专题07 抽象函数性质的应用-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考）

专题07　抽象函数性质的应用 典型例题 题型1 抽象函数的奇偶性与单调性综合问题 例1　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1＜x2)，都有x2f(x1)＞x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　 　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b (2)(2024·广西一模)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)＞0的解集为(　 ) A．(1，3) B．(3，＋∞) C．(－3，－1)∪(3，＋∞) D．(0，1)∪(3，＋∞) (1)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于客观题尽量数形结合求解，同时要充分利用以下性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．要注意：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．特别地，如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，则可避免分类讨论． 变式训练　(2024·启东期末)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，则不等式f(lg x)－f＞4的解集为(　 　) A． B． C．(0，100) D．(100，＋∞) 题型2 抽象函数的奇偶性、对称性与周期性综合问题 例2　(1)(2024·常德一模)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(2x＋1)为奇函数，且f(4－x)＝f(x)，f(k)＝1，则f(0)＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)(2024·大庆一检改编)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝2，g(x)－f(x－4)＝4，若g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝1，则f(202)＝(　 　) A．－3 B．－1 C．0 D．2 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； (2)若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； (3)若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|； (4)若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为2|a|； (5)若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为4|a|． 变式训练　(1)(2023·广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则f(k)＝(　 　) A．116 B．115 C．114 D．113 (2)(2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝__3__，g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝____． 题型3 抽象函数的导函数与原函数的对称性问题 例3　(2024·武汉武昌三模)(多选)已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，f(2x－1)为偶函数，则(　 　) A．f(0)＝0 B．f(－2 021)＝－f(2 023) C．f′(2x－1)＝f′(2x＋7) D．f′(－2 021)＝f′(2 023) (1)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称． 变式训练　(2023·宁波二模)(多选)已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g′(x)的定义域均为R，f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)对称，则(　　) A．g(f(－1))＝g(f(1)) B．f(g(3))＝f(g(－1) C．f(g′(3))＝f(g′(－1)) D．g(f′(－1))＝g(f′(1) 巩固训练 1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．4 2．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　 　) A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) 3．(2024·厦门四模)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(1－x)＝4，g(x)－f(3－x)＝2．若g(x)为偶函数，g(0)＝2，则＝(　 　) A．10 B．13 C．14 D．39 4．(2024·杭州二模改编)(多选)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　 　) A．f(103)＝2 B．f′(x)的周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1 5．(2023·茂名一模)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(－1)＝0 D．f＝ 6．(2023·济宁一模)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f为奇函数，f的图象关于y轴对称，则下列结论一定正确的是(　 　) A．f＝0 B．f(0)＝f C．f′(0)＝f′ D．f′＝0 7．(2024·石家庄联考)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)－g(2－x)＝－5，g(x)＋f(x＋2)＝3．若f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(3)＝－3，则(　 　) A．g(1)＝6 B．g(x)的图象关于点(0，4)中心对称 C．g(x)是周期函数，且最小正周期为8 D．＝90 8．(2023·菏泽一模)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，若f(1)＋g(1)＝3，则f(5)－g(9)＝__ __． 9．(2023·马鞍山、滁州一模)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x＋1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)中心对称，若f(x)＋g(x)＝x2－1，则f(2)g(2)的值为__ __． 10．(2023·泰安期末)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1．若f(2)＝3，则不等式f(x2－x－1)＜2的解集为__ __． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07　抽象函数性质的应用 典型例题 题型1 抽象函数的奇偶性与单调性综合问题 例1　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1＜x2)，都有x2f(x1)＞x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　 　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【解析】 因为对任意两个正数x1，x2(x1＜x2)，都有x2f(x1)＞x1f(x2)，所以＞，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．由f(x)是定义在R上的奇函数可得c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)＞g(2)＞g(3)，即b＞a＞c． (2)(2024·广西一模)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)＞0的解集为(　 ) A．(1，3) B．(3，＋∞) C．(－3，－1)∪(3，＋∞) D．(0，1)∪(3，＋∞) 【解析】 由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x＞0时，xf(x－2)＞0，即f(|x－2|)＞0＝f(1)，故x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，故x∈(0，1)∪(3，＋∞)；当x＜0时，xf(x－2)＞0，即f(|x－2|)＜0＝f(1)，故－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，又x＜0，故解集为∅．综上，不等式xf(x－2)＞0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)． (1)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于客观题尽量数形结合求解，同时要充分利用以下性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．要注意：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．特别地，如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)，则可避免分类讨论． 变式训练　(2024·启东期末)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，则不等式f(lg x)－f＞4的解集为(　 　) A． B． C．(0，100) D．(100，＋∞) 【解析】 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－2)＝－2，所以根据奇函数的对称性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－f(－2)＝2，f(0)＝0，所以f(x)在R上单调递增．不等式转化为f(lg x)－f＝f(lg x)－f(－lg x)＝2f(lg x)＞4，所以f(lg x)＞2＝f(2)，所以lg x＞2，解得x＞100． 题型2 抽象函数的奇偶性、对称性与周期性综合问题 例2　(1)(2024·常德一模)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(2x＋1)为奇函数，且f(4－x)＝f(x)，f(k)＝1，则f(0)＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 因为函数f(x)的定义域为R，且函数f(2x＋1)为奇函数，则f(2x＋1)＝－f(1－2x)，即函数f(x)关于点(1，0)对称，所以有f(x)＝－f(2－x)①．又f(4－x)＝f(x)②，所以函数f(x)关于直线x＝2对称，则由②得f(3)＝f(4－1)＝f(1)＝0，f(0)＝f(4－0)＝f(4)，所以f(0)＋f(2)＝f(2)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．由①和②得f(4－x)＝－f(2－x)，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(x－2)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，则f(k)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝1，所以f(0)＝－f(2)＝－1． (2)(2024·大庆一检改编)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝2，g(x)－f(x－4)＝4，若g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝1，则f(202)＝(　 　) A．－3 B．－1 C．0 D．2 【解析】 因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＋g(2－x)＝f(x)＋g(x＋2)＝2．因为f(x)＋g(2－x)＝2，所以f(－x)＋g(2＋x)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为g(x)－f(x－4)＝4，所以g(x＋2)－f(x－2)＝4，所以f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(202)＝f(2)．因为g(2)－f(－2)＝g(2)－f(2)＝4，所以f(2)＝－3，故f(202)＝－3． (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； (2)若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； (3)若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|； (4)若函数f(x)是偶函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为2|a|； (5)若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)的周期为4|a|． 变式训练　(1)(2023·广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则f(k)＝(　 　) A．116 B．115 C．114 D．113 【解析】 由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4．又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4．又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1．由f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，得f(2)＝0，所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114． (2)(2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝__3__，g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝__0__． 【解析】 由g(x)＋f(x－3)＝3可得g(1－x)＋f(－2－x)＝3．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)＝f(－2－x)．令x＝0，得f(0)＝f(－2)．因为y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(1－x)＋g(1＋x)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)－g(1＋x)＝3．因为g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(1＋x)＋f(x－2)＝3，所以f(x)＋f(x－2)＝6．令x＝0，得f(0)＋f(－2)＝6，则f(0)＝3．因为f(x)－g(1＋x)＝3，所以f(x－3)－g(x－2)＝3，又g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(x)＝－g(x－2)，g(x－2)＝－g(x－4)，则g(x)＝g(x－4)，4是g(x)的一个周期．因为g(3)＝－g(1)，g(4)＝－g(2)，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0．因为g(x)的周期是4，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝0． 题型3 抽象函数的导函数与原函数的对称性问题 例3　(2024·武汉武昌三模)(多选)已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，f(2x－1)为偶函数，则(　 　) A．f(0)＝0 B．f(－2 021)＝－f(2 023) C．f′(2x－1)＝f′(2x＋7) D．f′(－2 021)＝f′(2 023) 【解析】 因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(1－2x)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(1＋2x)，则函数f(x)关于点(1，0)对称，且f(1)＝0．无法判断f(0)＝0是否成立，故A错误．因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，令x＝1 011，则f(－2 021)＝－f(2 023)，故B正确．因为f(1－2x)＝－f(1＋2x)，即f(1＋x)＝－f(1－x)，两边同时求导，则有f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以函数f′(x)关于直线x＝1对称．因为函数f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，即f(－1－x)＝f(－1＋x)，两边同时求导，则有－f′(－1－x)＝f′(－1＋x)，所以f′(x)关于点(－1，0)对称，则导函数f′(x)的周期为4×(1＋1)＝8，所以f′(2x－1)＝f′(2x＋7)，故C正确．因为函数f′(x)关于直线x＝1对称，且＝1，所以f′(－2 021)＝f′(2 023)，故D正确． (1)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称． 变式训练　(2023·宁波二模)(多选)已知函数f(x)与g(x)及其导函数f′(x)与g′(x)的定义域均为R，f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)对称，则(　ABC　) A．g(f(－1))＝g(f(1)) B．f(g(3))＝f(g(－1) C．f(g′(3))＝f(g′(－1)) D．g(f′(－1))＝g(f′(1) 【解析】 由f(x)是偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)对称，则有f(－x)＝f(x)，g(x)＝－g(2－x)，则f′(x)图象关于点(0，0)对称，所以f′(－x)＝－f′(x)，g′(x)的图象关于x＝1对称，所以g′(x)＝g′(2－x)．对于A，令x＝1，得f(－1)＝f(1)，所以g(f(－1))＝g(f(1))，故A正确；对于B，令x＝3，得g(3)＝－g(－1)，所以f(g(3))＝f(－g(－1))＝f(g(－1))，故B正确；对于C，令x＝3，得g′(3)＝g′(－1)，所以f(g′(3))＝f(g′(－1))，故C正确；对于D，令x＝1，则f′(－1)＝－f′(1)，所以g(f′(－1))＝g(－f′(1))，故D错误． 巩固训练 1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．4 【解析】 由题意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋f(－1)＝0． 2．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　 　) A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) 【解析】 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，所以f(－2)＝－f(2)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数．由xf(x)＜0，得或根据f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，解得x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 3．(2024·厦门四模)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(1－x)＝4，g(x)－f(3－x)＝2．若g(x)为偶函数，g(0)＝2，则＝(　 　) A．10 B．13 C．14 D．39 【解析】 在f(x)＋g(1－x)＝4中，令x＝1可得f(1)＝2，且f(1－x)＋g(x)＝4．又g(x)－f(3－x)＝2，所以f(1－x)＋f(3－x)＝2，即f(x)＋f(x＋2)＝2，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＋f(9)＋f(10)＋f(11)＋f(12)＋f(13)＝2＋2×6＝14． 4．(2024·杭州二模改编)(多选)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　 　) A．f(103)＝2 B．f′(x)的周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1 【解析】 因为函数f(x)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f′(x＋4)＝f′(x)，故f′(x)的周期为4，故B正确；f(103)＝f(4×25＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A错误；因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故C正确；因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f′(x＋2)＝－f′(－x)，令x＝－1，可得f′(1)＝－f′(1)，解得f′(1)＝0，故D错误． 5．(2023·茂名一模)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(－1)＝0 D．f＝ 【解析】 由f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于(1，0)中心对称，故A正确；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；当x∈[0，1)时，f(x)＝x2, 因为f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝，故D正确． 6．(2023·济宁一模)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f为奇函数，f的图象关于y轴对称，则下列结论一定正确的是(　 　) A．f＝0 B．f(0)＝f C．f′(0)＝f′ D．f′＝0 【解析】 因为f为奇函数，定义域为R，所以f＝－f，故f(－x)＝－f，等式两边同时取导数，得－f′(－x)＝－f′，即f′(－x)＝f′①．因为f的图象关于y轴对称，则f＝f，故f(x)＝f，等式两边同时取导数，得f′(x)＝－f′②．在f(－x)＝－f中，令x＝－，得f＝－f，解得f＝0，故A正确．在f(x)＝f中，令x＝0，得f(0)＝f，故B正确．由②知，当x＝0时，f′(0)＝－f′，令x＝－，得f′＝－f′，解得f′＝0，故C错误，D正确． 7．(2024·石家庄联考)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)－g(2－x)＝－5，g(x)＋f(x＋2)＝3．若f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(3)＝－3，则(　 　) A．g(1)＝6 B．g(x)的图象关于点(0，4)中心对称 C．g(x)是周期函数，且最小正周期为8 D．＝90 【解析】 令x＝1，则g(1)＋f(3)＝3，又f(3)＝－3，故g(1)＝6，故A正确；因为f(x)－g(2－x)＝－5，则f(x＋2)－g[2－(x＋2)]＝－5，即g(－x)－f(x＋2)＝5①，又g(x)＋f(x＋2)＝3②，①＋②得g(x)＋g(－x)＝8，则g(x)的图象关于点(0，4)对称，且g(0)＝4，故B正确；f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，则f(2－x)－g(2－x)＝－5，则f(2＋x)－g(2＋x)＝－5．又g(x)＋f(x＋2)＝3，两式相减得g(2＋x)＝8－g(x)，则g(4＋x)＝8－g(x＋2)，两式相减得g(4＋x)＝g(x)，故g(x)的最小正周期为4，故C错误；g(x)的最小正周期为4，且图象关于点(0，4)对称，g(0)＝g(4)＝4，g(1)＝6，因为g(2＋x)＝8－g(x)，故g(2)＝8－g(0)＝4，g(3)＝8－g(1)＝2，＝5×(6＋4＋2＋4)＋6＋4＝90，故D正确． 8．(2023·菏泽一模)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，若f(1)＋g(1)＝3，则f(5)－g(9)＝__ __． 【解析】 若f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，则f(－2x＋3)＝f(2x＋3)，g(－x＋5)－1＝－g(x＋5)＋1，令x＝1，则f(－2×1＋3)＝f(2×1＋3)，即f(1)＝f(5)，令x＝4，则g(－4＋5)－1＝－g(4＋5)＋1，即g(1)－1＝－g(9)＋1，g(9)＝2－g(1)．又因为f(1)＋g(1)＝3，所以f(5)－g(9)＝f(1)＋g(1)－2＝1． 9．(2023·马鞍山、滁州一模)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x＋1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1，0)中心对称，若f(x)＋g(x)＝x2－1，则f(2)g(2)的值为__ __． 【解析】 因为f(x)＋g(x)＝x2－1，令x＝2，得f(2)＋g(2)＝3．又因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x)图象关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)①．又因为g(x)的图象关于(1，0)中心对称，所以g(－x＋1)＝－g(x＋1)，将－x＋1代换x，得g(x)＝－g(－x＋2)②，由①②得f(x)＋g(x)＝f(2－x)－g(2－x)＝x2－1，令x＝0，得f(2)－g(2)＝－1．结合f(2)＋g(2)＝3，解得f(2)＝1，g(2)＝2，所以f(2)g(2)＝2． 10．(2023·泰安期末)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1．若f(2)＝3，则不等式f(x2－x－1)＜2的解集为__ __． 【解析】 对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1．设x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞1，所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)－1＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是增函数．因为f(2)＝3，即f(2)＝f(1)＋f(1)－1＝3，所以f(1)＝2．所以原不等式f(x2－x－1)＜2等价为f(x2－x－1)＜f(1)，则x2－x－1＜1，即x2－x－2＜0，则(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，故原不等式的解集是(－1，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$