假期作业2 常用逻辑用语-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业２　常用逻辑用语　　　　　　　 １．充分条件与必要条件 命题 真假 “若 p,则 q”是 真 命题 “若p,则q”是假 命题 推出 关系 p　　　　q p　　　　q 条件 关系 p 是q 的 　 　 　 条件 q是p 的　　　　 条件 p不是q的　　　 条件 q不是p的　　　 条件 ２．充要条件 一般地,如果既有　　　　,又有　　　　, 就记作　　　　．此时,我们说p 是q 的充 分必要条件,简称充要条件．显然,如果p是 q的充要条件,那么q也是p 的充要条件, 即如果　　　　,那么p 与q 互为充要条 件．概括地说, (１)如果　　　　,那么p与q互为充要条件． (２)若　　　　,但　　　　,则称p是q的充 分不必要条件． (３)若　　　　,但　　　　,则称p是q的必 要不充分条件． (４)若　　　　,且　　　　,则称p是q的既 不充分也不必要条件． ３．全称量词与全称量词命题 (１)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“∀”表示． (２)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题． (３)全称量词命题的表述形式:对 M 中任意一 个x,有p(x)成立,可简记为:　　　　, 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”． ４．存在量词与存在量词命题 (１)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“∃”表示． (２)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题． (３)存在量词命题的表述形式:存在 M 中的一 个x０,使p(x０)成立,可简记为:　　　　,读 作“存在M 中的元素x０,使p(x０)成立”． ５．全称量词命题与存在量词命题区别 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 　　　　　　 　　　　　　 结论 全称量词命题 的否定是存在 量词命题 存在量词命题的 否定是全称量词 命题 ◆[考点一]　充分条件与必要条件的判断 １．(２０２３􀅰天津)“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选题)有以下四种说法,其中正确说法为 (　　) A．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充 分条件 B．“a＞b＞０”是“a２＞b２”的充要条件 C．“x＝３”是“x２－２x－３＝０”的充分不必要条件 D．“A∩B＝B”是“A＝⌀”的必要不充分 条件 ３．(２０２３􀅰北京卷)若xy≠０,则“x＋y＝０”是 “y x＋ x y＝－２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ ４．已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n．“l, m,n共面”是“l,m,n两两相交”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．设集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥a},则“A ∪B＝R”是“a＝１”的　　　 条件,a＝２是 “A∩B＝⌀”的　　　　条件(从如下四个中 选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条 件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件) ６．已知p是r的充分不必要条件,s是r 的必 要条件,q是s的充要条件,那么p 是q 的 　　　　　　条件． ◆[考点二]　全称量词与存在量词 ７．下列全称量词命题中真命题的个数是 (　　) ①末位是０或５的整数,可以被５整除; ②钝角都相等;③三棱锥的底面是三角形． A．０　　B．１　　C．２　　D．３ ８．命题“所有实数的平方都是正数”的否定是 (　　) A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 ９．已知命题:p:∃x＞０,２x＞x２,则􀱑p是 (　　) A．∃x＞０,２x≤x２　B．∃x＞０,２x＜x２ C．∀x＞０,２x≤x２ D．∀x＞０,２x＜x２ １０．(多选题)命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０ 是假命题,则实数b的值可能是 (　　) A．－７４ B．－ ３ ２ C．２ D．５２ ◆[考点三]　常用逻辑的综合应用 １１．已知命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假 命题． (１)求实数a的取值集合A; (２)设非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜ ２m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条 件,求实数m 的取值集合． １２．已知集合M＝{x|x＜－３或x＞５},P＝{x |(x－a)􀅰(x－８)≤０}． (１)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P ＝{x|５＜x≤８}的充要条件; (２)求实数a的一个值,使它成为 M∩P＝ {x|５＜x≤８}的一个充分不必要条件; (３)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P ＝{x|５＜x≤８}的一个必要不充分条件． １．“|x|＝２”是“xx－２＝ １ ２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选题)下列结论正确的是 (　　) A．“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件 B．“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件 C．“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”的否定是 “∃x∈R,使x２＋x＋１＜０” D．“x＝１是方程ax２＋bx＋c＝０的实数根” 的充要条件是“a＋b＋c＝０” 不爱回信的怀特海德　有一次罗素写了两次 信向怀特海德请教一个数学问题,他都没有回 信．于是他又打了一封付好回资的电报给他, 仍然没有回音．最后只好亲自向他当面请教． 假如有人收到了怀特海德的信,大家便会一起 祝贺他,有人问怀特海德为什么不回信,他说: “假如我经常要给人写回信,那我就没有时间 从事独创性的工作了．” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４ 参 考 答 案 第一部分 假期作业１　集合及其运算 思维整合室 １．(１)确定性　互异性　(２)∈　∉　(３)描述法　Venn图 ２．A⊆B　A⫋B　都相同　A＝B　３．∁UA　{x|x∈A,或x ∈B} 技能提升台　素养提升 １．D　[若集合A 中只有一个元素,则方程ax２－３x＋２＝０只 有一个实根或有两个相等实根． 当a＝０时,x＝２３ ,符合题意; 当a≠０时,由Δ＝(－３)２－８a＝０,得a＝９８ , 所以a的取值为０或９８． ] ２．C　[因为{１,a＋b,a}＝ ０,ba ,b{ },a≠０,所以a＋b＝０,则 b a ＝－１ ,所以a＝－１,b＝１,所以b－a＝２．] ３．B　[若a－２＝０,则a＝２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不 满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B＝{１,－１, ０},满足题意．] ４．ABD ５．A　[由题意可得 M∪N＝{x|x＜２},则∁U (M∪N)＝{x|x ≥２},选项 A正确; ∁UM＝{x|x≥１},则 N∪∁UM＝{x|x＞－１},选项 B错 误;M∩N＝{x|－１＜x＜１}, 则∁U(M∩N)＝{x|x≤－１或x≥１},选项 C错误; ∁UN＝{x|x≤－１或x≥２},则 M∪∁UN＝ {x|x＜１或x≥２},选项 D错误．] ６．A　[由题意,M＝{x|x＋２≥０}＝{x|x≥－２},N＝{x|x－１ ＜０}＝{x|x＜１}, 根据交集的运算可知,M∩N＝{x|－２≤x＜１}．] ７．D ８．A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k∈ Z}∪{x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U (M∪N)＝{x|x＝３k,k ∈Z}．] ９．解析:∵A∩B＝{１}, ∴(A∩B)∪C＝{１}∪{３,７,８}＝{１,３,７,８}． 答案:{１}　{１,３,７,８} １０．解析:利用数轴分析可知,a＞－１． 答案:a＞－１ １１．解:(１)B＝{２,３},C＝ ２,１２{ }, 因为A∩B＝A∪B,所以A＝B, 所以 ４－a ２＝－(２＋３) a＋３＝２×３{ ,解得a＝３． (２)因为A∩B＝A∩C≠⌀,所以A∩B＝A∩C＝{２},所以 ２∈A,所以２２＋２(４－a２)＋a＋３＝０,即２a２－a－１５＝０,解 得a＝３或a＝－５２． 当a＝３时,A＝{２,３},此时A∩B≠A∩C舍去; 当a＝－５２ 时,A＝ ２,１４{ },此时满足题意． 综上,a＝－５２． １２．解:(１)A∪B＝{x|２≤x≤８}∪{x|１＜x＜６}＝{x|１＜ x≤８}．∵∁UA＝{x|x＜２或x＞８}, ∴(∁UA)∩B＝{x|１＜x＜２}． (２)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在 ８的左边即可, ∴a＜８． 新题快递 １．D　[由题意,原问题转化为方程ax２－２x＋a＝０至多只有 一个根, 当a＝０时,方程为－２x＝０,解得x＝０,此时方程只有一个 实数根,符合题意; 当a≠０时,方程ax２－２x＋a＝０为一元二次方程, 所以Δ＝４－４a２≤０,解得a≤－１或a≥１． 综上,实数a的取值范围为[１,＋∞)∪(－∞,－１]∪{０}．] ２．A　[设x１、x２、􀆺,xn(n≥４)是集合B 互不相同的元素,若n ＝３,则A１∩A２≠⌀,不合乎题意． ①假设集合B 中含有４个元素,可设A１＝{x１,x２},则A２＝ A４＝A６＝{x３,x４}, A３＝A５＝A７＝{x１,x２},这与A１∩A７＝⌀矛盾; ②假设集合B 中含有５个元素,可设A１＝A６＝{x１,x２},A２ ＝A７＝{x３,x４}, A３＝{x５,x１},A４＝{x２,x３},A５＝{x４,x５},满足题意． 综上所述,集合B 中元素个数最少为５．] 假期作业２　常用逻辑用语 思维整合室 １．⇒　/⇒　充分　必要　充分　必要 ２．p⇒q　q⇒p　p⇔q　p⇔q　(１)p⇔q　(２)p⇒q q/⇒p　(３)q⇒p　p/⇒q　(４)p/⇒q　q/⇒p ３．(３)∀x∈M,p(x) ４．(３)∃x０∈M,p(x０) ５．∃x∈M,􀱑p(x)　∀x∈M,􀱑p(x) 技能提升台　素养提升 １．B　[由a２＝b２,则a＝±b,当a＝－b≠０时,a２＋b２＝２ab不 成立,充分性不成立; 由a２＋b２＝２ab,则(a－b)２＝０,即a＝b,显然a２＝b２ 成立, 必要性成立; 所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] ２．AC ３．C　[因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ , 所以x２＋y２＝－２xy,即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０, 所以x＋y＝０, 所以“x＋y＝０”是“xy ＋ y x ＝－２ ”的充分必要条件．] ４．B　[已知m,n,l不过同一点,若“m,n,l两两相交”则“m,n, l在同一个平面”,反之不成立,] ５．解析:集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥a}, 当A∪B＝R时,a≤１,∵a≤１不一定得到a＝１,当a＝１时 一定可以得到a≤１, ∵“A∪B＝R”是“a＝１”的必要不充分条件, 当A∩B＝⌀时,a＞１,∴a＝２是“A∩B＝⌀”的充分不必要 条件． 答案:必要不充分　充分不必要 ６．解析:由已知得p⇒r,r⇒s,s⇔q,∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推 不出p,所以q推不出p,故p是q的充分不必要条件． 答案:充分不必要 ７．C ８．D　[因为“全称量词命题”的否定一定是“存在量词命题”,所以 命题“所有实数的平方都是正数”的否定是:“至少有一个实数的 平方不是正数”．] ９．C　[􀱑p:∀x＞０,２x≤x２．] １０．AB　[因为命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假命题, 所以命题:∀x∈R,x２＋bx＋１＞０是真命题,也即对∀x∈ R,x２＋bx＋１＞０恒成立, 则有Δ＝b２－４＜０,解得:－２＜b＜２,根据选项的值,可判 断选项 AB符合．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７７ １１．解:(１)命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假命题,则命题 􀱑p:∀x∈R,ax２＋２x－１≠０为真命题, 显然a≠０,否则方程有实根x＝１２ ,因此Δ＝４＋４a＜０,解 得a＜－１,A＝{a|a＜－１}, 实数a的取值集合A＝{a|a＜－１}． (２)由非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜２m}知,６m－４＜ ２m,解得m＜１,B＝{x|３m＜x＜m＋２}, 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,因此３m ＜m＋２≤－１,解得m≤－３, 所以实数m 的取值集合是{m|m≤－３}． １２．解:由M∩P＝{x|５＜x≤８}知,a≤８． (１)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是 －３≤a≤５． (２)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充分不必要条件,显然,a在[－ ３,５]中任取一个值都可以． (３)若a＝－５,显然 M∩P＝[－５,－３)∪(５,８]是M∩P＝ {x|５＜x≤８}的必要不充分条件． 故a＜－３时为必要不充分条件． 新题快递 １．B　[由题意可知,|x|＝２可得x＝２或x＝－２; 而 x x－２＝ １ ２ 时,可得x＝－２,所以“|x|＝２”⇒/“xx－２＝ １ ２ ”, 但 x x－２＝ １ ２⇒|x|＝２ ; 因此“|x|＝２”是“xx－２＝ １ ２ ”的必要不充分条件．] ２．ACD　[对于 A,因为|x|＞１,所以x＞１或x＜－１,所以“当 x＞１”时,“|x|＞１”成立,反之不成立, 故“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件,正确; 对于B,“a∈P∩Q”一定有“a∈P”成立,反之不成立, 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件,错误; 对于 C,命题“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”是全称量词命题, 其否定是存 在 量 词 命 题,即“∃x∈R,使x２＋x＋１＜０”, 正确; 对于 D,当a＋b＋c＝０时,１为方程ax２＋bx＋c＝０的一个 根,故充分性成立; 当方程ax２＋bx＋c＝０有一个根为１时,代入得a＋b＋c＝ ０,故必要性成立,正确．] 假期作业３　一元二次函数、 方程和不等式 思维整合室 １．(１)b＜a　(２)a＞c　(５)a＋c＞b＋d　(６)ac＞bd ２．(１)≥　(２)①a,b均为正实数　②a＝b ３．① ab　②不小于 ４．{x|x＜x１ 或x＞x２}　{x|x≠x１}　{x|x１＜x＜x２}　⌀　⌀ 技能提升台　素养提升 １．D　２．A　 ３．解析:对于①,根据不等式的基本性质得,如果a＞b,且c＞ d,那么a＋c＞b＋d,命题①正确;对于②,如果a≠b,且c≠ d,那么ac≠bd错误,如a＝１２ ,b＝２,c＝－２,d＝－１２ 时,ac ＝bd＝－１,命题②错误;对于③,如果a＞b＞０,那么 １ab＞０ , 所以１ b＞ １ a＞０ ,即０＜ １a ＜ １ b ,命题③正确;对于④,如果 (a－b)２＋(b－c)２≤０,那么a－b＝b－c＝０,所以a＝b＝c, 命题④正确．所以真命题的序号是①③④． 答案:①③④ ４．ABD　 ５．C　[因为０＜x＜ １２ ,所以１－４x２＞０,所以x １－４x２＝ １ ２×２x １－４x ２≤１２× ４x２＋１－４x２ ２ ＝ １ ４ ,当且仅当２x＝ １－４x２,即x＝ ２４ 时等号成立．] ６．B　[因为２(m２＋n２)－(m＋n)２＝２m２＋２n２－(m２＋n２＋ ２mn)＝m２＋n２－２mn＝(m－n)２≥０,当且仅当 m＝n时,等 号成立, 所以２(m２＋n２)≥(m＋n)２, 因为a,b为正实数,所以由４a＋b(１－a)＝０得４a＋b＝ab, 即４ b＋ １ a＝１ , 所以２ １a２ ＋ １６ b２( )＝２ １ a( ) ２ ＋ ４b( ) ２ [ ] ≥ ４b＋ １ a( ) ２ ＝１, 当且仅 当 ４ b ＝ １ a ,且 ４a＋b＝ab,即a＝２,b＝８ 时,等 号 成立, 所以２ １a２ ＋ １６ b２( ) ≥１,即 １ a２ ＋１６ b２ ≥１２ , 因为１ a２ ＋１６ b２ ≥１＋x２－x ２ 对满足４a＋b(１－a)＝０的所有 正实数a,b都成立, 所以 １ a２ ＋ １６ b２( ) min≥１＋ x ２－x ２,即 １ ２≥１＋ x ２－x ２,整理得 ２x２－x－１≥０, 解得x≥１或x≤－１２ ,由x为正数得x≥１, 所以正数x的最小值为１．] ７．解析:因为１x＋ ２ y＝ (２x＋y)(１x＋ ２ y )＝４＋yx ＋ ４x y ≥ ４＋２ yx 􀅰４x y ＝８ ,当且仅当y＝１２ ,x＝１４ 时成立． 答案:８ ８．解析:正实数a、b满足a＋４b＝１,则ab＝１４×a 􀅰４b≤ １４× a＋４b ２( ) ２ ＝１１６ ,当且仅当a＝１２ ,b＝１８ 时等号成立． 答案:１ １６ ９．D　[由题意知 －x２＋４x－３＞０, －x２＋４x－３≠１,{ 即 １＜x＜３, x≠２,{ 故函数f(x)的定义域为(１,２)∪(２,３)．] １０．解析:(x＋３)(１－x)≥０⇔(x＋３)(x－１)≤０,解得－３≤x ≤１,所以不等式的解集为{x|－３≤x≤１}． 答案:{x|－３≤x≤１} １１．解析:由题意,知Δ＝４－４×１×(k２－１)＜０, 即k２＞２,∴k＞ ２或k＜－ ２． 答案:(－∞,－ ２)∪(２,＋∞) １２．解:原不等式可化为(x－１)(ax－１)＜０, ∴①当a＝０时,可解得x＞１, ②当a＞０时,不等式可化为(x－１)x－１a( ) ＜０, ∴当a＝１时,不等式可化为(x－１)２＜０,解集为⌀; 当０＜a＜１时,１a＞１ ,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＞１时,１a＜１ ,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }; 当a＜０时,不等式可化为(x－１)x－１a( ) ＞０, ∴不等式的解集为 x|x＞１或x＜１a{ } 综上,可知,当a＜０时, 不等式的解集为 x|x＞１或x＜１a{ }; 当a＝０时,解集为{x|x＞１}; 当０＜a＜１时,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＝１时,不等式的解集为⌀; 当a＞１时,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８７