概率专题十五讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--概率专题十五 知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法公式 典例1、为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望. 随堂练习：冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分，冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，． （1）求甲所得分数大于乙所得分数的概率； （2）设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为，求的分布列和期望． 典例2、某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情况下，一把紫砂壶的成品率为，损毁率为．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为．已知一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元． （1）求一把紫砂壶能够对外销售的概率； （2）某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最终获利X的数学期望． 随堂练习：2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为. （1）①求、的值； ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率. （2）求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望. 典例3、2022年4月16日上午9：57神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利返回地面．半年内，航天员们顺利完成了两次出舱任务，两次“天空课堂”讲课，还组织了天宫画展、春节跨年以及迎元宵活动，为全国观众留下了深刻印象，也掀起了一股航天热．邢台市某中学航天爱好者协会为了解学生对航天知识的掌握程度，对该校高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息： 等级 E D C B A 成绩 高一人数 1 2 3 4 10 高二频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25 （1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ （2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和期望． 随堂练习：高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率； （2）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望． 典例4、甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前箱子中装有3个红球3个白球，箱子中装有1个红球2个白球．比赛规则是：先由甲同学从箱子中每次取一个球放入箱子中，若从箱子中放入箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次取到红球并放入箱子中为止．然后再由乙同学从箱子中任取一个球，若取出的是红球则乙同学获胜，否则甲同学获胜． （1）用表示甲同学从箱子中取出放入箱子中球的个数，求的分布列及数学期望； （2）求甲同学获胜的概率． 随堂练习：为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响． （1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率； （2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望． 典例5、1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为. （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望. 随堂练习：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响． （1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率； （2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值． 典例6、2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表： 销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 100 线上销售时间不足8小时 合计 200 （1）完成上面的列联表； （2）根据列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 随堂练习：如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的. （1）根据以上数据完成如下列联表； 有氧运动为主 无氧运动为主 总计 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）能否有的把握认为运动方式与年龄有关？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 人教A版数学--概率专题十五答案 典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，X的数学期望为 解：（1）记“乙同学最终得10分”为事件A， 则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题， 则， 所以乙同学得10分的概率是. （2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20. ， ， ， ， . X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P ， 所以X的数学期望为. 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为： 解：（1）由题意知甲得0分的概率为， 乙得0分的概率为， 甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分， 甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分 所以所求概率为． （2）可能取值为0，1，2，3， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 典例2、答案：（1） （2）. 解：（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件A，则， 则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为， 则一把紫砂壶能够对外销售的概率， （2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550， -500-50-100-50=-700， 则，， ，， 则X的分布列为： 950 800 -550 -700 所以最终获利X的数学期望为： 随堂练习：答案： （1）①；② （2）分布列见解析，数学期望为元 解：（1）①由题意得 即 解得： ②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱. ∴. （2）的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600 ， ， ， ， ， ， ∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为 0 300 500 800 1100 1300 1600 张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为： （元） 典例3、答案： （1）； （2）分布列见解析；期望为1. 解：（1）从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率， 从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于分的概率为， 因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率为． （2）由题意可知，随机变量的可能取值有，，，． 则，， ，， ． 所以，随机变量的分布列如下表所示： ． 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为 解：（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件， “从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件, 由于事 件、相互独立，且， 所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为. （2）由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以随机变量的数学期望 . 典例4、答案： （1）分布列见解析，数学期望为 （2） 解：（1）的可能取值是， ， ， ， ， 故的分布列是 故数学期望为， 故的数学期望是． （2）时，表示箱子中装有2个红球2个白球， 则甲获胜的概率， 时，表示箱子中装有2个红球3个白球， 甲获胜的概率， 时，表示箱子中装有2个红球4个白球， 甲获胜的概率， 时，表示箱子中装有2个红球5个白球， 甲获胜的概率， 故甲获胜的概率 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望为 解：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为． 设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P， 则． （2）由题意可知，3，4，5， 则， ， ， ， 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P ． 典例5、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望： 解：（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B， 小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立. 则 设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M， 则 （2）X的可能取值为1，2 则X的分布列为 X 1 2 P 则 随堂练习：答案： (1)；(2)分布列见解析，均值为1125元. 解:(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”， 显然A1与A2互斥，且A=A1+A2， ， ， 所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为； (2)该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量，的可能值为0，1000，3000，6000， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1000 3000 6000 的均值为：(元) 典例6、答案：（1）答案见解析 （2）有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关 解：（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家， 那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占， 共有家. （22）完成列联表如下： 销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 25 100 线上销售时间不足8小时 45 55 100 合计 120 80 200 由题意，得，计算得， 由于， 故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关. 随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）没有的把握认为运动方式与年龄有关 解： （1）依题意可得30岁以下的有人，则30岁以上的有人， 所以列联表如下表所示： 有氧运动为主 无氧运动为主 总计 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 （2）由题意，，所以没有的把握认为运动方式与年龄有关. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$