概率专题十三讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--概率专题十三 知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概率公式求概率 典例1、如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图. （1）求全班人数以及频率分布直方图中的、； （2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）. （3）从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？ 随堂练习：为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少； （3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率. 典例2、某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； （3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 随堂练习：某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分； （2）从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率； （2）已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率. 典例3、为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数 （2）求参赛同学初赛成绩的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．（写出求解步骤） 随堂练习：《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率； （2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数； （3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率． 知识点二 观察茎叶图比较数据的特征,独立性检验解决实际问题 典例4、某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图. （1）根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由； （2）将这40名顾客的评分的中位数记为，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表； 超过 不超过 男顾客 女顾客 （3）根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？ 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 随堂练习：根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由； （2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的 列联表，并根据该列联表，判断能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？ 超过m 不超过m 甲 乙 附： 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 典例5、为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”. （1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 （2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望. 附:K2=(n=a+b+c+d)， P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 随堂练习：某单位随机抽取了15名男职工和15名女职工，对他们的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数.（说明：图中饮食指数低于70的人，喜食蔬菜；饮食指数高于70的人，喜食肉类.） 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 男 女 合计 （1）通过观察茎叶图，对男､女职工的饮食指数进行比较，请直接写出两条统计结论； （2）完成列联表，并判断是否有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关. 参考公式及附表：. 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 典例6、为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表： 患病 未患病 总计 没服用药 20 30 50 服用药 x y 50 总计 M N 100 设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过 （1）求出列联表中数据，y，M，N的值： （2）求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义： （3）能够以99%的把握认为药物有效吗？ （参考公式，其中 P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 随堂练习：某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的． （1）完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？ Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 女 合计 （2）某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？ 人教A版数学--概率专题十三答案 典例1、答案：（1）25（人），，（2）平均数为71.4，中位数约为；（3）. 解：（1）分数在的频率为， 由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人）， （2）分数在之间的频数为，则， 由解得； 平均数为， ∵，∴中位数在内， 设中位数为，则，解得， ∴中位数约为； （3）得分在内的人数为人，记为、、， 得分在内的人数为人，记为、， 从这人中随机抽取两人的所有基本事件为： 、、、、、、、、、，共个， 其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个， 则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为. 随堂练习：答案：（1） （2） （3） 解：（1）由频率分布直方图可知平均数 （2）成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 第百分位数位于，设其为， 则，解得：，第百分位数为. （3）第组的人数为：人，可记为； 第组的人数为：人，可记为； 则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 其中至少人成绩优秀的情况有：，，，，，，，， ，，，，，，，共种情况； 至少人成绩优秀的概率. 典例2、答案： （1）0.01； （2）中位数是，平均数是； （3）. 解：（1）由频率分布直方图得：. （2）由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62， 因此，该校语文成绩的中位数，则，解得， 语文成绩的平均数为， 所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是. （3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人， 因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人， 记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F， 从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能， 选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：， 所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是. 随堂练习：答案： （1），平均分为（分） （2） （3） 解：（1）依题意得，解得， 这名学生的数学平均分为（分）. （2）由（1）可知，成绩在和中的学生人数比为， 所以用分层抽样方法抽取成绩在和中的学生人数分别为人和人， 设成绩在中的三人为、、，成绩在中的二人为、， 从这人中任取三人的所有可能情况为：、、、、、、 、、、，共种， 而有两名成绩在中的有、、、、、，共种，故所求概率为. （3）由题可知，乙也参加座谈属于条件概率， 设（2）中人分别为：甲、乙、、、， 甲被抽出的情况为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲，共6种， 在甲参加的条件下乙也参加的情况有：甲乙、甲乙、甲乙，共种， 故甲已经被抽出座谈，乙也参与座谈的概率为. 典例3、答案： （1），； （2） （3） 解：（1）因为个体在区间内的频率是， 所以频数 在内的频率是， 所以频数 （2）平均数为； （3）由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、， 则事件的总体是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，，共个基本事件， 所以. 随堂练习：答案： （1） （2）平均数；中位数 （3） 解：（1）由频率分布直方图可知：被采访人恰好在第2组或第6组的概率 （2）设平均数为,则 （3）设中位数为，则 ∴中位数 共人，其中男生3人，设为，，，女生三人，设为，，， 则任选2人，基本事件有，，，，，，，，，，，，共15种， 其中两个全是男生的有，，共3种情况， 设事件：至少有1名女性， 则至少有1名女性市民的概率 典例4、答案： （1）男顾客，理由见解析 （2）列联表见解析 （3）没有 解：（1）男顾客对该商场的服务质量更认可. 理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在， 故男顾客对该商场的服务质量更认可.（考生如果给出其他合理理由也可得分） （2）由茎叶图可知，. 列联表如下： 超过 不超过 男顾客 11 9 女顾客 7 13 （3） 故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关. 随堂练习：答案： （1）乙运动员的成绩更好，答案见解析 （2）表格见解析，没有 解：（1）乙运动员的成绩更好，理由如下： （ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的， 有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的， 只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好． （ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36； 甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好． （ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近， 这说明乙运动员的发挥更稳定． 以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图可知，列联表如下： 超过m 不超过m 甲 5 7 乙 7 5 由于， 所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异． 典例5、答案：（1）表格见解析，能 （2）分布列见解析， 根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示： 甲班 乙班 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 解：（1）根据列联表中的数据，得的观测值为， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人， 所以的所有可能取值为， 则=，， =， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则数学期望. 随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）列联表答案见解析，有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关 解：（1）①男性职工饮食指数的平均值大于女性职工饮食指数的平均值； ②男性职工饮食指数的方差大于女性职工饮食指数的方差. （2）列联表如下： 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 男 7 8 15 女 13 2 15 合计 20 10 30 由表中数据得， 故有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关. 典例6、答案： （1） （2），即说明药物有效 （3）不能够有99%的把握认为药物有效. 解：（1）， ， ，，，； 即，，，； （2）取值为0、1、2， ， 0 1 2 P ∴ 取值为0、1、2， ，， 0 1 2 P ∴ ∴，即说明药物有效. （3）∵， ∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效 随堂练习：答案： （1）列联表见解析，男性患者至少有6人 （2）答案见解析 解：（1）2×2列联表如下： Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 z 女 2z 合计 3z 要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关， 则，解得：． 因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人． （2）设甲研发团队试验总花费为X元，； 设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m， 所以，， 所以； 因为，所以． ①当时，，因为，所以， 所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发； ②当时，，因为，所以， 所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发； ③当时，， 所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同， 从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$