假期作业4 函数的概念与性质-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业４　函数的概念与性质　　　　　　　 １．函数的概念 一般地,设A,B 是两个非空的　　　　,如 果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集 合 B 中 都 有 　　　　　　的数f(x)和它对应;那么就 称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函 数．记作y＝f(x),x∈A． ２．函数的单调性 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义 域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x１, x２,当x１＜x２ 时 都有　　　　　　 都有　　　　　　　 结论 那么就说函数f(x)在 区间D 上是　　　　 那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数 图示 ３．函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内任意一个x都有 f(－x)＝　　　　 f(－x)＝　　　　 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 ４．奇、偶函数图象的对称性 (１)偶函数的图象关于　　　　对称,图象关 于y轴对称的函数一定是　　　　． (２)奇函数的图象关于　　　　对称,图象关 于原点对称的函数一定是奇函数． ◆[考点一]　函数的概念 １．下列所给图象是函数图象的个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．函数f(x)＝ x－１x－３＋ (x－１)０ 的定义域为 (　　) A．[１,＋∞)　　　　　B．(１,＋∞) C．[１,３)∪(３,＋∞) D．(１,３)∪(３,＋∞) ◆[考点二]　函数的单调性 ３．下列函数在区间(０,４)上单调递增的是 (　　) A．y＝２０２４－２０２３x B．y＝２x２＋３ C．y＝－(x－２)２ D．y＝x２－８x－６ ４．在区间 １２ ,２é ë êê ù û úú 上,函数f(x)＝x２＋bx＋c (b,c∈R)与g(x)＝x ２＋x＋１ x 在同一个点取 得相 同 的 最 小 值,那 么 f(x)在 区 间 １ ２ ,２é ë êê ù û úú 上 的 最 大 值 为 　 　 　 　,最 小 值 为　　　　． ◆[考点三]　函数的奇偶性 ５．(２０２３􀅰全国乙卷)已知f(x)＝ xe x eax－１ 是偶 函数,则a＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ６．函数y＝ ４xx２＋１ 的图象大致为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ ７．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln２x－１２x＋１ 为偶函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１２ D．１ ◆[考点四]　函数性质的综合应用 ８．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,０)单 调递减,且f(２)＝０,则满足xf(x－１)≥０ 的x的取值范围是 (　　) A．[－１,１]∪[３,＋∞)　B．[－３,－１]∪[０,１] C．[－１,０]∪[１,＋∞) D．[－１,０]∪[１,３] ９．(多选题)已知函数f(x)＝x|x|－２x,则下 列结论正确的是 (　　) A．f(x)是偶函数,递增区间是(０,＋∞) B．f(x)是偶函数,递减区间是(－∞,１) C．f(x)是奇函数,递减区间是(－１,１) D．f(x)是奇函数,递增区间是(－∞,－１) １０．(多选题)(２０２３􀅰山东省高三一模)已知奇 函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(２) ＝－１,若g(x)＝f(x－１),则下列结论一 定成立的是 (　　) A．g(１)＝０ B．g(２)＝－１２ C．g(－x)＋g(x)＞０ D．g(－x＋１)＋g(x＋１)＜０ １１．已知函数f(x)＝－２x＋m,其中 m 为 常数． (１)求证:函数f(x)在R上是减函数; (２)当函数f(x)是奇函数时,求实数 m 的值． １２．已知函数f(x)＝ax＋b(a≠０,a,b为实 数),且满足３f(x－１)－２f(x＋１)＝２x －６． (１)求a,b的值． (２)求函数g(x)＝x[f(x)－６]在区间[０, ２]上的最值． １．(多选)已知f(x),g(x)都是定义在 R上的 增函数,则 (　　) A．函数y＝f(x)＋g(x)一定是增函数 B．函数y＝f(x)－g(x)有可能是减函数 C．函数y＝f(x)􀅰g(x)一定是增函数 D．函数y＝f (x) g(x) 有可能是减函数 ２．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞,０)上单 调递减,且f(１)＝０,则满足xf(x－１)≤０ 的x的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２]∪[０,＋∞) B．(－∞,－２]∪[１,＋∞) C．(－∞,１]∪[２,＋∞) D．(－∞,０]∪[２,＋∞) 高 中 数 学 到 底 有 多 可怕? 课上弯腰捡了一下笔 帽,起 来 后 就 再 也 没 听 懂 过􀆺􀆺 我题目还没抄完呢,学霸已经给出答案 了􀆺􀆺 我眼睁睁地看着数学老师把一堆字母算 成一个数字􀆺􀆺 上数学课的时候,我把这一周的早、中、晚 餐都想好吃什么了􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８ 三0022 高一载学的) 新题快递 1.C[a⊙b=a'b+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5⊙( 7.B[由题意知g0)=n是寺高数，而f)=(十ag (2022⊙2023)…))=x. (x)为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(-x)=-(-x十a)g 则3⊙x=9x+9m一27-9x+1=9m一26， (r)=(x十a)g(x)=f(xr),故x-a=x十a,则a=0.] 2⊙(9m-26)=4(9m-26)十4m-18-9(9m-26)+1=113 8.D 一41m, 9.CD[将函数f(x)=xr|一2x去掉绝对值 1⊙(113-41m)=(113-41m)+m-9-9(113-41m)+1 329m-912≤1， 得fx)=r-2r≥0， -x”-2x,.x<0, 解释m<器] 画出函数f(x)的图象，如图，规察图象可知， 函数F(x)的图象关于原，点对称，故函数 2.B[观察图形知，A1,A,A,A,A,A,A,七个公司要到 f(x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一0，一1）上 中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接，点， 单钢递增.] 令A,到B、A:到C、A,到D、A,到D、A到E、A到E、A 到F的小公路距离总和为d, 10.AC[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,因 BC=d,CD=d;,DE=d,EF=d 为g(x)=f(x-1), 路口C为中转站时，距离总和S=d十d十d2十d:十(d+ 所以g(1)=f(0)=0,故A正确： d,)+(d+d,)+(d,+d2+d2)=d+d1+5d,+3d+d, 因为f(x)为定义在R上的减函数， 路口D为中转站时，距离总和S。=d十(d,十d,)十d十d 且f(2)=-1,f(2)<f(1)<f(0), +d+(d+d)=d+d,+2d+3d+d, 即-1<f(1)<0.所以-1<g(2)<0,故B不一定成立； 路口E为中转站时，距离总和Sr=d十(d十d十d)十(d 因为g(x)=f(x一1)，所以g(一x)=f(一x一1) +d)+d+d+d=d+d,+2d2+4d+d., =-f(x+1), 路口F为中转站时，距离总和S,=d十(d,+d,十d。+d)+ 所以g(一x)十g(x)=一f(x+1)十f(x-1),因为f(x)是 (d+d+d,)+2(d+d:)+2d-d+d+2d+4d+ 定义在R上的减函数， 5d,显然S>Sn,S>Se>Sn,所以这个中转站最好设在 所以f（x一1)>f(x+1).所以f(x-1)-f(x+1)>0,即 路口D.] g(一x)十g(x)>0,故C正确： 假期作业4函数的概念与性质 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x十1)=f(一x)= 思维整合室 -f(x),g(x+1)=f(x), 1.实数集唯一确定2.f(x)<f(x)f(x)>f(x2)增函数 所以g(-x+1)十g(x十1)=-f(x)+f(x)=0,选项D 3.(x)一f(x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 错误.] 技能提升台素养提升 11.解：(1)证明：设，x是R上的任意两个实数，且1<， 1.B[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值， 则f(x1)-f(1)=(-2x1十m)-(-2x+m)= 因此不是函数图象，②中当x一x。时，y的值有两个，因此不 2(x-x),x<,.x2-x1>0. 是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是 ∴f(x1)>f(x2)..函数f(x)在R上是减函数. 函数图象，] (2)函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x) 2.D =-f(x.∴.2x十m=-(-2x十m)..m=0. 3.B[对于A,y=2024-2023.x在R上单调递减，故A 12.解：(1)因为f(x-1)=a(x-1)+b.f(x十1)=a(x+1)+ 错误： b,所以3f(x-1)-2f(x+1)=3[a(x-1)+b] 对于B,易知y=2x”十3开口向上，对称轴为x=0, 2[a(x+1)+b]=a.x-5a+b=2x-6. 所以y=2x+3在区间(0,4)上单调递增，故B正确： 对于C,y=一(.x一2)开口向下，对称轴为x=2, 巴6-6年释：化子： 所以a=2, 所以y=-(x一2)在(-∞，2)上单调递增，在(2，十0)上 (2)由(1)可知：f(x)=2x十4. 单钢递减，故C错误： 所以g(x)=x[/(x)一6]=x(2x十4-6)=2(x2一x》 对于D,y=x一8.x一6开口向上，对称轴为x=4, 所以y=x一8x一6在（一，4）上单调递减，故D错误.] [(-)广-]=(-)广- 4.解析：由g(x)=士+1=x十上+1，易知g(x)在 当时， [合]上单调递减，在1,2]上单调递增，则g（)= )取最小值一名 g(1)=3.于是f(x)也在x=1处取得最小值3，则b=一2，c 当x=2时， =4,即f(x)=x2一2x+十4=(x-1)2十3，所以f(x)在区间 g(.x)取最大值4 [合，2]上的最大值为2)=4 新题快递 答案：43 1.ABD[对于A,设F(x)=f(x)十g(x),设x1<x2, 5.D[图为f)=e二为偶画数，则f) 则F(x1)-F(xe)=f(x)+g(x1）-f(x)-g(x)= [f(1)-f(x2)]+[g(r1)-g(x:)] f代-=ge=e门=0，又周为r 又由f(x),g(x)都是定义在R上的增函敦，则f(x1) e-1e-1 e-1 f(x2)<0且g(x1）-g(x2)0., 不恒为0， 所以F(x1)一F(x4)<0,故函数y=f(x)+g(x)一定是增 可得e一er=0,即e=e-“, 函数，A正确： 则x=(a-1)x,即1=a一1，解得a=2.] 对于B,设f(x)=x,g(x)=2x,此时y=f(x)一g(x)=-x 6.A[由题意首先确定西数的奇偶性，由函数的解析式可得： 为减函数，B正确： f-)=2+1 二4上=一f(x),则画数f(x)为奇函数其图象关 对于C,设f(x)=xg(x)=2r,此时y=f(x)g(x)=2.x: 在（一○，0）上为减函数，C错误； 4 于坐标原点对称，选项CD错误：当x=1时，y=1十=2> 对于D,当fx)=e,g(x)=e时，函数y=巴=上为减 g(xr）e 0,选项B错误，] 函数，D正确.] 79 2.C[因为定义在R的奇函数f(.x)在（一o©，0）单调递减，且 2+2+0= 5 f(1)=0, 1)=2 2 12.解：(1)因为 ,所以 所以f(x)在(0，十∞)单调递减，且f(一1)=0， 7 f(2)=4 2+22+=17 所以当（一∞，一1）U(0,1),f(x)>0, 4 当(-1,0)U(1,+∞)，f(x)<0, 故ab的值分别为一1,0. 所以若xf(x-1D≤0，则r<0 0≤，x<1 -1≤x-1<0或 (2)f(x)是偶函数，证明如下： 12或=0或= 由(1)知f(x)=2+2,f(x)的定义战为R,关于原点对称.因 为/（一x)=2++2=f代x),所以f(x)为偶函数. 解得x≤1或x≥2， (3)f(x)在[0，十∞)上为增函数，证明如下： 所以x的取值范围是(-∞，1门U[2,十∞).] 对任意x1·x4∈[0，十o),不妨设x1<x,则f(x1) 假期作业5基本初等函数(I) f(x2)=(21+21)-(2+2) 思维整合室 1.(0,+oo)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1 =2-+(侵-（合） =(21-22)· 增函数减函数2.(0.十∞)(1,0)10y>0y<0 2-1,图为玉<且∈[0.+∞)： 2' y<0y>0增减 所以21一2g0,2+2>1. 3.(2)[0.+∞)[0.+∞){yly≠0}奇奇在(-∞，0] 上单调递减，在[0，十∞)上单调递增在R上单调递增在 脚2-1>0.则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(.x2) 所以f(x)在[0，+Co)上为增画数 [0,十co)上单调递增在（一0∞，0）和(0，十∞)上单调递减 (1,1) 又f(x)在R上为偶函数，故f(x)在(-o,0]上单调递减， 技能提升台素养提升 则当x=0时，f(x)取最小值. 又/(0)=1十1=2，所以(x)的值域为[2，十©©). 1.C[令)=，则=2a=号)=.] 新题快递 1.C u(r)=z-2az-a. 2.B[:暴函教f(x)=(n+2m-2)x-"在(0.+o0)上是减 'f(x)在（一©，一3）上单调递减， 函数， ·由复合函数的单调性法剥可知，(x)在（一∞，一3）上单 ”+2”二2=1m=1. 调递减， {n2-3<0, 且u(x)>0在(-∞，-3)上恒成立.（注意对数的真数大于0） 又n=1时，f(x)=x的图象关于y轴对称，故n=1.] 又u(x)=(x一a)-d-a在(-o∞，a)上单调递减， 3.D (若函数u(x)在（一∞，一3）上单训递减，则u(一3)>0) 4.A[y-()广-2 “》20解释>号 .它与函数y=2的图象关于y轴对称.] 则可得函数f(x)在区间（一○，一3）上单调递减的充要条件 5,D[由题意易得，号≥l,所以a的取值范国是[2，十o©).] 是ae[号+∞)月 6.D[由题意得>0 而所求的是函数f八(x)在区间（一∞，一3）上单调递减的必要 {2x-1≠0 不充分条件， 解得x(0,)U(位+)门 故只需看【号十）是哪一个的真子集，而 7.Aa=2<2=1.所以0<a<1.e=lg4号>lg时 1 1,所以c>1, a',r≤1 6=log:专<log1=0,所以60，故>a>6.] 2.解析：①因函数f(x) 1-24,c>1又f代-2)=9，于是得 8.D 9.AC[f(x)的定义域为(0,2).由于f(x)=1nx十1n(2-x) 2=9,而a>0,解得a=3 =l(2x一x2),从而对f(x)的研究可转化为对二次函数 g(x)=2x一x(x∈(0,2)的研究.周为g(x)=2.x-x= 所以a的值等于3 (x-1)+1,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单词 ②因对任意5，≠，都有)-)<0成立，则函数 道减，直线x=1是y=g(x)的图象的对称轴.从而排除 B,D.] f(x)在R上单调递减， 10.解析：当x>≥0时，g(x)-2=log(z十1)=2，解得x=3: 0a<1 当x<0时，g(x)=f(-x)=2十1=2，解得x=0(含)： 因此120>0，解得号<a<名 所以g(x)=2的解为：x=3. a≥1-2a 答案：x=3 11.解：(1)当a=2时，g(x)=1og(1一x),在[-15，-1]为减 所以实载u的取值范国是号<a<号 函数，因此当x=一15时，g(x)的最大值为1og[1 若案：①片 @<a<号 (-15)]=log16=4. (2)f(x)一g(x)>0,即f(.x)>g(x),所以当0<a<1时， 假期作业6函数的应用 1+x<1-x, 思维整合室 log.(1+x)>1og(1-x),满足1十x>0, 所以一1<x L.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b) 1-x>0, f(c)=0c2.(x10),(x,0)(x10)210 <0, 技能提升台素养提升 故当0<u<1时x的取值范围是{x一1<x<0}. 1.BD 2.C 80