为log２ [１－ (－１５)]＝log２１６＝４． (２)f(x)－g(x)＞０,即f(x)＞g(x),所以当０＜a＜１时, loga(１＋x)＞loga(１－x),满足 １＋x＜１－x, １＋x＞０, １－x＞０,{ 所以－１＜x ＜０, 故当０＜a＜１时x的取值范围是{x|－１＜x＜０}． １２．解:(１)因为 f(１)＝５２ f(２)＝１７４ ì î í ïï ï ,所以 ２＋２a＋b＝５２ , ２２＋２２a＋b＝１７４． ì î í ïï ï 解得 a＝－１, b＝０．{ 故a,b的值分别为－１,０． (２)f(x)是偶函数,证明如下: 由(１)知f(x)＝２x＋２－x,f(x)的定义域为R,关于原点对称．因 为f(－x)＝２－x＋２x＝f(x),所以f(x)为偶函数． (３)f(x)在[０,＋∞)上为增函数,证明如下: 对任意 x１,x２ ∈[０,＋∞),不 妨 设 x１ ＜x２,则 f(x１)－ f(x２)＝(２x１＋２－x１)－(２x２＋２－x２) ＝(２x１－２x２)＋ １２( ) x１ － １２( ) x２ ＝(２x１－２x２)􀅰 ２x１＋x２－１ ２x１＋x２ ,因为x１＜x２,且x１,x２∈[０,＋∞), 所以２x１－２x２＜０,２x１＋x２＞１, 即２x１＋x２－１＞０,则f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以f(x)在[０,＋∞)上为增函数． 又f(x)在 R上为偶函数,故f(x)在(－∞,０]上单调递减, 则当x＝０时,f(x)取最小值． 又f(０)＝１＋１＝２,所以f(x)的值域为[２,＋∞)． 新题快递 １．C　[设u(x)＝x２－２ax－a． ∵f(x)在(－∞,－３)上单调递减, ∴由复合函数的单调性法则可知,u(x)在(－∞,－３)上单 调递减, 且u(x)＞０在(－∞,－３)上恒成立．(注意对数的真数大于０) 又u(x)＝(x－a)２－a－a２ 在(－∞,a)上单调递减, (若函数u(x)在(－∞,－３)上单调递减,则u(－３)＞０) ∴ u (－３)≥０, a≥－３,{ 解得a≥－ ９ ５． 则可得函数f(x)在区间(－∞,－３)上单调递减的充要条件 是a∈ －９５ ,＋∞[ )． 而所求的是函数f(x)在区间(－∞,－３)上单调递减的必要 不充分条件, 故 只 需 看 －９５ ,＋∞[ ) 是 哪 一 个 的 真 子 集,而 －９５ ,＋∞[ ) ⫋[－２,＋∞),故 C符合题意．] ２．解析:①因函数f(x)＝ ax,x≤１ １－２a x ,x＞１{ ,又f(－２)＝９,于是得 a－２＝９,而a＞０,解得a＝１３ , 所以a的值等于１３ ; ②因对任意x１≠x２,都 有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０成 立,则 函 数 f(x)在 R上单调递减, 因此, ０＜a＜１ １－２a＞０ a≥１－２a{ ,解得 １ ３≤a＜ １ ２ , 所以实数a的取值范围是１３≤a＜ １ ２． 答案:①１３　② １ ３≤a＜ １ ２ 假期作业６　函数的应用 思维整合室 １．(１)f(x)＝０　(２)x轴　零点　(３)f(a)􀅰f(b)＜０　(a,b) f(c)＝０　c　２．(x１,０),(x２,０)　(x１,０)　２　１　０ 技能提升台　素养提升 １．BD　２．C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０８ ３．B　[函数f(x)＝x＋log２x－m 在 １ ４ ,８( ) 上单调递增,则函 数f(x)在 １４ ,８( ) 上存在零点, 需 f １ ４( )＝ １ ４＋log２ １ ４－m＜０ f(８)＝８＋log２８－m＞０ { ,解得－７４＜m＜１１．] ４．C[如图,根据图像可得两个函数交点的 个数为４个, 所以函数f(x)＝lg|x|－|x２－２||的零点 个数为４个．] ５．解析:令t＝f(x), 由f(t)＝０ 得 t≤２ t＝０{ 或 t＞２ log２(t－２)＝０{ , 所以t＝０或t＝３, 当t＝f(x)＝０时,x＝０或x＝３, 当t＝f(x)＝３时,则 x≤２ x＝３{ 或 x＞２ log２(x－２)＝３{ ,解得x＝１０, 所以函数y＝f(f(x))的所有零点之和为０＋３＋１０＝１３． 答案:１３ ６．解析:由题意定义域为R的函数f(x)满足f(２＋x)＝－f(－x), 则f(x)的图象关于点(１,０)成中心对称, 函数y＝－ １x－１ 的图象是由y＝－１x 的图象向右平移一个 单位得到, 故y＝－ １x－１ 的图象关于点(１,０)成中心对称, 又曲线y＝f(x)与曲线y＝－ １x－１ 有且只有两个交点, 这两个交点关 于(１,０)对 称,故 这 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为２, 而函数g(x)＝f(x)＋ １x－１ 的零点即为曲线y＝f(x)与曲 线y＝－ １x－１ 交点的横坐标, 故函数g(x)＝f(x)＋ １x－１ 的零点之和是２． 答案:２ ７．C　８．A ９．ACD　[由 题 意 可 知:Lp１ ∈[６０,９０],Lp２ ∈[５０,６０],Lp３ ＝４０, 对于选项 A:可得Lp２－Lp３＝２０×lg p１ p０ －２０×lgp２p０ ＝２０× lgp１p２ , 因为Lp１≥Lp２,则Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ ≥０,即lgp１p２ ≥０, 所以p１ p２ ≥１且p１,p２＞０,可得p１≥p２,故 A正确; 对于选项B:可得Lp２ －Lp２ ＝２０×lg p２ p０ －２０×lgp３p０ ＝２０× lgp２p３ , 因为Lp２－Lp３＝Lp２－４０≥１０,则２０×lg p２ p３ ≥１０,即lgp２p３ ≥ １ ２ , 所以p２ p３ ≥ １０且p２,p３＞０,可得p２≥ １０p３, 当且仅当Lp２＝５０时,等号成立,故B错误; 对于选项 C:因为Lp３＝２０×lg p３ p０ ＝４０,即lgp３p０ ＝２, 可得p３ p０ ＝１００,即p３＝１００p０,故 C正确; 对于选项 D:由选项 A可知:Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ , 且Lp１－Lp２≤９０－５０＝４０,则２０×lg p１ p２ ≤４０, 即lgp１p２ ≤２,可得p１p２ ≤１００,且p１,p２＞０,所以p１≤１００p２, 故 D正确．] １０．解析:设过滤n次才能达到市场要求,则２(１－１３ )n≤０．１,即 (２ ３ )n≤０．１２ ,∴nlg２３≤－１－lg２．∴n≥７．３９ ,∴n＝８． 答案:８ １１．解析:设矩形花园的宽为ym,则x４０＝ ４０－y ４０ ,即y＝４０－x,矩 形花园的面积S＝x(４０－x)＝－x２＋４０x＝－(x－２０)２＋ ４００,当x＝２０m 时,面积最大． 答案:２０ １２．解:(１)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y＝kx ＋b． 当x＝４时,y＝１６,当x＝７时,y＝１０,得到１６＝４k＋b,１０ ＝７k＋b．二式联立解得k＝－２,b＝２４,∴y＝－２x＋２４． (２)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车 厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车厢,则S＝xy ＝x(－２x＋２４)＝－２x２＋２４x＝－２(x－６)２＋７２,所以当x ＝６时,Smax＝７２,此时y＝１２,则每日最多运营人数为１１０ ×７２＝７９２０(人)． 新题快递 １．解析:函数f(x)＝|２x－１|图象如下: 方程f(x)＝m 有两个不同的解,则函数y＝f(x)与直线y＝ m 有两个不同的交点, 故０＜m＜１; 方程g[f(x)]＝m 中,设t＝f(x)∈(０,＋∞),即g(t)＝m, 即函数y＝g(t)与直线y＝m∈(０,１)的交点问题,g(t)＝ |log３t|,０＜t≤３ ４－t,t＞３{ 图象如下: 故结合图象可知,函数y＝g(t)与y＝m∈(０,１)有３个交 点,即g(t)＝m 有三个根t１,t２,t３,其中t１∈(０,１),t２∈(１, ３),t３∈(３,４), 再结合y＝f(x)图象可知,方程f(x)＝t１∈(０,１)有２个不 同的x根; 方程f(x)＝t２∈(１,３)有１个不同的x根; 方程f(x)＝t３∈(３,４)有１个不同的x根． 综上,方程y[f(x)]＝m 方程解的个数为４． 答案:０＜m＜１　４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １８ ２．解析:(１)当x２－ax＋１≥０时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a－ ２)x－１＝０, 即[(a－１)x－１](x＋１)＝０, 若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立; 若a≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１, 若方程有一根为x＝－１,则１＋a＋１≥０,即a≥－２且a ≠１; 若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 １ a－１( ) ２ －a× １a－１＋１≥０ ,解 得a≤２且a≠１; 若x＝ １a－１＝－１ 时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x＋１ ＝０, 即[(a＋１)x－１](x－１)＝０, 若a＝－１时,x＝１,显然x２－ax＋１＜０不成立; 若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ , 若方程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２; 若方程有一根为x＝ １a＋１ ,则 １ a＋１( ) ２ －a× １a＋１＋１＜０ ,解 得a＜－２; 若x＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立; 综上可知,当a＜－２时,零点为 １a＋１ ,１ a－１ ; 当－２≤a＜０时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝０时,只有一个零点－１; 当０＜a＜１时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝１时,只有一个零点－１; 当１＜a≤２时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＞２时,零点为１,－１． 所以当函数有两个零点时,a≠０且a≠１． 点睛:本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方程的 根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根据范围讨 论根(或零点)的个数,从而得解． 答案:(－∞,０)∪(０,１)∪(１,＋∞) 假期作业７　任意角的三角函数与弧度制 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)半径长　(３)r|α| ３．y　x 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A　３．C　 ４．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ５．A ６．解析:∵l＝３π,α＝１３５°＝３π４ , ∴r＝lα ＝４ ,S＝１２lr＝ １ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角 为α, 则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７． ] １０．A 　 [因 为 角 α 的 终 边 过 点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点 M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２ ＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ ,tanα ＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如 图 示:记 从 表 盘 中 心(圆 心)O 到１２点方向的半径为OA, ８:２０时 分 针 方 向 为 OB,时 针 方 向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所 以 ∠BOC＝ ∠AOC－ ∠AOB ＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２８