第 2 讲 有理数的概念讲义 -2023-2024学年北师大版数学七年级上册

第 2 讲 有理数的概念 模块：有理数与数轴； 知识点笔记：有理数的分类； 1. 我们将____作为正负数的分界线；①正数：_______0的数；②负数：_____0的数。 2. 分类： （1）按符号分 （2）按定义分 归类题型： 【示例】在下列数－，﹢10，3，8，－11，0， ，－6，－（－2）中，属于非负整数的有_____个。 分析：①问题中两个条件：非负和整数；即满足≥0的整数（包括0）； ②逐个分析，圈出。（注意：－（－2）=﹢2） 1. 非负整数即自然数； 2. 有限小数和无限循环小数属于分数； 3. 能够约分为整数的分数为整数。 例1 (1)把下列各数填在相应的横线上： －16，0.04，+ ，－0.45 ，π ，0，－1 ，88， ，－50 ，0.1 自然数：________________________________________ 正整数：________________________________________ 有理数：________________________________________ 非正数：________________________________________ 非负整数：______________________________________ (2)以下说法中：①整数分为正整数和负整数；②零不是自然数；③分数包括正分数、0、负分数；④整数和分数统称有理数．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 练1.1 (1)请将下列各数填入相应的集合内： －，1.010010001，0，π， ，－2.626626662…（每2个2之间依次多一个6），－0.1 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 负分数集合：{ }； 有理数集合：{ }； (2)下列说法正确的是（ ） A. 一个数前面加上“−”号，这个数就是负数 B. 零既是正数也是负数 C. 若a是正数，则不一定是负数 D. 零既不是正数也不是负数 练1.2 (1)下列说法中，正确的是（ ） A. 分数包括正分数、零、负分数 B. 正整数与负整数合在一起就构成整数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 正数、负数和零统称为有理数 (2)下列各数：－3.147，＋32.8，＋3，－9，8.002，－1.38，0，其中非负整数有 ____个． 知识点笔记：数轴的概念及性质 1. 数轴：规定了_______，_______和__________的直线。 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 性质：①所有的有理数都可以用数轴上的点表示。 ②原点左侧是负数，右侧是正数，从左到右依次增大。 ③数轴右侧的数大于左侧的数；简称右＞左。 例2 画数轴，在数轴上表示下列各数，并按照从小到大的顺序用“<”号连接起来 +3，−1，−(−4)，0，−2 ，－22 ． 练2.1 画数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接起来 −3，+2，−1.5，0，1． 练2.2 将下列各数在数轴上表示出来，并用“>”连接： −4，−2，− ，0，3，3． 知识点笔记：数轴的整点和原点问题； 【示例1】大于－101.5小于12的整数有_______个。 分析：①画数轴： ②从－101到0有_____个，从0到12有_____个；（注意不包括12） －101.5 0 12 1. 数轴上数清楚正负整数的个数时别忘记0！ 【示例2】在数轴上任取一条长度为2的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为_______，最少能盖住的整数点的个数为_______。如果把长度变为3，则又能盖住_____个整数点，最少能盖住的整数点的个数为_______。你能总结出规律吗？ 分析：①画数轴： ②长度为2的线段对齐整数点时盖住____个整数点，不对齐整数点时盖住____ 个整数点； 1. 长度为整数n的线段，在数轴上最多能盖住____个整数点，最少能盖住_____个整数点。 例3 (1)大于﹣2.5而小于3.5的整数共有_____个． (2)数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整点，如果一条数轴的单位长度是1cm，有一支长2013cm的毛毛虫队伍在数轴上沿数轴爬动，则这支队伍爬动过程中，它所盖住的整点有多少个？ 练3.1 在单位长度是1厘米的数轴上随意画出一条长为1000厘米的线段AB，求线段AB盖住的整点的个数． 练3.2 (1)小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据下图，判定墨迹盖住部分的整数的和是______． (2)在数轴上，到原点的距离小于5.4个单位长度的整点有（ ）。 A. 8个 B. 9个 C. 10个 D. 11个 知识点笔记：数轴上的距离问题； 距离公式：在数轴上，点A，点B所对应的数分别为a，b，且a＞b，在A，B两点之间的距离为_______（大减小）；若不知道a，b的大小，则a，b两点之间的距离可表示为 |a－b|（作差取绝对值） 【示例】数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是－2，A，B两点的距离为3，那么点B对应的数是__________。 分析：①不知道B点在A左还是右，所以分类讨论： ②当B在A左侧时，B对应的数是_____；当B在A右侧时，对应的数是_____。 1. 已知距离求点的位置时，注意分类讨论。 例4 (1)数轴上表示有理数−3.5与4.5的两点之间的距离是______． (2) 一只小虫在数轴上先向右爬2个单位长度，再向左爬6个单位长度，所在位置正好距离数轴原点2个单位长度，则小虫的起始位置所表示的数是（　　） A. 6 B. 2或6 C. 4或−2 D. −2 练4.1 数轴上点A表示的数是−1，点B到点A的距离为2个单位长度，则点B表示的数是__________． 练4.2 如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A. 7 B. 3 C. −3 D. −2 模块：相反数与绝对值； 知识点笔记：相反数； 相反数代数定义：只有_______不同的两个数_______相反数。 特别地，0的相反数是_____； 相反数几何定义：分别在_______两侧，且到原点距离_______。 （1）a的相反数为_____； （2）若a，b互为相反数，则_______； （3）多重符号化简：奇负偶正； （4）相反数等于本身的数为_____； （5）相反数大于本身的数为_______。 例5 (1)下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. －与0.75 B. －5与＋3 C. 与－0.3 D. 与－2 (2) 对于（－a）表示的数，理解不正确的是（ ） A. 一定是正数 B. 可以表示a的相反数 C. 有可能是正数 D. 有可能是0 (3)已知－(－x)=7，求x的相反数． 练5.1 (1) 2024的相反数是（　　） A. 4204 B. －2024 C. D. 2024 (2)已知−[−(−a)] = 8，求−a的相反数． 练5.2 (1)−a的相反数是___________． (2)计算−(−2025)的结果是（　　） A. 2025 B. −2025 C. D. － 例6 已知表示有理数a、b的点在数轴上的位置如图所示，把a、－a、b、－b按从小到大的顺序排列为______________________． 练6.1 写出下列各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来： +2，−3，0，−(−1)，−3.5，−(+2) 练6.2 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A. −a < b < 0 B. 0 < −a < b C. b < 0 < −a D. 0 < b < −a 知识点笔记：绝对值； 绝对值定义：数轴上表示数a的点与_______的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：（记a，b为有理数）： （1）非负性：|a|_______； （2）|a|=______（a≥0）；|a|=_______（a≤0）； （3）若a，b互为相反数，则__________； （4）若|a|=|b|，则_______或_______。 （1）绝对值最小的数为_____； （2）绝对值大于本身的数为_______； （3）绝对值小于本身的数为_______。 【示例】若|x－|＋|y＋|=0，则|x＋y|=_______。 分析：①非负之和为0，各个为0；②所以x=_____，y=_____；x＋y=______。 1. 非负之和，各项为0。（常见：平方和绝对值！） 2. 互为相反数之和为0。 例7 (1)若|x − 3| + |y + 2| = 0，则x + y =_________． (2)若|m + 1|和|n − 2|互为相反数，求m、n的值． 练7.1 若|x − 3| + (4 + y) 2= 0，则2x + y =_______. 练7.2 若|a + 2|与|b + 5|互为相反数，求a，b的值. 例8 (1)绝对值小于3的整数和为_____． (2) 如图，数轴上点Q，点P，点R，点S和点T分别表示五个数，如果点R和点T表示的数互为相反数，那么这五个点所表示的数中，点_______对应的数绝对值最大． 练8.1 绝对值大于1而小于4的整数有_____个． 练8.2 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P ，N ，Q ，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是__________． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$